Birim Çember
Birim çember, merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 olan çemberdir. Üzerinde her açının noktası (cos, sin) olduğu için tek bir tablo sinüs, kosinüs ve tanjantın bütün özel değerlerini taşır.
Son güncelleme
Bu tablo on altı özel açının hepsinde sinüs ve kosinüsü derece ve radyan cinsinden verir. Tan değerlerini de göstermek için ya da yazdırıp doldurabileceğin boş bir çember için sürümü değiştir.
Birim çember tablosu
Birim çember değerleri
Çemberdeki her değer tek bir tabloda. Tan, sin bölü cos olduğu için cos'un 0 olduğu yerde değeri yoktur.
| Derece | Radyan | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | tanımsız |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | tanımsız |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Nokta neden (cos, sin)
Noktayı çemberin etrafında sürükle ve iki kesikli kenarı izle.
Noktayı sürükle. Yeşil kenar cos, kırmızı kenar sin, nokta bu yüzden (cos, sin).
Çemberin yarıçapı 1 ve bütün işin sırrı bu. Merkezden çembere bir açıyla bir doğru çiz, sonra o noktadan x eksenine dik bir doğru indir. Artık hipotenüsü yarıçap olan bir dik üçgenin var, yani hipotenüs 1.
Bu üçgende kosinüs, komşu kenar bölü hipotenüstür. Komşu kenar yatay kenardır ve hipotenüs 1'dir, yani kosinüs yatay kenarın ta kendisidir. Aynı akıl yürütmeyle sinüs dikey kenardır. Yani nokta (cos(x), sin(x)) olur: önce yatay uzaklık, sonra dikey, y'den önce x.
Gerçekten ihtiyacın olan üç sayı
Birinci bölge, çemberin kullandığı her değeri içerir:
| açı | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
Üç farklı değer: 1/2, √2/2 ve √3/2. 30° ve 60° açılarının aynı çifti yer değiştirmiş olarak kullandığına dikkat et. İki açının toplamı 90° olduğu için üçgenleri, öbür uçtan bakılan aynı üçgendir.
Bölgelere göre işaretler
Birinci bölgenin dışındaki her açı bu üç sayıdan birini bir işaretle kullanır. Onu bulmak için referans açısını, yani doğru ile x ekseni arasındaki açıyı al: 150°, 180°'ye 30° uzaktır, bu yüzden referans açısı 30°'dir ve değerleri, yeni işaretlerle 30°'nin değerleridir.
İşaretler noktanın nerede olduğundan gelir. Cos yatay uzaklıktır, bu yüzden çemberin sol yarısında negatiftir. Sin dikey uzaklıktır, bu yüzden alt yarıda negatiftir. Tablo her bölgeyi (cos, sin) işaretleriyle gösterir:
| bölge | açılar | cos | sin | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° ile 90° arası | + | + | + |
| II | 90° ile 180° arası | − | + | − |
| III | 180° ile 270° arası | − | − | + |
| IV | 270° ile 360° arası | + | − | − |
Yani 150° için nokta (−√3/2, 1/2) olur, referans açısı yine 30° olan 210° için ise (−√3/2, −1/2) olur.
Radyan cinsinden birim çember
Tam tur 360° eder ve aynı zamanda 2π radyan eder, çünkü yarıçapı 1 olan bir çemberin çevresi 2π uzunluğundadır: bir radyan, bir yarıçap uzunluğundaki yaydır. Yarım tur 180° ya da π eder.
Buradan özel açılar yarım turun kesirleri olur. 30°, 180°'nin altıda biridir, yani π/6; 45° dörtte biri, π/4; 60° üçte biri, π/3. Payda, o açıdan kaç tanesinin yarım tura sığdığını söyler, pay da onları sayar: 150° yarım turun altıda beşidir, 5π/6.
Birim çemberde tanjant
Tan, sin(x)/cos(x) oranıdır, yani merkezden noktaya giden doğrunun eğimi. 45°'de sin ve cos eşittir, bu yüzden tan tam olarak 1 olur. 30°'de √3/3, 60°'de ise √3 olur.
90°'de nokta tam yukarıda, (0, 1) noktasındadır, yani cos 0 olur ve tan tanımsızdır: 1 bölü 0'a eşit bir sayı yoktur ve dikey bir doğrunun eğimi yoktur. Aynısı 270°'de de olur. Geri kalan her yerde tan işaret kuralına uyar: sin ve cos'un aynı işaretli olduğu yerde (I. ve III. bölgeler) pozitif, farklı olduğu yerde negatiftir. Tablonun tanlı sürümü her değeri yazar.
Birim çember soruları ve alıştırma
Yukarıdaki sürüklenebilir çemberi Beni sına moduna al: değerleri gizler, sen söylersin, sonra kontrol edersin. Ya da bunu ezberden cevapla:
Kâğıt üzerinde çalışmak için boş tabloyu yazdır ve on altı noktanın hepsini doldur. Bakmadan iki dakikanın altında yapabiliyorsan birim çemberi biliyorsun.
Sık sorulan sorular
Birim çember nedir?
Merkezi orijinde olan, yarıçapı 1 olan çemberdir. Merkezden bir açıyla bir doğru çiz ve çemberi kestiği yeri işaretle: o noktanın koordinatları tam olarak (açının kosinüsü, açının sinüsü) olur. Böylece çember, üçgenlerle ilgili bir soruyu koordinatlarla ilgili bir soruya çevirir ve bunu canlandırmak çok daha kolaydır.
Birim çember değerleri nelerdir?
On altı özel açıda her koordinat, işaretiyle birlikte 0, 1/2, √2/2, √3/2 ya da 1 olur. Birinci bölgede 30° için nokta (√3/2, 1/2), 45° için (√2/2, √2/2) ve 60° için (1/2, √3/2) olur. Diğer her özel açı bu çiftlerden birini kendi bölgesinin işaretleriyle tekrarlar. Bu sayfadaki tablo on altısının hepsini tan ile birlikte verir.
Yazdırılabilir ya da boş bir birim çember var mı?
Evet. Bu sayfanın en üstündeki tablo Letter boyutunda PDF ya da PNG olarak üç sürümde indirilir: koordinatlı, koordinatlı ve tanlı, ve boş. Boş sürümde çember, eksenler ve on altı nokta durur, böylece her etiketi kendin doldurabilirsin.
Çember üzerindeki nokta neden (sin, cos) değil de (cos, sin)?
Çünkü kosinüs yatay uzaklığı ölçer ve x koordinatı yatay olandır. Noktadan x eksenine dik bir doğru indirirsen hipotenüsü 1 olan bir dik üçgen elde edersin. Yatay kenar açıya komşudur, yani cos bölü 1, bu da sadece cos eder. Dikey kenar karşı kenardır, yani sin eder.
Birim çember nasıl ezberlenir?
Üç sayı ve bir kural öğren. Sayılar 1/2, √2/2 ve √3/2, yani birinci bölgenin değerleri. Kural işaretle ilgili: cos çemberin sol yarısında, sin ise alt yarısında negatiftir. Diğer her açı, referans açısından bulunan ve bu işaretleri taşıyan bir birinci bölge değeridir.
Derece radyana nasıl çevrilir?
Tam tur 360 derece ve aynı zamanda 2π radyandır, yani yarım tur 180 derece ve π radyandır. Radyan bulmak için dereceyi π/180 ile, derece bulmak için radyanı 180/π ile çarp. Böylece 30° π/6, 45° π/4, 60° π/3 ve 90° π/2 olur.
Tan 90 neden tanımsız?
Tan, sin bölü cos'tur. 90°'de nokta tam yukarıda, (0, 1) noktasındadır, yani cos 0 olur ve 0'a bölmenin cevabı yoktur. Aynısı 270°'de de olur. Bunu çemberde de görebilirsin: tan merkezden çıkan doğrunun eğimidir ve dikey bir doğrunun eğimi yoktur.
Bu formül ve ilgili tüm formüller, yazdırılabilir tek bir sayfada:
Trigonometri Formülleri