Quadrati perfetti
Un quadrato perfetto non è un numero con una proprietà speciale da andare a cercare. È una quantità di oggetti che si può disporre come un quadrato vero, e tutto il resto viene da lì.
Ultimo aggiornamento
"Quadrato perfetto" sembra un'etichetta che qualcuno ha appiccicato a una lista di numeri che ora devi imparare a memoria. Non è così. Il nome descrive una forma, e appena vedi la forma la lista smette di aver bisogno di essere memorizzata.
Sposta il cursore. Guarda cosa viene aggiunto ogni volta.
Sposta il cursore di un passo. La L colorata è ciò che si è aggiunto: contala e hai la differenza tra due quadrati consecutivi.
Il nome è letterale
6^2 = 36 non significa "il 6 è passato per l'operazione di elevamento al quadrato". Significa: prendi 36 quadratini e puoi disporli come un quadrato di lato 6. Prendine 35 e non ci riesci: resterà sempre un buco o un pezzo che sporge. Questa è tutta la definizione, ed è il motivo per cui la parola è "quadrato" e non qualcosa di astratto.
Leggi la stessa figura al contrario e hai le radici quadrate. sqrt(36) = 6 è la domanda "se 36 quadratini formano un quadrato, quanto è lungo il suo lato?". Un numero ha una radice quadrata intera esattamente quando è un quadrato perfetto, ed è per questo che le due idee si insegnano sempre insieme.
La tabella da sapere
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Venti righe coprono in pratica ogni esercizio di scuola, perché i problemi vengono costruiti a ritroso partendo da risultati che si possano verificare.
Gli scarti sono i numeri dispari
È questo il vero motivo del cursore. Portalo da 5 a 6 e conta la L ombreggiata che compare: cinque quadratini lungo il nuovo lato, cinque lungo il nuovo lato in alto e uno nell'angolo. Undici.
In generale, passare da n^2 a (n+1)^2 aggiunge 2n+1 quadratini, sempre un numero dispari. Quindi le differenze tra quadrati consecutivi vanno 3, 5, 7, 9, 11, 13 …, e sommando i dispari in ordine ottieni i quadrati in ordine:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
È anche un modo davvero veloce per allungare la tabella a mente. Se sai che 14^2 = 196 e vuoi 15^2, aggiungi 2*14 + 1 = 29: 225.
Riconoscerne uno senza calcolatrice
Due filtri ti portano quasi fino in fondo.
Guarda l'ultima cifra. Eleva al quadrato un numero qualsiasi e finirà con 0, 1, 4, 5, 6 o 9, mai con 2, 3, 7 o 8. Quindi 4.398 non è un quadrato perfetto e non hai dovuto fare nessun calcolo. Non è una coincidenza: l'ultima cifra di un prodotto dipende solo dalle ultime cifre dei fattori, e elevando al quadrato i numeri da 0 a 9 si ottengono solo quelle sei terminazioni.
Poi stringilo tra due quadrati. 200 sta tra 14^2 = 196 e 15^2 = 225, quindi non resta nessun intero di cui possa essere il quadrato. Qualsiasi numero strettamente compreso tra due quadrati consecutivi non è un quadrato perfetto.
Perché continuano a saltare fuori
I quadrati perfetti sono il motivo per cui alcuni polinomi di secondo grado si scompongono in modo pulito e altri no. x^2 - 49 si separa come differenza di due quadrati perché 49 è un quadrato; x^2 - 50 no. Sono anche ciò che permette di semplificare una radice: sqrt(75) diventa 5sqrt(3) proprio perché dentro 75 si nasconde il quadrato perfetto 25.
Provane uno
E uno che va nell'altro verso: un'equazione invece di una consultazione della tabella. Nota che ha due soluzioni, che è proprio la cosa su cui con le radici quadrate si sbaglia più spesso:
Sia 7 sia -7 al quadrato danno 49, quindi sono entrambe soluzioni. Il simbolo sqrt(49) indica solo quella positiva: è una convenzione sul simbolo, non un fatto sull'equazione.
Domande frequenti
- Cos'è un quadrato perfetto?
- Un numero intero che si ottiene moltiplicando un intero per sé stesso. 9 è un quadrato perfetto perché 3 per 3 fa 9; 10 non lo è, perché nessun intero moltiplicato per sé stesso dà 10. Il nome è letterale: esattamente quel numero di quadratini si può disporre a formare un quadrato.
- Quali sono i quadrati perfetti da 1 a 100?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100: i quadrati dei numeri da 1 a 10. Andando oltre 100 trovi 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 e 400, che ti portano fino a 20 al quadrato e coprono quasi tutto quello che chiedono gli esercizi di scuola.
- Come capisco se un numero è un quadrato perfetto?
- Due filtri veloci, poi una verifica. Un quadrato perfetto non finisce mai con 2, 3, 7 o 8, quindi quei numeri sono esclusi subito. Se il numero supera questo filtro, cerca il quadrato più vicino che conosci e allargati da lì: 200 sta tra 196 e 225, quindi non lo è. Solo quando un numero supera entrambi i filtri serve calcolarne la radice quadrata.
- Perché gli scarti tra quadrati perfetti sono i numeri dispari?
- Per far crescere un quadrato da lato n a lato n+1 devi aggiungere una striscia lungo un lato, una striscia in alto e un quadratino nell'angolo: n + n + 1, che è sempre dispari. Così le differenze vanno 3, 5, 7, 9 e così via, e sommando i dispari in ordine ottieni i quadrati in ordine.
- 0 è un quadrato perfetto?
- Sì. 0 per 0 fa 0, quindi rientra esattamente nella definizione. Alcuni elenchi scolastici partono da 1 perché un quadrato senza lato è difficile da immaginare, ma niente nella definizione lo esclude, e considerare 0 un quadrato rende più ordinata l'algebra che viene dopo.
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