Menu
Coddy logo textMath
ابدأ التعلم
flag Ar iconالعربيةdown icon

حلّال المعادلات

أي معادلة، محلولة وكل خطوة مسمّاة كما يسمّيها معلّمك.

بقلم Nethanel Bar, Co-founder & CEO

آخر تحديث

تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟

دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.

ابدأ دورة الرياضيات

إيجاد x تسلسل من الخطوات، لا حيلة

كل معادلة تصادفها في جبر المدرسة تُحلّ بالطريقة نفسها: تفعل الشيء ذاته بالطرفين، مرة بعد مرة، حتى يبقى الحرف وحده. ما يتغيّر من مسألة إلى أخرى هو الخطوة التالية فقط، وهي وحدها ما يستحقّ التعلّم. الإجابة وحدها لا تعلّم شيئًا من ذلك.

لذلك يُظهر هذا الحلّال الخطوات. كل سطر يقول ما الذي فُعل — «اطرح 7 من الطرفين»، «قسّم إلى حالات»، «اضرب تقاطعيًا» — ثم يعرض المعادلة التي أنتجتها تلك الخطوة. والأسماء ليست مبتكرة لهذه الصفحة: هي الأسماء نفسها التي تستخدمها دورة الرياضيات في Coddy على لوحها التفاعلي، لأن الحاسبة والدورة تعملان بمحرّك واحد.

كما أنه يختار الطريق كما يختاره معلّم لا كما يختاره حاسوب. التحليل إلى عوامل يتفوّق على القانون العام حيثما أمكن، لأنه أقصر ولأنه ما ستفعله بيدك. وعدد الخطوات المعروض هو عدد الخطوات التي تكلّفها المسألة فعلًا.

ما ينبغي ملاحظته في الخطوات

  • اقرأ أسماء الخطوات لا الأسطر وحدها. إن استطعت قول سبب اختيار كل خطوة، فستحلّ التالية بلا هذه الصفحة.
  • لاحظ أين تكفّ المعادلة عن أن تكون عن x وتصير حسابًا. عند هذا التسليم يفقد أكثر الناس إشارةً.
  • المعادلة التربيعية القابلة للتحليل تُحلّ هنا بالتحليل لا بالقانون. كلاهما صحيح، لكن أحدهما أقصر، ومعرفة أيّهما مهارة.
  • الإجابات تبقى مضبوطة. 7/2 هي الإجابة و3.5 صورتها العشرية — وفي سؤال عن الكسور يُحتسب الفرق.
  • «لا حلّ» و«كل عدد يصلح» إجابتان حقيقيتان لا خطأ. المعادلة التي تؤول إلى 1 = 2 لا حلّ لها، والتي تؤول إلى 1 = 1 حلولها كل الأعداد.

كيف تستعمل حلّال المعادلات

  1. اكتب المعادلة

    كما تكتبها على الورق: 2x + 3 = 11، x^2 - 5x + 6 = 0، (x+1)/(x-2) = 3. استخدم ^ للأسس وsqrt(...) للجذور و|x| للقيمة المطلقة.

  2. اختر الحرف الذي تحلّ من أجله

    عند وجود أكثر من حرف يظهر صفّ من الأزرار. هكذا تعيد ترتيب قانون: اكتب A = l w واختر l لتحصل على l = A/w.

  3. اقرأ الإجابة ثم الطريق

    الإجابة في الأعلى لأن أكثر الناس جاؤوا من أجلها. أما الخطوات المرقّمة تحتها فهي الجزء الذي يستحقّ قراءتين.

  4. قارنها بحلّك أنت

    إن خرجت بإجابة أخرى، فالسؤال المفيد ليس أيّ رقم صحيح بل عند أيّ سطر افترقتما. جد ذلك السطر، وغالبًا ما يشرح الخطأ نفسه.

ما الذي يستطيع حلّه

حلّال واحد، وهو من يختار الطريقة بدل أن يسألك عنها. هذه هي الصور التي يميّزها وأول خطوة يتّخذها في كل منها.

نوع المعادلةمثالكيف يبدأ
خطية3x + 7 = 22ينقل الثابت ثم يقسم
المجهول في الطرفين5x - 4 = 3x + 6يجمع حدود x في طرف أولًا
أقواس2(x - 3) = 4x + 1يقسم أو يفكّ الأقواس، أيّهما أقصر
تربيعيةx² - 5x + 6 = 0يحلّل إن أمكن، وإلا فالقانون العام
كسرية ونسبية(x+1)/(x-2) = 3يضرب تقاطعيًا ثم يحلّ ما بقي
قيمة مطلقة|x - 1| = 4يقسّمها إلى الحالتين اللتين يمثّلهما الشريطان
جذرية√(x + 3) = 5يربّع الطرفين ثم يتحقّق من الجذور الدخيلة
أنظمة2x + y = 5; x - y = 1يحذف مجهولًا ثم يعوّض عائدًا
متباينات3x + 2 > 11الخطوات نفسها، مع انقلاب الإشارة عند القسمة على سالب
قوانين (حرفية)A = l wاختر الحرف الذي تريده فيُعزَل

أمثلة محلولة

معادلة خطية: 3x + 7 = 22

plain
3x + 7 = 22

خطوتان. ينتقل 7 إلى الطرف الآخر فيبقى 3x = 15، والقسمة على 3 تعطي x = 5. لاحظ أن الحلّال لا يؤدّي «اطرح 7 من الطرفين» ثم «اقسم على 3» كطقسين منفصلين: هو يسمّي كل خطوة بما تحقّقه، وهي الطريقة التي ستصفها بها بصوت عالٍ.

المجهول في الطرفين: 5x - 4 = 3x + 6

plain
5x - 4 = 3x + 6

المهمة الأولى جمع كل حدود x في طرف واحد. بعد ذلك تعود المسألة إلى المثال السابق. هذه هي الصورة التي تُقنع الطالب أول مرة بأن الجبر إجراء لا أُحجية، ويستحقّ الأمر حلّ عشرة منها حتى تصير الخطوة الأولى تلقائية.

تربيعية قابلة للتحليل: x² - 5x + 6 = 0

plain
x^2 - 5x + 6 = 0

التحليل يعطي (x - 3)(x - 2) = 0، وقاعدة الضرب الصفري تقسّمها إلى حالتين، كلٌّ منهما معادلة خطية بخطوة واحدة. القانون العام كان سينجح أيضًا وسيأخذ أربعة أسطر إضافية — ولهذا بالضبط لا يستعمله الحلّال هنا.

إعادة ترتيب قانون: A = l w من أجل l

plain
A = l w

اختر l في صفّ «حُلّ بالنسبة إلى» فينقل الحلّال w ليعطي l = A/w. إنها الآلية نفسها التي تحلّ بها من أجل x، وإدراك ذلك من أنفع لحظات أول مقرّر جبر: القانون ما هو إلا معادلة لحروفها أسماء.

أخطاء شائعة

  • فعل شيء في طرف واحد فقط. كل خطوة هنا تُطبَّق على الطرفين، وما إن يتوقّف ذلك حتى تكفّ المعادلة عن أن تكون المعادلة نفسها.
  • نسيان قلب المتباينة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب. ‎-2x > 6 تعطي x < -3 لا x > -3.
  • فقدان حلّ في معادلة تربيعية. للمعادلة (x - 3)(x - 2) = 0 إجابتان، وكتابة الأولى وحدها أشيع طريقة لخسارة نصف الدرجة.
  • تربيع معادلة جذرية دون تحقّق. التربيع قد يخترع جذورًا لا تحقّق المعادلة الأصلية، فلا بدّ من اختبارها واستبعادها.
  • الاختصار عبر جمع. في (2x + 4)/2 يُقسم الحدّان على 2، فالناتج x + 2 وليس 2x + 2 أبدًا.
  • اعتبار «لا حلّ» خطأً. بعض المعادلات لا حلّ لها فعلًا، وإدراك ذلك هو الإجابة لا الإخفاق في إيجادها.

أسئلة شائعة

كيف أجد x؟
بأن تُلغي ما فُعل بـ x، عمليةً واحدة في كل مرة، وأن تفعل الشيء نفسه بالطرفين في كل مرة. اعمل من الخارج إلى الداخل: الجمع والطرح أولًا، ثم الضرب والقسمة، ثم الأسس والجذور. حين يبقى x وحده يكون الطرف الآخر هو الإجابة. كل طريق يطبعه هذا الحلّال ليس إلا هذه الفكرة مكرّرة.
هل الخطوات مجانية فعلًا؟
نعم، وبلا تسجيل. يستحقّ الأمر قولًا صريحًا، لأن أشهر موقعين للرياضيات خطوة بخطوة يعرضان الإجابة ثم يطلبان اشتراكًا لرؤية كيف وصلا إليها. هنا الحلّ موجود على الصفحة ببساطة: هو الجزء الذي يعلّم، ووضعه خلف دفع يُفرغ الأمر من معناه.
ما الذي يستطيع حلّه؟
المعادلات الخطية، وما كان المجهول فيه في الطرفين، وذوات الأقواس، والكسرية والنسبية، والتربيعية، وذوات القيمة المطلقة، والجذرية، والأسّية ذات الأساس المشترك، وأنظمة المعادلات، والمتباينات والمتباينات المزدوجة، والمعادلات الحرفية التي تعيد فيها ترتيب قانون من أجل أحد حروفه.
لماذا حلّل إلى عوامل بدل استعمال القانون؟
لأن التحليل أقصر حيثما أمكن، ولأن الحلّال يختار طريقه كما يختاره معلّم لا كما يختاره حاسوب. وفي معادلة تربيعية لا تُحلّل بسلاسة يلجأ إلى القانون العام ويكتبه خطوةً خطوة.
هل يعيد ترتيب قانون بدل حلّ معادلة؟
نعم — وهذا بالضبط دور صفّ «حُلّ بالنسبة إلى». اكتب القانون، واختر الحرف الذي تريده وحده، فيعزله الحلّال. عزل t من v = u + at هو العمل نفسه تمامًا كحلّ 3x + 7 = 22 من أجل x، ورؤية ذلك مكتوبًا هي غالبًا ما يجعل الفكرة تستقرّ.
ماذا يعني «لا حلّ»؟
أن المعادلة تناقض نفسها. المعادلة x + 1 = x + 2 تؤول إلى 1 = 2، ولا قيمة لـ x تصلح ذلك، فلا حلّ لها. ويحدث العكس أيضًا: 2(x + 1) = 2x + 2 تؤول إلى 1 = 1، أي أن كل عدد يصلح.
هل يعرض أعدادًا عشرية؟
يعرض قيمًا مضبوطة، لأن الإجابة هي هذه. تبقى 7/2 كما هي، ويصير √12 هو 2√3 لا 3.464. العدد العشري تقريب للإجابة، وفي سؤال عن الكسور أو الجذور يُعدّ التقريب خطأً.

أدوات رياضيات أخرى

حاسبة المعادلة التربيعية

حل أي معادلة تربيعية بكل الخطوات مكتوبة وبقيم دقيقة.

حاسبة التحليل إلى عوامل

أي متعددة حدود تُحلَّل، مع اسم النمط المستخدم في كل خطوة.

حاسبة تبسيط المقادير

بسّط أو افتح الأقواس أو حلّل مقدارًا، خطوة خطوة بأسمائها.

Coddy programming languages illustration

تعلّم الرياضيات مع Coddy

ابدأ الآن