Birim Çember
Yarıçapı 1 olan tek bir çember ve içinde ezberlemen istenen bütün sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri. Açıyı sürükle, sayıların nereden geldiğini gör.
Son güncelleme
İnsanların trigonometride zor bulduğu neredeyse her şey aslında bir bellek sorunudur: çok fazla değer, çok fazla işaret ve az önce yazdığının makul olup olmadığını denetlemenin bir yolu yok. Birim çember bunu düzeltir. İhtiyacın olan her değeri tek bir resimde tutar ve yanlış bir işareti bariz biçimde yanlış gösterir.
Aşağıdaki noktayı sürükle. Dönerken iki kesikli kenara dikkat et.
Noktayı sürükle. Yeşil kenar cos, kırmızı kenar sin - nokta bu yüzden (cos, sin).
Nokta neden (cos, sin)
Çemberin yarıçapı 1 ve bütün hüner burada.
Merkezden bir açıyla çembere kadar bir doğru çiz, sonra o noktadan x eksenine dik indir. Artık hipotenüsü yarıçap olan bir dik üçgenin var; yani hipotenüs 1.
Bu üçgende kosinüs, komşu kenarın hipotenüse bölümüdür. Komşu kenar yatay olandır ve hipotenüs 1'dir, dolayısıyla kosinüs yatay kenarın kendisidir: 1'e bölmek hiçbir şeyi değiştirmez. Aynı akıl yürütme sinüsü dikey kenar yapar.
Demek ki noktanın koordinatları tam olarak (cos(x), sin(x)) - önce yatay uzaklık, sonra dikey olan. Şekildeki yeşil kenarın kosinüs, kırmızının sinüs diye etiketlenmesinin nedeni bu; sıranın kosinüsle başlamasının nedeni de: x, y'den önce, yatay dikeyden önce.
Tanjant üçüncüsü ve resimde bir uzunluk değil - sin(x)/cos(x) oranı, yani çizdiğin doğrunun eğimi.
Gerçekten ihtiyacın olan üç sayı
Şekli sırayla 30, 45 ve 60 dereceye getir ve değerlere bak:
| açı | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
Üç ayrı değer - 1/2, sqrt(2)/2 ve sqrt(3)/2 - ve dikkat et: 30° ile 60° aynı ikilinin yer değiştirmiş hali. Rastlantı değil: iki açı toplamda 90° ediyor, yani üçgenleri öbür uçtan bakılan aynı üçgen.
Diğer üç bölgedeki her şey bu üç sayıdan biri, önünde bir işaretle. İşaretin hangisi olduğuna bulunduğun yer karar verir ve bunu doğrudan şekilden okuyabilir- sin: kosinüs yatay uzaklıktır, o yüzden çemberin sol yarısında negatiftir. Sinüs dikey uzaklıktır, o yüzden alt yarıda negatiftir. Ezberlenecek bir şey yok - kenarın hangi yöne baktığına bak, o kadar.
Derece ile radyan aynı açıdır
Şekli radyana çevir ve yine döndür. Resimde hiçbir şey değişmiyor; yalnızca etiket değişiyor.
Tam tur 360° ve aynı zamanda 2pi radyandır - çünkü yarıçapı 1 olan bir çemberin çevresi 2pi'dir, yani "bir radyan" demek "bir yarıçap uzunluğunda yay" demektir. Yarım tur 180° ya da pi. Oradan sonra özel açılar yarım turun apaçık kesirleridir: 30°, 180°'nin altıda biridir, yani pi/6; 45° dörtte biri, pi/4; 60° üçte biri, pi/3.
Radyan daha zor görünür ama aslında daha kolaydır, çünkü payda o açının yarım tura kaç kez sığdığını söyler.
Tanjantın kırıldığı yer
90°'ye sürükle; tanjant göstergesi tanımsız diyor. Bu aracın bir eksiği değil
- aritmetik. 90°'de nokta tam yukarıda, (0, 1) noktasında; yani cos(x) 0 ve tanjant sin(x)/cos(x). 1'in 0'a bölümüne eşit bir sayı yok.
Aynı şey 270°'de olur. Başka her yerde tanjant son derece olağan bir sayıdır ve 45°'de tam olarak 1'dir - ki mantıklı: orada sinüs ile kosinüs eşit ve bir şeyin kendisine bölümü 1'dir.
Bir tane dene
Şekli bir an kenara bırak ve akıldan yanıtla. Yanlış çıkarsa çember hemen orada.
Bakmak zorunda kaldıysan bu da bir bilgi: resim henüz kendiliğinden gelmiyor demektir ve bunun bir düzinesini çözmek tam olarak bunu düzeltir.
Sık sorulan sorular
- Birim çember nedir?
- Merkezi orijinde olan, yarıçapı 1 olan çemberdir. Faydası tek bir olgudan gelir: merkezden belirli bir açıyla bir doğru çizip çemberi kestiği yeri işaretlersen, o noktanın koordinatları tam olarak (açının kosinüsü, açının sinüsü) olur. Yani çember, üçgenlerle ilgili bir soruyu koordinatlarla ilgili bir soruya çevirir ve bu çok daha kolay canlandırılır.
- Nokta neden (cos, sin), (sin, cos) değil?
- Çünkü kosinüs yatay uzaklığı ölçer ve x koordinatı yatay olandır. Noktadan x eksenine dik indir; hipotenüsü 1 olan bir dik üçgen elde edersin. Yatay kenar açıya komşudur, yani kosinüsün 1'e bölümüdür, yani kosinüsün kendisidir. Dikey kenar karşıdır, yani sinüstür. Dolayısıyla x koordinatı kosinüs, y koordinatı sinüstür - bu sırayla.
- Birim çemberin tamamını ezberlemem gerekir mi?
- Gerekmez, hatta denemek en sık yapılan hata. İhtiyacın olan yalnızca üç değer var - 1/2, √2/2 ve √3/2 - ve bir de işaret kuralı. Geri kalan her şey bu üç sayının önünde bir artı ya da eksi, ve hangisi olduğuna bulunduğun bölge karar veriyor. Birinci bölgeyi ve işaret kuralını öğren, on altı açının hepsi elinde.
- Derece ile radyan arasında nasıl geçiş yapılır?
- Tam tur 360 derecedir ve aynı zamanda 2π radyandır; yani yarım tur 180 derece ve π radyandır. Dönüşüm buradan gelir: radyan için dereceyi π/180 ile çarp, derece için radyanı 180/π ile çarp. Pratikte bunu nadiren hesaplarsın: 30, 45, 60 ve 90 derece sırasıyla π/6, π/4, π/3 ve π/2'dir ve diğer her özel açı bunların bir katıdır.
- Tanjant 90 derecede neden tanımsız?
- Çünkü tanjant, sinüsün kosinüse bölümüdür ve 90 derecede kosinüs 0'dır. Sıfıra bölmek bir sayı vermez, dolayısıyla tanjantın orada değeri yoktur. Tanjantın grafiğinde bu düşey asimptot olarak görünür: açı 90 dereceye yaklaştıkça değer hiçbir yere varmadan fırlar.
Şimdi kendin yap, gerçekten
Başkasının çözümünü okumak, o işi yapabilmekle aynı şey değil. Coddy matematik kursu seni her hamleni denetleyen bir tahtaya oturtuyor; böylece gerçekte nerede olduğunu görüyorsun.
