Простой трёхчлен: x² - 5x + 6
plain
x^2 - 5x + 6Два числа с произведением 6 и суммой -5: -2 и -3. Значит, (x - 2)(x - 3). При старшем коэффициенте 1 это и есть весь метод, и стоит сделать десяток таких, пока пара не будет находиться без поиска.
Калькулятор разложения на множители
Любой многочлен разложен, с названием приёма на каждом шаге.
Обновлено
Хотите решать это без калькулятора?
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Разложение на множители - это узнавание приёмов, и приёмы можно перечислить
При разложении многочлена происходит всего около шести вещей: выносится общий множитель, разность квадратов распадается, полный квадрат превращается в скобку в квадрате, трёхчлен распадается на две скобки, четыре слагаемых группируются по два, либо раскрывается сумма или разность кубов. Всё, что вас попросят разложить в школьной алгебре, - это один из этих случаев или один из них, применённый дважды.
Поэтому полезное, что может сообщить калькулятор, - не ответ, а какой приём он использовал и почему именно этот. Здесь у каждой строки есть название. Когда та же задача попадётся на контрольной, вы будете не вспоминать эту страницу, а искать приём, на который она указала.
Вычисления точные - и с целыми, и с дробными коэффициентами, - и страница проверяет себя: последняя строка перемножает множители обратно и показывает исходный многочлен. Эта проверка и есть ответ на вопрос «откуда я знаю, что верно?», и её можно сделать вручную для любого ответа из любого источника.
На что смотреть в шагах
- Сначала ищите общий множитель. 3x² - 27 не является разностью квадратов, пока не вынесена 3, и половина случаев «не разлагается» - это на самом деле «я не вынес 3».
- Два слагаемых - ищите квадраты или кубы. Три - трёхчлен или полный квадрат. Четыре - пробуйте группировку. Количество слагаемых отсекает почти всё ещё до попыток.
- Разность квадратов распадается, сумма квадратов - нет. x² - 9 разлагается, а x² + 9 нет; эту асимметрию лучше запомнить, чем открывать заново.
- Проверяйте обратным умножением - именно это делает последняя строка. Это десять секунд, и так находится любая ошибка в знаке.
- «Не разлагается» - настоящий ответ. У x² + x + 1 нет рациональных множителей, и умение вовремя остановиться - часть навыка.
Как пользоваться калькулятором
Введите многочлен
Записывайте как на бумаге:
x^2 - 5x + 6,4x^2 - 12x + 9,x^3 - 8. Для степеней используйте^. Одна буква или две (x^2 - y^2тоже работает).Сначала ответ, потом приём
Разложение - сверху. Пронумерованные шаги ниже называют использованный приём: именно эта часть переносится на следующую задачу.
Посмотрите на нули
Каждая скобка вида (ax - b) даёт нуль в точке b/a. Поэтому разложение решает уравнения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей.
Сделайте проверку сами
Последняя строка перемножает множители обратно. Закройте её, посчитайте в уме и сравните - эта привычка ценнее самого ответа.
Приёмы и как их узнать
Шесть приёмов покрывают школьное разложение. Сначала посчитайте слагаемые: это вычёркивает большую часть списка до всяких попыток.
| Приём | Выглядит так | Разлагается в |
|---|---|---|
| Общий множитель | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| Разность квадратов | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| Полный квадрат | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| Трёхчлен со старшим коэффициентом 1 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| Трёхчлен со старшим коэффициентом не 1 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| Группировка (четыре слагаемых) | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| Разность кубов | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| Сумма кубов | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| Сумма квадратов | x² + 9 | does not factor |
Разобранные примеры
Полный квадрат: 4x² - 12x + 9
plain
4x^2 - 12x + 94x² - это (2x)², 9 - это 3², а средний член равен ровно -2 × 2x × 3. Значит, это (2x - 3)². Можно было бы разбирать как трёхчлен и получить (2x-3)(2x-3); узнавание квадрата экономит эту работу, и только ради этого приёмы и заучивают.
Разность квадратов с коэффициентами: 9x² - 4
plain
9x^2 - 4Ловушка - не заметить, потому что квадраты неочевидны: 9x² = (3x)², 4 = 2². Дальше приём работает как обычно и получается (3x - 2)(3x + 2). Два слагаемых с минусом между ними всегда стоит проверять на это.
Сначала общий множитель: 3x² - 27
plain
3x^2 - 27В таком виде это не разность квадратов: 3x² не является квадратом. Вынесите 3, и 3(x² - 9) уже является, что даёт 3(x - 3)(x + 3). Пропуск общего множителя - самый частый путь к неверному выводу, что выражение не разлагается.
Разность кубов: x³ - 8
plain
x^3 - 8x³ - 8 - это x³ - 2³, значит (x - 2)(x² + 2x + 4). Квадратная скобка дальше на рациональные множители не разлагается, и страница это говорит, а не оставляет вас в сомнении. Обратите внимание на знаки: линейная скобка берёт знак исходного, а квадратная чередует.
Частые ошибки
- Не вынести общий множитель первым. Все остальные приёмы без него видны лучше, а некоторые до этого просто не видны.
- Пытаться разложить сумму квадратов. У x² + 4 нет рациональных множителей; распадается только разность.
- Потерять знак в паре чисел. Произведение двух чисел даёт свободный член, а сумма - средний коэффициент: оба условия, каждый раз.
- Остановиться слишком рано. x⁴ - 16 превращается в (x² - 4)(x² + 4), а первая скобка ещё разлагается в (x - 2)(x + 2).
- Забыть, что полный квадрат - это скобка в квадрате. Записать (2x - 3)(2x - 3) не ошибка, но ответом просят (2x - 3)².
- Сокращать вместо разложения. В (x² - 9)/(x + 3) нельзя зачеркнуть x² вместе с x: разложите числитель, и общая скобка сократится.
Частые вопросы о разложении на множители
Как разложить многочлен на множители?
Вынесите общий множитель, затем посчитайте слагаемые. Два: разность квадратов или сумма/разность кубов. Три: полный квадрат или пара чисел для трёхчлена. Четыре: сгруппируйте по два. Затем проверьте, разлагается ли какая-нибудь скобка дальше. Каждый путь на этой странице - та же процедура, применённая один или два раза.
Как разложить трёхчлен вида x² - 5x + 6?
Найдите два числа, произведение которых равно свободному члену, а сумма - среднему коэффициенту: здесь 6 и -5, то есть -2 и -3. Множители: (x - 2)(x - 3). Если старший коэффициент не 1, применяйте ту же идею к a×c вместо c - шаги называют это методом ac.
А если многочлен не разлагается?
Страница прямо это скажет, и для квадратного или кубического многочлена с одной буквой это доказательство, а не отговорка: нет рационального корня - нет и рационального множителя. Пример: x² + x + 1. Неразложимое квадратное уравнение всё равно решается через дискриминант - это другая страница.
Работает ли с двумя буквами?
Да, для школьных форм: общий множитель (6x²y + 9xy² превращается в 3xy(2x + 3y)), разность квадратов (x² - y²), сумма и разность кубов (x³ + 8y³). Если часть свелась к одной букве, дальше подключается полный одномерный путь.
Зачем к ответу идёт проверка?
Потому что обратное умножение множителей - это и есть способ проверить разложение, а показать его ничего не стоит. Заодно это прививает привычку: любой ответ, от любого калькулятора или соседа по парте, проверяется так за десять секунд.
Разложение - это то же, что решение?
Нет, но это большая его часть. Разложение переписывает выражение в виде произведения; решение использует это произведение, чтобы найти нули, ведь произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один множитель. Строка нулей под ответом - этот последний шаг.
Можно ли с дробями или десятичными коэффициентами?
Да. x²/2 - 2 разлагается как ½(x - 2)(x + 2), а 0,25x² - 1 читается как точная дробь ¼, а не как округлённое десятичное. Здесь ничего не считается в плавающей запятой, поэтому дробь остаётся дробью до самого ответа.
