z = 1.96, due code
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z = 1.96L'area a destra di 1.96 sulla curva normale è 0.025; raddoppiata per le due code fa 0.05. È il caso limite: esattamente significativo al livello del 5%, ed è per questo che 1.96 è il numero che tutti ricordano.
Calcolo p-value
Da una statistica z, t o chi quadro al suo p-value, con la coda disegnata e la decisione spiegata.
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Un p value è un'area, e questa pagina la disegna
Un p value risponde a una domanda precisa: se l'ipotesi nulla fosse vera, quanto spesso comparirebbe una statistica almeno così estrema? Quel «quanto spesso» è un'area sotto una curva, e la curva dipende dalla statistica. Uno z-score vive sulla curva normale standard, una statistica t sulla curva t, con code più pesanti, per i suoi gradi di libertà, e una statistica chi quadro su una curva che parte da zero e ha solo la coda destra. La maggior parte delle calcolatrici ti dà il numero; questa pagina ombreggia l'area che il numero rappresenta, perché un p value che puoi vedere è un p value che puoi spiegare.
La scelta delle code è il punto in cui gli studenti perdono punti. Un test a due code chiede se la statistica è estrema in una qualsiasi direzione, quindi l'area si prende da entrambi i lati e, per simmetria, si raddoppia. Un test a una coda riguarda una sola direzione. Il test chi quadro è sempre a coda destra, perché una statistica grande significa un cattivo adattamento e una piccola un buon adattamento in qualunque direzione. Imposta le code in base all'ipotesi che hai davvero scritto prima di guardare i dati.
Accanto al p value la pagina elenca il valore critico a 0.10, 0.05, 0.01 e 0.001, così puoi prendere la decisione anche alla vecchia maniera, confrontando la statistica con un valore della tavola. Le due strade concordano sempre: p è sotto alfa esattamente quando la statistica supera il valore critico. Vederle entrambe insieme rende evidente l'equivalenza. Le code estreme sono calcolate direttamente e non come uno meno un numero arrotondato, quindi un p value di uno su cento milioni viene stampato per quello che è invece di crollare a zero.
Cosa sapere sui p value
- Un p value non è la probabilità che l'ipotesi nulla sia vera, e nemmeno la probabilità che il risultato sia un caso. È la probabilità di dati così estremi, calcolata assumendo vera l'ipotesi nulla.
- La significatività è una soglia che hai scelto in anticipo. Lo stesso p di 0.03 è significativo a 0.05 e non a 0.01; il numero non è cambiato, è cambiato il tuo criterio.
- Due code costano il doppio. Uno z di 1.96 dà p = 0.05 a due code e p = 0.025 a una coda. Scegliere una coda dopo aver visto il segno del risultato è barare.
- La curva t ha code più spesse della normale, quindi con pochi gradi di libertà la stessa statistica dà un p più grande. A df = 30 le due sono vicine; a df = 1000 coincidono fino alla seconda cifra decimale.
- Il p value del chi quadro è sempre la coda destra. Non esiste un test chi quadro di adattamento a due code.
Come trovare il p value da una statistica test
Identifica la statistica
Uno z-score viene da un modello normale o da un test su una proporzione con un campione grande. Una statistica t viene da un test t sulle medie e porta con sé i gradi di libertà. Una statistica chi quadro viene da una tabella di contingenza o da un test di adattamento e ha anch'essa i gradi di libertà.
Decidi le code in base all'ipotesi
«Diverso da» è a due code. «Maggiore di» è a coda destra, «minore di» a coda sinistra. Il chi quadro è per natura a coda destra.
Trova l'area oltre la statistica
Quell'area, sulla curva giusta, è il p value. Per un test a due code prendi l'area oltre il valore assoluto da un lato e raddoppiala.
Confronta con alfa, o con il valore critico
p sotto alfa significa significativo. In modo equivalente, una statistica oltre il valore critico a quell'alfa significa significativo. Vengono mostrati entrambi; non sono mai in disaccordo.
Valori critici a colpo d'occhio
Il valore che la statistica di un test a due code (o di un chi quadro a coda destra) deve raggiungere per essere significativa.
| Test | α = 0.10 | α = 0.05 | α = 0.01 |
|---|---|---|---|
| z, due code | 1.645 | 1.960 | 2.576 |
| t, df = 10, due code | 1.812 | 2.228 | 3.169 |
| t, df = 30, due code | 1.697 | 2.042 | 2.750 |
| chi quadro, df = 1 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
| chi quadro, df = 4 | 7.779 | 9.488 | 13.277 |
Esempi svolti
t = 2.5 con 12 gradi di libertà
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t = 2.5, df = 12Sulla curva t con 12 gradi di libertà il p a due code è circa 0.028. Sulla curva normale lo stesso 2.5 darebbe 0.012; le code più spesse della curva t rendono la stessa statistica meno impressionante quando il campione è piccolo.
Chi quadro = 7.8 con 3 gradi di libertà
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χ² = 7.8, df = 3La coda destra oltre 7.8 ha un'area di circa 0.050, quindi il risultato sta proprio sul confine del 5%. Il valore critico a 0.05 per 3 gradi di libertà è 7.815, e 7.8 resta appena sotto: è la stessa decisione letta dall'altro lato.
Errori sui p value
- Leggere un p value come la probabilità che l'ipotesi nulla sia vera. È la probabilità dei dati data l'ipotesi nulla, che è una condizionata diversa.
- Scegliere le code dopo aver visto il risultato. Se l'ipotesi diceva «diverso», il test è a due code anche quando il risultato è andato nella direzione sperata.
- Usare la curva normale per una statistica t con un campione piccolo. Sotto i 30 gradi di libertà circa la differenza conta, e rende sempre più grande il p reale.
- Trattare p = 0.049 e p = 0.051 come mondi diversi. Sono la stessa evidenza; li separa solo la soglia.
- Riportare p = 0.000. Un p value non è mai zero. Scrivi p < 0.001, o il numero minuscolo reale che questa pagina stampa.
- Dimenticare i gradi di libertà. Una statistica t o chi quadro senza i suoi df non ha alcun p value.
Domande frequenti sul p value
Come si calcola il p value da uno z-score?
Trova l'area sotto la curva normale standard oltre lo z-score. Per un test a coda destra è l'area a destra di z; per un test a due code prendi l'area oltre il valore assoluto di z e raddoppiala. Uno z di 2.0 dà un p a una coda di 0.0228 e a due code di 0.0455. Scrivi lo z qui sopra e la pagina ombreggia l'area che sta riportando.
Qual è la differenza tra p value a una coda e a due code?
Un p value a due code conta i risultati estremi in entrambe le direzioni, quindi con una curva simmetrica è il doppio di quello a una coda. Usa due code quando l'ipotesi è «diverso da», una coda quando è «maggiore di» o «minore di» e quella direzione è stata fissata prima di vedere i dati.
p = 0.05 è significativo?
Al livello del 5% un p value deve essere sotto 0.05, quindi esattamente 0.05 sta sul confine e la maggior parte delle convenzioni lo considera non significativo. In pratica la differenza tra 0.049 e 0.051 non è affatto un'evidenza; riporta il numero stesso e lascia che chi legge veda quanto è vicino.
Come ottengo il p value da una statistica t?
Ti servono i gradi di libertà oltre a t. Il p value è l'area sotto la curva t con quei gradi di libertà oltre la statistica, raddoppiata per un test a due code. Per un test a un campione o appaiato i gradi di libertà sono n meno 1; per un test a due campioni con varianza combinata sono n1 più n2 meno 2.
Perché il test chi quadro è sempre a coda destra?
Perché la statistica chi quadro misura la distanza totale tra frequenze osservate e attese, e una distanza non è mai negativa. Una statistica grande significa che le frequenze osservate sono lontane da quello che prevede l'ipotesi nulla; una piccola che sono vicine. Solo il lato grande è un'evidenza contro l'ipotesi nulla, quindi si conta solo la coda destra.
Cosa significa un p value di 0.0001?
Che dati così estremi comparirebbero circa una volta su diecimila se l'ipotesi nulla fosse vera. È una forte evidenza contro l'ipotesi nulla. Non dice nulla su quanto sia grande l'effetto: a quello serve un intervallo di confidenza.
Posso ottenere un p value senza una statistica test?
Non in questa pagina. Devi aver già eseguito un test e avere il suo valore z, t o chi quadro. Se invece hai i dati grezzi, usa la calcolatrice del test t per le medie o quella del chi quadro per le frequenze: entrambe calcolano insieme la statistica e il p value.
