المقاييس الثلاثة مع المدى والأرباع، وطريقة الوصول إلى كل منها.
آخر تحديث
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
المتوسط يجمع كل شيء ويقسمه بالتساوي. والوسيط يتجاهل الأحجام ويختار القيمة الواقعة في منتصف الترتيب. والمنوال يتجاهل الموضع تماماً ويختار ما يتكرر أكثر. هذه ثلاثة أسئلة مختلفة حقاً، وفي قائمة مائلة تعطي ثلاثة أجوبة مختلفة حقاً - وهي اللحظة التي تصبح فيها معرفة الفرق مهمة.
لهذا يحرّك سعرُ بيت واحد في شارع من الشقق المتوسطَ ويترك الوسيطَ في مكانه: المتوسط يشعر بحجم كل قيمة، أما الوسيط فلا يعدّ إلا المواضع. اسأل أيّ «متوسط» أُعطيت كلما ذُكر رقم واحد عن الرواتب أو الأسعار أو أوقات الانتظار - فهذا الاختيار يؤدي عملاً حقيقياً.
تعرض هذه الصفحة الثلاثة، مع المدى والأرباع والمدى الربيعي، وتبيّن كيف يخرج كل واحد من القائمة المرتّبة. والمتوسطات تبقى دقيقة: فمتوسط 1 و2 و4 هنا هو 7/3 لا 2.33، لأن 2.33 عدد آخر، والتقريب قرار يخصّ من يقرأ.
من الأصغر إلى الأكبر. تكلّف دقيقة وتجعل ثلاثة من الأجوبة مقروءة بنظرة واحدة.
اجمع كل القيم واقسم على عددها. أبقِه كسراً إن لم يخرج صحيحاً - فـ 7/3 دقيق و2.33 ليس كذلك.
مع عدد فردي هو القيمة الوسطى الوحيدة. ومع عدد زوجي خُذ القيمتين الوسطيتين ومتوسطهما.
القيمة الأكثر ظهوراً. عُدّ وأنت تمرّ على القائمة المرتّبة؛ والتساوي حقيقي وكلتاهما تُحسب.
الأكبر ناقص الأصغر هو المدى. اقسم القائمة المرتّبة عند الوسيط (مع إخراج الوسيط نفسه إن كان العدد فردياً) وخُذ وسيط كل نصف: هما Q1 وQ3، وQ3 − Q1 هو المدى الربيعي.
لاحظ الصفوف التي تختلف فيها - القائمة المائلة هي بالضبط حيث يغيّر اختيارُ المتوسط الحكايةَ.
| القيم | المتوسط | الوسيط | المنوال | المدى |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 4.5 | 4 | 7 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 2.5 | - | 3 |
| 12, 15, 11, 15, 20 | 14.6 | 15 | 15 | 9 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 2 | - | 3 |
| 1, 1, 2, 2, 3 | 1.8 | 2 | 1, 2 | 2 |
| 10, 10, 10, 100 | 32.5 | 10 | 10 | 90 |
| 3, 3, 3 | 3 | 3 | 3 | 0 |
| 5, 6, 7, 8, 9 | 7 | 7 | - | 4 |
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9المجموع 40 على 8 قيم، فالمتوسط 5. ومع عدد زوجي يكون الوسيط متوسط القيمتين الرابعة والخامسة، 4 و5، أي 4.5. والمنوال 4 ويظهر ثلاث مرات. ثلاثة أعداد مختلفة، وكلها أجوبة صحيحة لأسئلة مختلفة.
1, 2, 3, 4كل قيمة تظهر مرة واحدة بالضبط، فلا منوال على الإطلاق - لا صفر ولا القيمة الأولى. والمتوسط والوسيط كلاهما 2.5، وهو ما يحدث حين تكون القائمة منتظمة التوزيع. والوسيط هنا ليس عضواً في القائمة، وهذا طبيعي تماماً مع عدد زوجي.
1, 1, 2, 2, 3كلٌّ من 1 و2 يظهر مرتين، فالقائمة ثنائية المنوال وكلاهما منوال. واختيار أحدهما وإسقاط الآخر خطأ؛ والجواب الصادق هو كلاهما. والمتوسط 1.8 والوسيط 2.
10, 10, 10, 100الوسيط 10 والمنوال 10، لكن المتوسط 32.5 - أكثر من ثلاثة أمثال ما تقوله معظم البيانات. وهذه الخصيصة هي التي تجعل الوسيط الاختيارَ الصادق لأسعار المنازل والرواتب، والمتوسطَ الاختيارَ المضلِّل.
1, 2, 4المجموع 7 على 3 قيم، فالمتوسط 7/3 - وهو ما تعرضه هذه الصفحة. وكتابة 2.33 ترمي ثلثاً، وهذا يهمّ في اللحظة التي يُستخدم فيها العدد في شيء آخر، كالانحراف المعياري.
المتوسط هو المجموع مقسوماً على العدد. والوسيط هو القيمة الوسطى بعد ترتيب القائمة. والمنوال هو القيمة الأكثر ظهوراً. تجيب عن ثلاثة أسئلة مختلفة عن المنتصف، وفي قائمة مائلة تعطي ثلاثة أعداد مختلفة.
خُذ القيمتين الوسطيتين ومتوسطهما. في 1, 2, 3, 4 الوسطيتان هما 2 و3، فالوسيط 2.5 - عدد لا يلزم أن يظهر في القائمة أصلاً. والترتيب أولاً هو ما يعطي كلمة «الوسط» معنى.
نعم. إذا تساوت قيمتان أو أكثر في التكرار الأعلى فكلها منوالات، وتسمى القائمة ثنائية أو متعددة المنوال. وتعرض هذه الصفحة كل القيم المتساوية بدل اختيار واحدة، لأن اختيار واحدة سيكون خطأً.
إذا ظهرت كل قيمة مرة واحدة بالضبط فلا منوال للقائمة. وهذا جواب مشروع - لا صفر ولا الأولى ولا الأكبر. وبعض الكتب تقول إن المنوال «غير موجود» لمثل هذه القائمة، وهو المعنى نفسه.
الوسيط عندما تحتوي البيانات على قيم متطرفة أو ذيل طويل - الدخول، أسعار المنازل، أوقات الانتظار. والمتوسط عندما تكون القيم متناظرة تقريباً وينبغي أن تُحسب كلها. والمنوال عندما تكون البيانات فئات لا أحجاماً، أو حين تريد فعلاً الحالة الأكثر شيوعاً.
بالطريقة التي تُدرَّس في المدرسة: رتّب القائمة، واقسمها عند الوسيط (مع استثناء الوسيط نفسه إذا كان العدد فردياً)، وخُذ وسيط كل نصف. وهناك اصطلاحات أخرى تعطي أجوبة مختلفة قليلاً في العيّنات الصغيرة، فقد يختلف كتابٌ عنها - وهذه الصفحة تعلن الطريقة التي تستخدمها.
هو مدى النصف الأوسط من البيانات، Q3 − Q1، ويتجاهل الأطراف عن قصد. وهذا يجعله مقياس تشتّت أمتن بكثير من المدى البسيط الذي تحدّده كلياً أكثر قيمتين شذوذاً في القائمة.
لأنه دقيق. فمتوسط 1 و2 و4 هو 7/3، وكتابة 2.33 تفقد ثلث جزء من مئة فوراً، وأكثر إن أُعيد استخدام العدد. ويُعرض العدد العشري أيضاً إذا كان منتهياً، لكن الجواب هو القيمة الدقيقة.
