Klasik: dik kenarlar 3 ve 4
plain
a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25 ve √25 = 5 tam olarak. Bu 3-4-5 üçgeni; üç kenarı da tam olan en küçüğü ve görür görmez tanınmaya değer - katları 6-8-10 ile 9-12-15 gibi.
Pisagor Teoremi Hesaplayıcı
Çizili üçgende iki kenar üçüncüsünü tam verir, kökler dahil.
Son güncelleme
Bunları hesap makinesi olmadan çözmek ister misin?
Coddy matematik dersi yöntemin kendisini öğretir: her adımı etkileşimli bir tahtada işlersin ve hangi hamlenin nerede yanlış gittiğini tam olarak öğrenirsin.
Dik kenarların kareleri hipotenüsün karesini verir
Bir dik üçgende - ve yalnızca dik üçgende - a² + b² = c² olur; burada c hipotenüstür: dik açının karşısındaki kenar ve her zaman üçünün en uzunu. İfade ALANLARdan söz eder: kısa iki kenarın her birinin üzerine bir kare çizin; bu ikisinin toplam alanı, en uzun kenar üzerine çizilen karenin alanına tam olarak eşittir. Her şeyin kareye yükseltilmesinin ve cevabın sonunda karekök gerektirmesinin nedeni bu.
Aritmetiğin hangi yöne gittiği hangi kenarın eksik olduğuna bağlıdır ve hataların neredeyse tamamı orada yaşar. Hipotenüsü arıyorsanız iki kareyi TOPLARSINIZ. Bir dik kenarı arıyorsanız ÇIKARIRSINIZ: a² = c² − b²; çünkü hipotenüsün karesi toplamdır, bilinen dik kenarın karesi ise onun bir parçasıdır. Çıkarılacak yerde toplamak, hipotenüsten büyük bir cevap verir ki bu imkânsızdır - işe yarar bir kontrol.
Buradaki cevaplar tam. Dik kenarları 2 ve 3 olan bir üçgenin hipotenüsü √13'tür ve bu sayfa √13 verir - yanında 3.6056 ile, olduğu şey olan yuvarlama olarak etiketlenmiş. √20 olduğu gibi bırakılmaz, 2√5 diye sadeleşir; üç kenarı da tam çıkan bir üçgen ise olduğu şey olan pisagor üçlüsü olarak işaretlenir.
Dikkat edilecekler
- Teorem yalnızca dik üçgende geçerlidir. Başka üçgenlerde a² + b² ile c² yalnızca farklı iki sayıdır; orada genel biçim kosinüs teoremidir.
- c her zaman en uzun kenardır. Hipotenüs cevabınız bir dik kenardan küçük çıktıysa bir yerde toplama çıkarmaya dönüşmüş.
- Dik kenar bulmak bir çıkarmadır. a² = c² − b² doğrudan teoremden gelir ve hipotenüsten çok daha sık yanlış yapılan durum budur.
- Cevapların çoğu irrasyoneldir. Üç kenarı da tam olan üçgenler - 3-4-5, 5-12-13 - istisnadır; kök biçiminin önemi de bundandır.
- Dik üçgenin alanı ab/2'dir: iki dik kenar çarpılıp yarıya bölünür. Hipotenüs işe karışmaz, çünkü dik kenarlar zaten dik açıyla kesişir.
- Bir üçlünün her katı yine üçlüdür. 3-4-5 üçlüsünün 3 katı 9-12-15 verir; aynı üçgenlerin alıştırmalarda sürekli karşınıza çıkmasının nedeni bu.
Eksik kenar nasıl bulunur
Hipotenüsü belirleyin
Dik açının karşısındaki ve üçünün en uzunu olan kenardır. Burada yanılmak sonraki her adımı bozar, o yüzden hiçbir şey hesaplamadan önce onu işaretleyin.
Toplayacak mısınız, çıkaracak mısınız, karar verin
Hipotenüs eksikse: dik kenarların karelerini toplayın. Dik kenar eksikse: bilinen dik kenarın karesini hipotenüsün karesinden çıkarın.
Bildiğiniz kenarları kareye yükseltin
Önce kare, sonra toplama veya çıkarma. Topladıktan sonra kareye yükseltmek - (a + b)² - farklı ve çok daha büyük bir sayıdır.
Karekökü alın
Bu kareyi geri alır ve kenarın kendisini verir. Tam çıkmıyorsa ondalığa koşmak yerine kökü sadeleştirin: √20, 2√5'tir.
Büyüklüğü sağlamayla kontrol edin
Hipotenüs her iki dik kenardan uzun, toplamlarından kısa olmalı. Cevabınız bu iki kuraldan birini bozuyorsa toplama ile çıkarma yer değiştirmiş.
Dik üçgenlere bir bakış
Ezberlemeye değer üçlüler ve cevap tam çıkmadığında ne olduğu. Tam sütunu cevaptır; ondalık onun yuvarlanmışıdır.
| a | b | c | Tam | Ondalık |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
Çözümlü örnekler
İrrasyonel hipotenüs: dik kenarlar 2 ve 3
plain
a = 2, b = 34 + 9 = 13, yani hipotenüs √13. Cevap bu - 3.6056 onun yuvarlanmışıdır ve 3.6056'nın karesi 13 değil 12.9999… eder. Dik üçgenlerin çoğu böyledir; tam sayı olanlar istisnadır.
Kökü sadeleştirmek: dik kenarlar 2 ve 4
plain
a = 2, b = 44 + 16 = 20 ve √20 olduğu gibi bırakılmaz: 20 = 4 · 5 ve 4 kökten 2 olarak çıkar, 2√5 verir. Aynı sayı ve her değerlendirmenin beklediği biçim.
Dik kenar bulmak: hipotenüs 5, diğer dik kenar 4
plain
b = 4, c = 5Önce düzenleyin: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, yani a = 3. Toplamak √41 ≈ 6.4 verirdi ki hipotenüsten uzun - imkânsız; bu hatayı anında yakalayan kontrol de budur.
Kesirli kenarlar: 3/2 ve 2
plain
a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4 ve 25/4'ün karekökü tam olarak 5/2. Kesirler baştan sona kesir kalır; cevabın 2.5 değil 5/2 olmasının nedeni bu - burada ikisi aynı sayı olsa da.
Sık yapılan hatalar
- Eksik kenar bir dik kenarken toplamak. Hipotenüsün karesi TOPLAMdır; dik kenar bulmak ondan çıkarmaktır.
- Kareleri toplamak yerine toplamı kareye yükseltmek. a² + b² ile (a + b)² aynı değildir; ikincisi 2ab kadar büyüktür ve gerçek bir üçgende bu asla sıfır olmaz.
- Yanlış kenarı hipotenüs saymak. Hipotenüs dik açının karşısındakidir; en son çizilen veya sağdaki değil.
- Karekökü unutmak. 3² + 4² = 25 cevabın karesidir, cevap değil: hipotenüs 5'tir, 25 değil.
- Dik açısı olmayan bir üçgende teoremi kullanmak. Yalnızca dik üçgenlerde doğrudur; diğerleri kosinüs teoremini ister.
- Kökü fazla erken yuvarlamak. √13'ün karesi tam olarak 13'tür ama 3.61'in karesi 13.0321'dir; çok adımlı bir problemde bu hata büyür.
Pisagor teoremi hakkında sık sorulanlar
Pisagor teoremi nedir?
Dik üçgende a² + b² = c²; burada a ile b iki kısa kenar (dik kenarlar), c ise dik açının karşısındaki hipotenüstür. Alan olarak okunuşu: dik kenarlar üzerine çizilen karelerin toplam alanı, hipotenüs üzerine çizilen karenin alanına tam olarak eşittir.
Hipotenüsü nasıl bulurum?
İki dik kenarı kareye yükseltip toplayın ve karekökünü alın: c = √(a² + b²). Dik kenarlar 3 ve 4 için bu √25 = 5. Kök tam çıkmazsa sadeleşmiş kök olarak bırakın - √20, 2√5 olur.
Dik kenarı nasıl bulurum?
Toplayarak değil çıkararak: a² = c² − b², yani a = √(c² − b²). Hipotenüs 5 ve bir dik kenar 4 iken bu √(25 − 16) = 3. En sık yanlış yapılan durum budur; kontrol de dik kenarın her zaman hipotenüsten kısa olması gerektiğidir.
Pisagor üçlüsü nedir?
Teoremi sağlayan üç tam sayı: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Bir üçlünün her katı da üçlüdür, dolayısıyla 6-8-10 ile 9-12-15 3-4-5 ile bedava gelir. Dik üçgenlerin çoğu üçlü DEĞİLDİR; irrasyonel cevapların kural olmasının nedeni bu.
Teorem her üçgende çalışır mı?
Hayır, yalnızca dik üçgenlerde. Diğerleri için genel ifade kosinüs teoremidir: c² = a² + b² − 2ab·cos(C); bu, C 90° olup kosinüsü sıfır olduğunda tam olarak Pisagor teoremine indirgenir.
Bu sayfa neden ondalık yerine kök tutuyor?
Çünkü kök tam cevaptır, ondalık ise onun yuvarlanmışı. √13'ün karesi tam 13'tür; 3.61'in karesi 13.0321. Çok adımlı bir problemde bu fark birikir ve çoğu değerlendirme zaten tam biçimi ister.
Bir üçgenin dik olup olmadığını nasıl kontrol ederim?
Elinizdeki üç kenarda teoremi deneyin: en uzun kenar c olmak üzere a² + b² tam olarak c²'ye eşitse üçgende dik açı vardır. Sol taraf büyükse açı dar, küçükse geniştir - bu teoremin karşıtıdır ve gerçekten işe yarar bir kontroldür.
Kesir ve ondalık kabul ediyor mu?
Evet ve ikisi de tam kalır. 3/2 ile 2 dik kenarları tam olarak 5/2 hipotenüs verir; ondalık bir giriş de kayan noktalı yaklaşıklık değil, adını verdiği tam kesir olarak okunur.
