Denklem Sistemi Hesaplayıcısı

Adım adım yok etme yöntemi, iki doğru çizili ve kesişimi işaretli.

Yazan Nethanel Bar, Kurucu Ortak ve CEO

Son güncelleme 25 Ağustos 2026

Bunları hesap makinesi olmadan çözmek ister misin?

Coddy matematik dersi yöntemin kendisini öğretir: her adımı etkileşimli bir tahtada işlersin ve hangi hamlenin nerede yanlış gittiğini tam olarak öğrenirsin.

Ücretsiz başla

Bir sistem iki doğrudur; onu çözmek kesiştikleri yeri bulmaktır

x ve y içeren iki denklem, aynı düzlemde iki doğrudur. İki denklemi birden sağlayan (x, y) ikilisi, her iki doğrunun üzerinde bulunan bir noktadır - yani kesişim. Fikir bundan ibarettir ve bütün durumları bir arada açıklar: bir kez kesişen doğrular bir çözüm verir, paralel doğrular hiç vermez, iki kez çizilmiş tek doğru ise sonsuz çözüm verir.

Yok etme ve yerine koyma, o kesişimi çizmeden bulmanın yollarıdır. Bu sayfa iki yarıyı da yapar: cevabın ne anlama geldiğini görebilmen için resmi, nasıl bulunduğunu görebilmen için satır satır yazılmış yok etme yöntemini. Çoğu hesaplayıcı birini verir, ötekini vermez.

İki özel durum, başarısızlık gibi bildirilmek yerine adlandırılır. «Çözüm yok» ve «sonsuz çözüm» gerçek anlamları olan gerçek cevaplardır; bunlara omuz silken bir çözücü, soruyu korkulacak bir şey gibi öğretir. Burada durum katsayılardan hesaplanır, böylece yazdırılacak bir ikili olmasa bile sayfa hangi durumda olduğunu söyleyebilir.

Adımlarda neye dikkat etmeli

Yok etme yöntemi bir bilinmeyenin katsayılarını eşitleyip sonra denklemleri toplayarak ya da çıkararak onu yok etmeye dayanır. Bütün yöntem bu fikrin tekrarıdır.
Toplamak mı çıkarmak mı, işaretlere bağlıdır: eşitlenen katsayıların işareti aynıysa çıkar, farklıysa topla. Bunu tersine çevirmek en sık yapılan hatadır.
Bir bilinmeyeni bulduğunda, diğeri için onu orijinal denklemlerden birine yerine koy. Hangisine olursa - ikisi farklı sonuç veriyorsa, daha önce bir şey yanlış gitmiştir.
Paralel doğrular aynı eğim ve farklı kesim noktası demektir. Cebirde bu, 0 = -2 gibi imkânsız bir satır olarak görünür; bu bir hata mesajı değil, cevabın kendisidir.
Üç bilinmeyende de aynı: birini yok ederek 2x2 sisteme in ve bitir. Orada resim yardımcı olmaz, çünkü üç bilinmeyen doğru değil düzlem demektir.

Nasıl kullanılır

Her satıra bir denklem yaz
Kâğıttaki gibi: birinci satıra 2x + y = 5, ikinci satıra x - y = 1. Katsayılarda kesir ve ondalık kullanılabilir.
Cevabı ve durumu oku
İkili en üstte. Altında bir cümle sistemin geometrik olarak ne olduğunu söyler: tek kesişim, paralel, ya da iki kez yazılmış aynı doğru.
Resme bak
Doğrular, kesişim işaretlenmiş olarak çizilir. Cevap şaşırtıcı geldiyse, resim genellikle cebirden önce açıklar.
Yok etme adımlarını izle
Numaralı adımlar hangi bilinmeyenin nasıl yok edildiğini ve ne kaldığını gösterir. Senden tekrarlaması istenen yöntem budur.

Üç durum

Her 2x2 sistem bunlardan biridir ve hangisi olduğunu, cebir yapmadan doğrulara bakarak anlayabilirsin.

Durum	Doğrular	Örnek
Tek çözüm	Cross once	2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1)
Çözüm yok	Parallel, different intercepts	x + y = 3, x + y = 5
Sonsuz çözüm	The same line twice	x + y = 3, 2x + 2y = 6
Tek denklem	A whole line of solutions	2x + 3y = 7
Üç bilinmeyen	Planes, not lines	x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2

Çözümlü örnekler

Tek kesişim: 2x + y = 5 ve x - y = 1

plain

2x + y = 5; x - y = 1

İki denklemi toplamak y'yi hemen yok eder, çünkü +y ile -y birbirini götürür: 3x = 6, yani x = 2; sonra hangisini kullanırsan y = 1. Resim doğruların (2, 1) noktasında kesiştiğini gösterir: bir nokta, bir cevap.

Paralel doğrular: x + y = 3 ve x + y = 5

plain

x + y = 3; x + y = 5

Çıkarırsan 0 = -2 çıkar ve bunu hiçbir sayı ikilisi düzeltemez. Bu çözücünün başarısızlığı değil, cevabın kendisidir. Doğruların eğimi aynı, kesim noktaları farklı; hiç buluşmazlar ve sistemin çözümü yoktur.

İki kez yazılmış aynı doğru: x + y = 3 ve 2x + 2y = 6

plain

x + y = 3; 2x + 2y = 6

İkinci denklem birincinin iki katıdır, yani aynı doğruyu çizer. O doğrunun her noktası ikisini birden sağlar; bu da sonsuz çözüm demektir. Resimde tek bir doğru görürsün, çünkü gerçekten tek doğru var.

Üç bilinmeyen: x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2

plain

x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2

z = 2 ve x = y yerine konduğunda üç denklem bire iner ve x = y = 2 çıkar. Burada resim yok - üç bilinmeyen düzlemdir, doğru değil - ama yok etme aynı yöntemdir, her seferinde bir bilinmeyen.

Sık yapılan hatalar

Çıkarılması gerekirken toplamak. İşareti aynı olan eşit katsayılar çıkarılmalıdır; toplamada yalnızca zıt işaretler birbirini götürür.
Bir denklemin yalnızca bir kısmını çarpmak. Katsayıyı eşitlemek için denklemi ölçeklendirdiysen, sağ taraf dahil bütün terimler ölçeklenmelidir.
Az önce değiştirdiğin denkleme yerine koymak. Orijinallerden birini kullan, yoksa ikinci koşulu tamamen kaybedebilirsin.
Bir bilinmeyeni bulup durmak. 2x2 sistemin iki cevabı vardır ve yalnızca x'i söylemek yarım çözümdür.
0 = -2'yi «çözüm yok» yerine hesap hatası sanmak. Aynı şekilde 0 = 0, bir şeyin ters gittiği değil sonsuz çözüm olduğu anlamına gelir.
Kontrolü tek denklemde yapmak. İkiliyi HER İKİ orijinal denkleme koy; yalnızca birini sağlamak hiçbir şey kanıtlamaz.

Sık sorulan sorular

Denklem sistemi nasıl çözülür?

İki denklemde bir bilinmeyenin katsayılarını eşitle, sonra o bilinmeyeni yok etmek için topla ya da çıkar. Kalan tek denklemi çöz, bulduğun değeri orijinal denklemlerden birine koyup diğer bilinmeyeni bul ve sonunda ikiliyi iki denklemde de kontrol et.

Yok etme ile yerine koyma arasındaki fark nedir?

Yok etme, bir bilinmeyeni kaldırmak için denklemleri birleştirir; yerine koyma ise bir denklemi bir bilinmeyen için düzenleyip o ifadeyi diğerine yerleştirir. İkisi her zaman aynı cevabı verir. Katsayılar düzgünse yok etme kısadır; bir denklemde bilinmeyen zaten yalnızsa yerine koyma daha kolaydır.

Bir sistemde «çözüm yok» ne demektir?

İki doğrunun paralel olduğu: eğimleri aynı, kesim noktaları farklı, dolayısıyla ikisinin üzerinde birden bulunan nokta yok. Cebirde 0 = -2 gibi imkânsız bir ifade olarak görünür. Bu eksik bir sonuç değil, tam bir cevaptır.

«Sonsuz çözüm» ne demektir?

İki denklemin aynı doğruyu tanımladığı - biri diğerinin katı. O doğrunun her noktası iki denklemi de sağlar, yani çözüm tek bir ikili değil doğrunun tamamıdır. Genelde bunu bir değişken cinsinden yazman istenir.

Üç bilinmeyenli üç denklemi çözer mi?

Evet ve yok etmeyi aynı şekilde gösterir: bir bilinmeyeni kaldırıp 2x2 sisteme in, onu çöz ve geri dön. Grafik yalnızca iki bilinmeyen için çizilir; üç bilinmeyende düzlemler devreye girer ve düz bir resim açıklamaktan çok yanıltır.

Doğrular neden çiziliyor?

Çünkü anlam resimdedir. Yok etme güvenilir ama olan biteni gizleyen bir yöntemdir; tek noktada kesişen iki doğru, neden tam olarak bir cevap olduğunu - ve paralellerin neden hiç cevabı olmadığını - apaçık yapar.

Kesir ve ondalık kabul ediyor mu?

Evet, hem de tam olarak. 0,5x + y = 3 ifadesi yarım olarak okunur ve kesirli katsayılı bir sistemin cevabı yuvarlanmış ondalık değil tam kesir olarak çıkar.