Yarıçapı 3, yüksekliği 5 olan silindir
plain
r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π, yaklaşık 141.37. Yüksekliğe çarpmadan önce yarıçapı kareye yükseltin; tersi 225π verir, beş kat fazla.
Hacim Hesaplayıcı
Altı cisim; her birinin formülü kullanılmadan önce yazılır.
Son güncelleme
Bunları hesap makinesi olmadan çözmek ister misin?
Coddy matematik dersi yöntemin kendisini öğretir: her adımı etkileşimli bir tahtada işlersin ve hangi hamlenin nerede yanlış gittiğini tam olarak öğrenirsin.
Her hacim formülü bir alan çarpı bir yüksekliktir
Bir prizmanın - dikdörtgenler prizması, silindir, boydan boya aynı kesite sahip her şeyin - hacmi taban alanı çarpı yüksekliktir. Bu tek fikir buradaki altı cismin ikisini kapsar: dikdörtgenler prizması uzunluk × genişlik × yüksekliktir çünkü tabanı uzunluk × genişliktir; silindir ise πr²h'dir çünkü tabanı alanı πr² olan bir dairedir. Örüntüyü öğrenmek, formülleri tek tek ezberlemeyi yener.
Daralanlar - koni ve piramit - kendilerini içine alacak prizmanın tam olarak ÜÇTE BİRİni alır. Aynı taban, aynı yükseklik, hacmin üçte biri. Bu 1/3 katsayısı keyfî değildir ve bu konuda en çok unutulan şeydir: silindirle aynı boyutta bir koni onun üçte birini alır ve bunu birini diğerine boşalttıktan sonra hatırlamak kolaylaşır.
Küre 4/3πr³ ile aradaki tuhaf olandır ve onu tam tutmanın nedeni buradaki her şeyle aynı: π irrasyoneldir, yani 36π bir cevaptır, 113.1 ise onun yuvarlanmışı. Bu sayfa sembolü korur, ondalığı yanında bildirir ve yüzey alanıyla ana doğruyu, tam oldukları her yerde verir.
Dikkat edilecekler
- Prizma biçimindeki her şeyde hacim taban alanı × yüksekliktir. Bunu görmek dört formülü bir fikre artı doğru alan formülüne indirir.
- Koni veya piramit, aynı taban ve yükseklikteki prizmanın üçte biridir. 1/3'ü unutmak klasik hatadır ve cevabı tam üç kat büyütür.
- Bütün ölçüler başlamadan önce aynı birimde olmalı ve hacim o birimin KÜPÜ olarak çıkar. Santimetre ile metreyi karıştırmak bir milyon katlık bir hatadır.
- Bir boyutu iki katına çıkarmak hacmi iki katına, üçünü de iki katına çıkarmak sekiz katına getirir. Hacmin uzunluktan çok daha hızlı büyümesinin nedeni bu.
- π cevaba aittir, çözüme değil. 45π tamdır ve sonunda 141.37'ye çarpmak hiçbir şeye mal olmaz, üstelik kontrolü kolaydır.
- Koninin ana doğrusu yüksekliği değildir. Ana doğru, yarıçap ile yüksekliğin hipotenüsüdür - bu yüzden kökle çıkar ve yan yüzey alanının istediği odur, hacmin değil.
Hacim nasıl bulunur
Cismi belirleyin ve formülünü yazın
Bir sayıya dokunmadan önce yapın. Küp s³, prizma ugh, silindir πr²h, küre 4/3πr³, koni 1/3πr²h, kare piramit 1/3s²h.
Birimlerin uyuştuğunu kontrol edin
Önce her şeyi aynı birime çevirin. Cevapları sessizce bozan adım budur, çünkü sonrasındaki aritmetik kusursuz görünür.
Ölçüleri yerine koyun
Hiçbir şeyi hesaplamadan önce formülü sayılarınızla yazın. Puanlanan bir soruda bu yerine konmuş satır genellikle tek başına bir puan eder.
Çarpmadan önce kuvvetleri alın
Yarıçapı 3, yüksekliği 5 olan silindirde: önce 3'ü kareye yükseltip 9 yapın, sonra 9 · 5 = 45, yani 45π. Kareye yükseltmeden çarpmak farklı ve yanlış bir sayı verir.
Cevabı küp birimlerle verin
Santimetre cinsinden bir yarıçap, santimetreküp cinsinden hacim verir. Ondalık istenmedikçe π'yi yerinde bırakın.
Altı formül, çözülmüş birer değerle
Her formül ve küçük bir örnekte verdiği sonuç. Daralan iki cisimdeki 1/3'e dikkat edin.
| Cisim | Formül | Örnek | Tam hacim | Ondalık |
|---|---|---|---|---|
| Küp | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| Dikdörtgenler prizması | u · g · h | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| Silindir | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| Küre | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| Koni | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| Kare piramit | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| Küre | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| Silindir | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
Çözümlü örnekler
Yarıçapı 3 olan küre
plain
r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π, yaklaşık 113.1. 27 ile 4/3 burada tam sadeleşir; her ders kitabının yarıçap 3'ü örnek seçmesinin nedeni bu. Yüzey alanı da 4πr² = 36π - yalnızca r = 3 için geçerli bir tesadüf.
Yarıçapı 3, yüksekliği 4 olan koni
plain
r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π, yaklaşık 37.7. Aynı taban ve yükseklikteki 36π alan silindirle karşılaştırın: koni tam olarak üçte biri. Ana doğrusu √(3² + 4²) = 5; hacmin ihtiyaç duymadığı ama yan yüzeyin duyduğu değer.
Kenarı 4 olan küp
plain
s = 4V = s³ = 4³ = 64 ve hiçbir yerde π yok. Yüzey alanı 6s² = 96, çünkü küpün altı eş kare yüzü vardır. İki cevap da tam sayı; yöntemini kontrol etmek için işe yarayan örnek bu.
Cevap kesir tuttuğunda: yarıçapı 2 olan küre
plain
r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3, yaklaşık 33.51. 3, 32'yi bölmez, dolayısıyla tam cevap kesri korur - 33.5 yazmak onu kaybeder ve bu değerle devam eden her soruda hata yol alır.
Sık yapılan hatalar
- Konide veya piramitte 1/3'ü unutmak. Cevap tam üç kat büyük çıkar ki aramayı bildiğinizde en kolay yakalanan hatadır.
- Birimleri karıştırmak. Önce çevirin: santimetre cinsinden bir yarıçapla metre cinsinden bir yükseklik, hiçbir anlamı olmayan bir sayı üretir.
- Kareye yükseltmeden çarpmak. πr²h içinde kareye yükseltilen yarıçaptır, çarpım değil: π · (3 · 5)² bambaşka bir niceliktir.
- Çapı yarıçap olarak kullanmak. Bu r'yi ikiye katlar; silindirin hacmini dört, kürenin hacmini sekiz katına çıkarır.
- Hacmi yüzey alanıyla karıştırmak. Biri içteki yerdir ve küp birimlerle çıkar; diğeri kabuktur ve kare birimlerle.
- Koninin hacminde ana doğruyu kullanmak. Hacim dik yüksekliği ister; ana doğru yan yüzey alanı içindir.
Hacim hakkında sık sorulanlar
Silindirin hacim formülü nedir?
V = πr²h - dairesel tabanın alanı çarpı yükseklik. Yarıçap 3 ve yükseklik 5 için bu π · 9 · 5 = 45π, yaklaşık 141.37. Yüksekliğe çarpmadan önce yarıçapı kareye yükseltin.
Kürenin hacmi nedir?
V = 4/3 πr³. Yarıçapı 3 olan küre 4/3 · π · 27 = 36π alır, yaklaşık 113.1. Buradaki formüllerin taban alanı çarpı yükseklik olarak okunamayan tek örneği; bu yüzden ezberlenmesi gerekir.
Koni ve piramit formüllerinde 1/3 neden var?
Çünkü koni veya piramit, aynı taban ve aynı yükseklikteki prizmanın tam olarak üçte birini alır. Dolu bir koniyi aynı boyuttaki silindire boşaltın, üçte birini doldurur - katsayı daralmaya ilişkin bir olgudur, bir kolaylık değil.
Hacim hangi birimlerle çıkar?
Ölçülerinizin biriminin küpüyle. Santimetre santimetreküp, metre metreküp verir. Bütün ölçüler hesaplamadan ÖNCE aynı birime çevrilmelidir, yoksa cevap hiçbir şey ifade etmez.
Dikdörtgenler prizmasının hacmini nasıl bulurum?
Üç boyutu çarpın: V = u · g · h. Her prizmada olduğu gibi taban alanı çarpı yüksekliktir, çünkü prizmanın taban alanı u · g'dir. 2'ye 3'e 4 bir prizma 24 küp birim alır.
Hacim ile yüzey alanı arasındaki fark ne?
Hacim içteki yerdir ve küp birimlerle ölçülür; yüzey alanı dışın toplam alanıdır ve kare birimlerle ölçülür. Bu sayfa yüzey alanının tam olduğu her yerde ikisini de bildirir - küp, prizma, silindir ve küre.
Koninin ana doğrusu nedir?
Tepeden eğik yüzey boyunca kenara olan uzaklık: yarıçap ile yüksekliğe Pisagor teoremi uygulanarak √(r² + h²). Yükseklikten uzundur, yan yüzey alanı formülünün ihtiyaç duyduğu değerdir ve hacimde hiçbir rol oynamaz.
π neden sembol olarak tutuluyor?
Çünkü 45π tamdır, 141.37 ise bir yuvarlama. Sınav soruları cevabı sıkça π cinsinden ister, tam olarak hesap makinesi olmadan kontrol edilebildiği için; çok adımlı bir problemde erken yuvarlamak sonraki adımların ihtiyaç duyduğu hassasiyeti kaybettirir.
