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Una qualsiasi misura del cerchio dà tutte le altre, con π lasciato come π.
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Il corso di matematica di Coddy insegna il metodo vero e proprio: svolgi ogni passaggio su una lavagna interattiva e ti viene detto esattamente dove un passaggio è andato storto.
Un cerchio ha un solo grado di libertà, quindi una sola misura fissa tutte le altre. Dal raggio r: il diametro è 2r, la circonferenza è 2πr e l'area è πr². Queste tre formule sono tutto l'argomento, e l'unica cosa da tenere a mente è che la circonferenza usa il raggio una volta mentre l'area lo usa due volte: al quadrato, non raddoppiato.
π è ciò che rende un cerchio un cerchio: è il rapporto tra qualsiasi circonferenza e il suo diametro, lo stesso numero per ogni cerchio mai disegnato. È irrazionale, quindi non ha un decimale esatto, ed è proprio per questo che questa pagina lo lascia come lettera π. Una circonferenza di 6π è una risposta esatta; 18.85 è un arrotondamento, e i due non sono intercambiabili quando la consegna ne chiede uno dei due.
Questa esattezza funziona anche all'indietro. Inserisci una circonferenza di 10 e il raggio è 5/π, ancora esatto e ancora un numero reale, e l'area risulta 25/π. Ogni calcolatore concorrente moltiplica per 3.14159 al primo passaggio e quindi non può mai restituire la risposta che vuole un esercizio di scuola.
Raggio, diametro o circonferenza. In un problema a parole è facile confonderli, e usare un diametro dove la formula vuole un raggio raddoppia la risposta.
r = d/2. Farlo per primo significa che ti serve sempre una sola formula invece di ricordarne due.
C = 2πr. Per ora lascia π come lettera: 2π · 3 fa 6π, ed è già una risposta esatta e completa.
Se l'esercizio vuole un numero, moltiplica per 3.14159… proprio alla fine. Arrotondare presto fa perdere la precisione che serve al resto di un problema a più passaggi.
Da una circonferenza, r = C/(2π). La π resta al denominatore, ed è esatto; dividere per 3.14 a questo punto è dove di solito si butta via la precisione.
Le stesse quattro misure per i raggi più comuni. La colonna esatta è la risposta; il decimale ne è un arrotondamento.
| Raggio | Diametro | Circonferenza | Area | C come decimale |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2π | π | 6.2832 |
| 2 | 4 | 4π | 4π | 12.5664 |
| 3 | 6 | 6π | 9π | 18.8496 |
| 5 | 10 | 10π | 25π | 31.4159 |
| 7 | 14 | 14π | 49π | 43.9823 |
| 10 | 20 | 20π | 100π | 62.8319 |
| 1/2 | 1 | π | π/4 | 3.1416 |
| 2.5 | 5 | 5π | 6.25π | 15.708 |
r = 3C = 2π · 3 = 6π esatti, cioè circa 18.8496. L'area è π · 3² = 9π, circa 28.27. Nota che il raggio va al quadrato per l'area e non per la circonferenza: questa singola differenza è la causa di gran parte degli errori su questo argomento.
d = 10Prima dividilo a metà: r = 5. Poi C = 2π · 5 = 10π, e A = π · 5² = 25π. Usare direttamente il diametro in C = 2πr avrebbe dato 20π, esattamente il doppio, ed è l'errore più comune qui.
C = 10r = 10/(2π) = 5/π, che è esatto e vale circa 1.5915. L'area è quindi π · (5/π)² = 25/π, circa 7.96. Tenere π al denominatore è ciò che rende esatti questi valori; dividere prima 10 per 6.28 avrebbe arrotondato prima ancora di iniziare l'area.
r = 1/2C = 2π · 1/2 = π esatti: un cerchio di raggio un mezzo ha una circonferenza esattamente pari a π. La sua area è π/4. Le frazioni restano frazioni, quindi lungo la strada non si perde niente.
r = 36π è un unico numero esatto. 18.8496 è un decimale che coincide con esso fino alla quarta cifra e poi se ne discosta per sempre, perché π è irrazionale. Se un esercizio dice "dai la risposta in funzione di π", la risposta è 6π e 18.85 viene segnato come errore.
