R の平均値・中央値・標準偏差

平均値と中央値

統計学で最もよく使われる 2 つの要約は、それぞれ 1 回の関数呼び出しで求まります。

mpg <- mtcars$mpg

print(mean(mpg))
print(median(mpg))

mean() はすべてを足して個数で割ります。median() は値を並べ替えて真ん中のものを取ります（個数が偶数のときは真ん中 2 つの平均を取ります）。mtcars の 32 台では、平均燃費は約 20.1 mpg、中央値は 19.2 です。両者が近いことは、データがひどく歪んでいないことを示します。両者が大きく 食い違う 場合、それもまた情報です。最後にその話をします。

誰もが驚くことがひとつあります。ベクトルに NA が 1 つでも含まれていると、どちらの関数も NA を返します。

x <- c(4, 8, NA, 6)

print(mean(x))
print(mean(x, na.rm = TRUE))

これは意図的なものです。R は欠測値が存在しないふりを黙ってすることを拒みます。na.rm = TRUE は「手元にある値で計算せよ」という意味です。この記事のほぼすべての要約関数がこれを受け取ります。NA がどのように伝播するかの全体像は欠測値にあります。

標準偏差と分散

sd() は散らばりを測ります。ざっくり言えば、典型的な値が平均からどれだけ離れているかを、データと同じ単位で表します。var() はその 2 乗です。

mpg <- mtcars$mpg

print(sd(mpg))
print(var(mpg))
print(sd(mpg)^2)

標準偏差が約 6 mpg ということは、車はおおむね平均 20.1 から 6 mpg 以内に収まるということです。sd() はデータ自身の単位なので、報告するのはこちらです。var() は主に他の式の中に現れます。

授業の課題で重要になる細部がここです。sd() と var() は 標本 統計量を計算します — 偏差平方和を n ではなく n − 1 で割ります。

x <- c(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)
n <- length(x)

sample_var <- sum((x - mean(x))^2) / (n - 1)
population_var <- sum((x - mean(x))^2) / n

print(sample_var)      # what var(x) gives you
print(var(x))
print(population_var)  # divide by n instead

なぜ n − 1 なのでしょうか。平均を同じデータから推定したため、その推定平均のまわりの偏差は系統的に少しだけ小さくなります。n − 1 で割ることでそれを補正します。手元のデータはほぼ常に、より大きな何かからの標本なので、n − 1 の版が求めるものです。本当に 母集団全体 がある場合（クラスの全生徒、カタログの全商品）は、var(x) * (n - 1) / n と掛け直します。

平均の標準誤差

標準偏差と標準誤差は絶えず混同されるので、はっきり区別しましょう。sd はデータを、SE は平均の推定精度を表します。 R には組み込みの se() はありませんが、式は 1 行です。

mpg <- mtcars$mpg

se <- sd(mpg) / sqrt(length(mpg))
print(se)

標準誤差は標本が大きくなるほど小さくなります。データを 4 倍集めれば SE は半分になります。標本が大きいほど平均をより精確に絞り込めるからです。sd は標本サイズでは小さく なりません。何台測ろうと、車のばらつきはそのままです。SE は信頼区間の構成要素であり、そこで真価を発揮します。

summary() — 1 回の呼び出しで全体像

summary() は五数要約に平均を加えたものを一度に返し、データフレーム全体に対しても動きます。

print(summary(mtcars$mpg))

print(summary(mtcars[, c("mpg", "wt", "hp")]))

データフレームに対して呼ぶとすべての列を要約します。数値の列には最小値・四分位数・平均・最大値が、因子には水準ごとの度数が表示されます。読み込んだばかりのデータセットに対してまず実行すべきものです。ありえない値（負の年齢、最大値 9999）が即座に目に飛び込んできます。

分位点、範囲、IQR

quantile() は中央値を任意の区切り点に一般化したものです。

mpg <- mtcars$mpg

print(quantile(mpg))
print(quantile(mpg, probs = c(0.1, 0.5, 0.9)))

print(range(mpg))
print(IQR(mpg))
print(max(mpg) - min(mpg))

引数なしで呼ぶと、最小値、四分位数、最大値を返します。特定の区切り点が欲しいときは probs = を渡します。上の例の第 10 百分位数と第 90 百分位数は、データの大半が存在する範囲を挟み込みます。IQR()（第 25 百分位数と第 75 百分位数の距離）は、sd() と違って外れ値に引きずられない散らばりの尺度です。range() は最小値と最大値を対で返します。

最頻値: R の mode() はこれをしません

これには誰もがちょうど一度だけ引っかかります。R には mode() という関数がありますが、統計とは何の関係もなく、オブジェクトの記憶型を報告します。

x <- c(3, 7, 7, 2, 7, 5, 3)

print(mode(x))   # "numeric" - not what you wanted

counts <- table(x)
print(counts)
print(names(which.max(counts)))

覚えるべきイディオムはこうです。table(x) が各値の出現回数を数え、which.max() が最大の度数を見つけ、names() がその値自体を取り出します。返ってくるのは文字列である点に注意してください（table の名前は常に文字列です）。それで計算したい場合は as.numeric() で包みます。2 つの値が同数の場合、which.max() は黙って最初のものだけを返します。同数がありえる状況では table を自分で確認しましょう。

平均か中央値か: どちらを報告すべきか

平均はすべての値を使います。それが強みでもあり弱みでもあります。極端な値が 1 つあるだけで引きずられます。中央値は真ん中しか気にしないので、外れ値はほとんど影響しません。

salaries <- c(42000, 45000, 47000, 48000, 51000, 54000, 58000)
print(mean(salaries))
print(median(salaries))

# The CEO joins the dataset:
salaries <- c(salaries, 900000)
print(mean(salaries))
print(median(salaries))

値を 1 つ加えただけで平均は約 49,300 から 155,000 超へ跳ね上がります。データの中の 誰も 表していない数値です。一方、中央値は 48,000 から 49,500 へ動くだけです。所得、住宅価格、入院日数が中央値で報告されるのはこのためです。長い裾を持つ歪んだデータでは、平均は誤解を招きます。おおむね対称なデータでは両者は一致し、平均で問題ありません（統計的にもより効率的です）。どちらの状況にいるかは手早いヒストグラムが教えてくれますし、平均と中央値を比べること自体が 1 行でできる歪みのチェックです。

この章のまとめ

• mean(x) と median(x) — 欠測値があるときは na.rm = TRUE を追加します。
• sd(x) と var(x) は 標本 統計量（分母が n − 1）を計算します。それが求めるものです。
• 標準誤差は sd(x) / sqrt(length(x)) — データの散らばりではなく、平均をどれだけよく知っているかを測ります。
• 読み込んだばかりのデータフレームへの summary() は、R で最も速い健全性チェックです。
• 最頻値は names(which.max(table(x))) です。R の mode() は記憶型に関する関数です。
• 歪んだデータや外れ値があるなら中央値を報告しましょう。対称なデータなら平均で構いません。

次は、2 つの変数がどれだけ連動するかを測ること — cor() と cor.test() による相関です。