Un aumento di prezzo: da 40 a 50
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40 → 50La variazione è 50 - 40 = 10. Come quota del valore iniziale: 10/40 = 1/4. Per 100% dà un aumento del 25%. Tre righe, e ognuna risponde a una domanda naturale: quanto, che quota, che percentuale.
Variazione percentuale
Da un valore a un altro, come percentuale del punto di partenza.
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La variazione percentuale si misura rispetto al punto di partenza
La variazione percentuale risponde a una domanda: di quale parte del valore ORIGINALE si è spostato? Il metodo sta in tre righe. Sottrai il valore vecchio da quello nuovo per ottenere la variazione; dividi la variazione per il valore vecchio; moltiplica per 100% per leggere il risultato come percentuale. Da 40 a 50 la variazione è 10, la quota è 10/40 = 1/4 e il risultato è un aumento del 25%.
La parola più importante di tutto il metodo è «originale». Dividere per il valore nuovo risponde a un'altra domanda, ed è il motivo per cui un aumento e il calo che lo annulla non hanno la stessa grandezza: da 40 a 50 è +25%, ma da 50 di nuovo a 40 è -20%, perché il secondo percorso si misura rispetto a 50. Questa asimmetria confonde più persone di qualsiasi altro fatto sulle percentuali, e i passaggi svolti qui sotto la rendono visibile invece che misteriosa.
L'aritmetica è esatta dall'inizio alla fine. Da 30 a 40 è un aumento del 33⅓%, scritto come la frazione che è e non come 33.33%, perché una percentuale arrotondata si trasforma in un risultato sbagliato non appena qualcuno ci moltiplica sopra.
Cosa notare
- La base è sempre il valore iniziale. La variazione percentuale da a a b divide per a; dividere per b risponde a «quale percentuale annullerebbe questo cambiamento».
- Salire e poi scendere della stessa percentuale non ti riporta al punto di partenza. +25% e poi -25% del nuovo valore ti porta al 93.75% di dove eri partito: le due percentuali hanno basi diverse.
- Il segno indica la direzione: positivo è un aumento, negativo una diminuzione. Questa pagina scrive anche la parola, così il segno non va mai decifrato.
- Una variazione oltre il -100% è impossibile per grandezze che non possono diventare negative; una variazione oltre il +100% significa solo che il valore è più che raddoppiato.
- Variazione percentuale e punti percentuali sono unità diverse. Da 10% a 15% è un aumento di 5 punti percentuali, ma una variazione percentuale del 50%: specifica quale intendi.
Come calcolare la variazione percentuale
Sottrai: nuovo meno vecchio
Da 40 a 50 la variazione è 50 - 40 = 10. Se il risultato è negativo, il valore è sceso: tieni il segno, è la direzione.
Dividi per il valore vecchio
La variazione come quota del punto di partenza: 10/40 = 1/4. È in questo passaggio che si infila la base sbagliata: il denominatore è il valore da cui sei partito, non quello a cui sei arrivato.
Moltiplica per 100%
1/4 × 100% = 25%. Positivo significa aumento, negativo diminuzione: da 40 a 50 il valore è salito del 25%.
La variazione percentuale a colpo d'occhio
Alcuni percorsi e la loro variazione percentuale esatta, comprese le coppie che sembrerebbero dover coincidere e invece no.
| Da | A | Variazione percentuale |
|---|---|---|
| 40 | 50 | +25% |
| 50 | 40 | -20% |
| 30 | 40 | +33⅓% |
| 80 | 60 | -25% |
| 60 | 80 | +33⅓% |
| 100 | 250 | +150% |
| 250 | 100 | -60% |
| 20 | 20 | 0% |
| 10 | 5 | -50% |
| 5 | 10 | +100% |
Esempi svolti
Lo stesso percorso al contrario: da 50 a 40
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50 → 40La variazione è 40 - 50 = -10, e ora la base è 50, quindi la quota è -10/50 = -1/5, una diminuzione del 20%. Non del 25%: il calo che annulla un aumento del 25% è sempre più piccolo in percentuale, perché si misura rispetto al numero più grande.
Un risultato periodico: da 30 a 40
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30 → 40La variazione è 10 e la quota è 10/30 = 1/3, cioè esattamente 33⅓%. Scrivere 33.33% è vicino ma sbagliato, e usare il valore arrotondato per ricostruire il nuovo valore dà 39.996 invece di 40: qui l'esattezza non è pignoleria.
Valori negativi: da -10 a -5
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-10 → -5La variazione è -5 - (-10) = 5: il valore è salito. Misurata rispetto alla grandezza del punto di partenza, |−10| = 10, fa 5/10 = 50%, un aumento. Dividere per il valore con il segno chiamerebbe diminuzione uno spostamento verso lo zero, ed è per questo che la convenzione divide per il valore assoluto.
Errori comuni
- Dividere per il valore nuovo. La variazione percentuale si misura rispetto al punto di PARTENZA: da 40 a 50 si divide per 40. Dividere per 50 risponde a un'altra domanda.
- Aspettarsi che un aumento e il suo inverso coincidano. Un +25% si annulla con un -20%, non con un -25%: i due movimenti hanno basi diverse.
- Fare la media delle variazioni percentuali su più periodi. +50% e poi -50% non fa 0%: ti porta al 75% del valore iniziale. Le variazioni percentuali si compongono, non si sommano.
- Confondere variazione percentuale e punti percentuali. Un tasso di interesse che passa dal 4% al 5% è salito di un punto percentuale, e del 25 per cento: le due affermazioni sono entrambe vere e significano cose diverse.
- Arrotondare la quota prima di moltiplicare per 100. Tieni la frazione esatta fino all'ultima riga, o l'errore che introduci si moltiplica in tutto ciò che viene dopo.
- Perdere il segno. Il meno È la parola «diminuzione»: scrivi -20%, o «una diminuzione del 20%», ma mai solo «20%» per un calo.
Domande frequenti sulla variazione percentuale
Come si calcola la variazione percentuale tra due numeri?
Sottrai il valore vecchio da quello nuovo, dividi per il valore vecchio e moltiplica per 100%. Da 40 a 50: (50 - 40) / 40 = 1/4 = 25%, un aumento. Un risultato negativo è una diminuzione.
Perché da 40 a 50 è un aumento del 25% ma da 50 a 40 solo un calo del 20%?
Perché ogni percorso si misura rispetto al proprio punto di partenza. Salendo, la variazione di 10 si confronta con 40; scendendo, lo stesso 10 si confronta con 50. Stessa distanza, base diversa, percentuale diversa: ed è per questo che annullare un aumento richiede sempre una percentuale più piccola dell'aumento stesso.
Qual è la differenza tra variazione percentuale e differenza percentuale?
La variazione percentuale ha una direzione: va da un valore vecchio a uno nuovo e divide per quello vecchio. La differenza percentuale confronta due valori senza un ordine, dividendo per la loro media. Quando qualcuno parla di «differenza percentuale» per un prima e dopo, quasi sempre intende la variazione percentuale, che è quella che calcola questa pagina.
Cosa significa una variazione percentuale superiore al 100%?
Che il valore è più che raddoppiato. Da 100 a 250 è un aumento del 150%: la variazione di 150 è una volta e mezza il valore iniziale. Non c'è nessun errore: in salita la variazione percentuale non ha un tetto.
Come gestisce i valori iniziali negativi?
La variazione mantiene il suo segno, e la divisione usa il valore assoluto del punto di partenza, quindi uno spostamento da -10 a -5 si legge come l'aumento del 50% che è: il valore è salito di metà della sua grandezza. Dividere per il valore con il segno invertirebbe la direzione e lo chiamerebbe diminuzione.
Qual è la domanda inversa, cioè annullare una variazione percentuale?
Per annullare un aumento del p% dividi per (1 + p/100), non sottrai il p%. Un aumento del 25% si annulla dividendo per 1.25, cioè con un calo del 20%. Se ti serve aumentare o ridurre un valore di una percentuale, la calcolatrice dell'aumento percentuale fa esattamente questo, con il procedimento mostrato.
Perché a volte il risultato è una frazione?
Perché la percentuale esatta non ha un numero finito di decimali. Da 30 a 40 l'aumento è del 33⅓%, esattamente un terzo, e qualsiasi forma decimale ne è un arrotondamento. Quando il risultato è un decimale finito ottieni il decimale; quando è periodico ottieni la frazione mista esatta.
