Quali sono le proprietà delle potenze?

Cinque reggono quasi tutto: moltiplicando potenze con la stessa base gli esponenti si sommano, dividendo si sottraggono, elevando una potenza a potenza si moltiplicano, qualsiasi numero elevato a 0 fa 1, e un esponente negativo significa uno fratto la potenza con esponente positivo. Tutte e cinque derivano dallo scrivere le potenze come moltiplicazioni ripetute.

Perché qualsiasi numero elevato a zero fa 1?

Per la proprietà del quoziente. Qualsiasi numero diviso per se stesso fa 1, e la proprietà del quoziente dice che la stessa divisione è la base elevata all'esponente meno se stesso, cioè 0. Le due affermazioni descrivono la stessa divisione, quindi a elevato a 0 deve fare 1. È una conseguenza obbligata, non una decisione; l'unica eccezione è 0 elevato a 0, che resta indefinito.

Cosa significa un esponente negativo?

Significa un reciproco, non un numero negativo. 2 elevato a -3 fa 1/8, che è positivo. Continua a dividere per la base mentre l'esponente scende (8, 4, 2, 1) e, andando oltre l'1, ottieni 1/2, 1/4, 1/8. Un esponente negativo ti dice quante volte dividere invece di moltiplicare.

Quando posso sommare gli esponenti e quando no?

Solo quando le basi sono identiche e stai moltiplicando. 2 alla terza per 2 alla quarta fa 2 alla settima, ma 2 alla terza per 3 alla quarta non si può combinare affatto: contano cose diverse. Sommare gli esponenti mentre si sommano i termini è l'errore più comune in assoluto: x al quadrato più x al cubo non fa x alla quinta.

(a + b) al quadrato è uguale ad a al quadrato più b al quadrato?

No, ed è l'errore da chiamare per nome. L'elevamento al quadrato si distribuisce sulla moltiplicazione, non sulla somma. (ab) al quadrato fa davvero a al quadrato per b al quadrato, ma (a + b) al quadrato si sviluppa in a al quadrato più 2ab più b al quadrato. Il termine centrale mancante è proprio quello che il quadrato del binomio rende visibile.

Proprietà delle potenze

Cinque regole che ogni studente copia su un foglietto e che metà di loro poi applica male. Scritte come moltiplicazioni ripetute, nessuna ha bisogno di essere ricordata.

Di Nethanel Bar, Cofondatore e CEO

Ultimo aggiornamento 25 agosto 2026

Tutti copiano le proprietà delle potenze su un foglietto, e dopo qualche mese metà di loro le applica alla cosa sbagliata. Non è un problema di memoria. Una regola solo memorizzata non ti dà nessun modo per capire se si applica, quindi finisce usata ovunque sembri andare bene in superficie.

La soluzione è smettere di trattarle come regole. Scegline una qui sotto e leggi la riga centrale.

Base a2

Esponente m2

Esponente n3

Prodotto

la proprietàa^(2) · a^(3) = a^(2 + 3) = a^(5)

sviluppato(a · a) · (a · a · a) = a · a · a · a · a

con numeri veri2^(2) · 2^(3) = 4 · 8 = 32

La riga centrale è la dimostrazione. Ognuna di queste proprietà è ovvia appena scrivi le potenze come moltiplicazioni ripetute, quindi non devi mai fidarti della memoria.

Ogni regola è un conteggio

a^3 è un'abbreviazione. Quello che dice davvero è a · a · a: tre copie di a, moltiplicate tra loro. Appena entrambi i lati di una regola sono scritti così, la regola smette di essere un'affermazione e diventa un conteggio.

Moltiplicare: due copie accanto a tre copie fanno cinque copie.

a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5

Non hai sommato gli esponenti perché lo diceva una regola. Li hai sommati perché stavi contando quante a sono finite nella riga.

Dividere: cinque copie sopra due copie, e due si semplificano.

a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3

Potenza di potenza: tre copie di "due copie" fanno sei copie.

(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6

Tre regole, un solo ragionamento. Il motivo per cui si confondono "sommare" e "moltiplicare" è che si sono memorizzati i verbi invece del conteggio.

Esponente zero ed esponente negativo sono obbligati, non scelti

Queste due sembrano convenzioni decise da qualcuno, e non lo sono.

Prendi a3/a3. Qualsiasi cosa divisa per se stessa fa 1. Ma la proprietà del quoziente dice che fa a^(3-3) = a^0. Entrambe descrivono la stessa divisione, quindi a^0 = 1 è l'unico valore che mantiene coerenti le regole.

Continua a scendere. Ogni passo in giù dell'esponente divide ancora una volta per a:

potenza	valore con a = 2
2³	8
2²	4
2¹	2
2⁰	1
2⁻¹	1/2
2⁻²	1/4

A zero non cambia direzione niente: il dimezzamento continua e basta. Un esponente negativo è tutto qui: a^-n = 1/a^n. In particolare non è un numero negativo. 2^-3 fa 1/8, che è positivo.

y = 2 elevato alla x. La curva passa per (0, 1), l'esponente zero, e a sinistra non tocca mai l'asse: sono gli esponenti negativi che diventano piccoli, non negativi.

I tre errori da chiamare per nome

Basi diverse non si combinano. 2^3 · 3^4 resta com'è. Le regole parlano di contare copie della stessa cosa, e qui si contano due cose diverse.

Sommare dei termini non è moltiplicarli. x^2 + x^3 non fa x^5. Scrivilo per esteso: due copie più tre copie non fanno cinque copie, fanno la somma di due quantità diverse. Niente si semplifica, niente si combina.

Le potenze si distribuiscono sui prodotti, non sulle somme. (ab)^2 = a2b2 è vero: due copie di ab sono due a e due b. Ma (a+b)^2 non fa a^2 + b^2; si sviluppa in a^2 + 2ab + b^2, e il termine centrale è esattamente quello che prevede la proprietà distributiva.

Provane una

Se hai preso la calcolatrice, riprova semplificando: quattro copie di 3 sopra due copie di 3 lasciano due copie, e due copie di 3 fanno 9. È la versione che continua a funzionare quando la base è x invece di 3.

Dove porta tutto questo

Le proprietà delle potenze sono ciò che fa funzionare i calcoli in notazione scientifica, ciò che trasforma una radice in una potenza con esponente frazionario e ciò che permette a un logaritmo di trasformare una moltiplicazione in una somma. Sono sempre le stesse cinque regole, lette in un'altra direzione: un buon motivo per conoscerle per ragionamento e non a memoria.

Domande frequenti

Quali sono le proprietà delle potenze?: Cinque reggono quasi tutto: moltiplicando potenze con la stessa base gli esponenti si sommano, dividendo si sottraggono, elevando una potenza a potenza si moltiplicano, qualsiasi numero elevato a 0 fa 1, e un esponente negativo significa uno fratto la potenza con esponente positivo. Tutte e cinque derivano dallo scrivere le potenze come moltiplicazioni ripetute.
Perché qualsiasi numero elevato a zero fa 1?: Per la proprietà del quoziente. Qualsiasi numero diviso per se stesso fa 1, e la proprietà del quoziente dice che la stessa divisione è la base elevata all'esponente meno se stesso, cioè 0. Le due affermazioni descrivono la stessa divisione, quindi a elevato a 0 deve fare 1. È una conseguenza obbligata, non una decisione; l'unica eccezione è 0 elevato a 0, che resta indefinito.
Cosa significa un esponente negativo?: Significa un reciproco, non un numero negativo. 2 elevato a -3 fa 1/8, che è positivo. Continua a dividere per la base mentre l'esponente scende (8, 4, 2, 1) e, andando oltre l'1, ottieni 1/2, 1/4, 1/8. Un esponente negativo ti dice quante volte dividere invece di moltiplicare.
Quando posso sommare gli esponenti e quando no?: Solo quando le basi sono identiche e stai moltiplicando. 2 alla terza per 2 alla quarta fa 2 alla settima, ma 2 alla terza per 3 alla quarta non si può combinare affatto: contano cose diverse. Sommare gli esponenti mentre si sommano i termini è l'errore più comune in assoluto: x al quadrato più x al cubo non fa x alla quinta.
(a + b) al quadrato è uguale ad a al quadrato più b al quadrato?: No, ed è l'errore da chiamare per nome. L'elevamento al quadrato si distribuisce sulla moltiplicazione, non sulla somma. (ab) al quadrato fa davvero a al quadrato per b al quadrato, ma (a + b) al quadrato si sviluppa in a al quadrato più 2ab più b al quadrato. Il termine centrale mancante è proprio quello che il quadrato del binomio rende visibile.