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Di quante deviazioni standard un valore si trova dalla media, in modo esatto, con il percentile corrispondente.
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Prendi un valore qualsiasi di una distribuzione, sottrai la media e dividi per la deviazione standard. Il risultato dice di quante deviazioni standard il valore si discosta dal centro, e in quale direzione. Uno z di 2 significa due deviazioni standard sopra la media; uno z di meno 0.5 significa mezza deviazione standard sotto. Questa è tutta la formula, e vale la pena farla a mano almeno una volta, perché ogni idea successiva della statistica, dagli intervalli di confidenza ai test d'ipotesi, è uno z score travestito.
Gli z score contano perché mettono ogni distribuzione normale sullo stesso righello. Un voto di 85 in una verifica con media 70 e deviazione standard 6 è z = 2.5; un'altezza di 190 cm in una popolazione con media 175 e deviazione standard 6 è anch'essa z = 2.5. Stanno allo stesso percentile, circa il 99.4°, e una sola tavola serve per entrambi. Questa pagina legge quella tavola per te, disegna la curva con l'area sotto il tuo valore evidenziata e riporta anche la quota sopra e la quota entro quella distanza dalla media.
I calcoli qui restano esatti. Uno z di 15 su 6 è 5/2, e la pagina stampa 5/2 con 2.5 accanto, invece di un decimale che andrebbe arrotondato quando i numeri sono meno comodi. Il percentile, essendo un'area sotto una curva, è per forza un decimale, ed è indicato come tale.
Tieni il segno. Un valore sotto la media dà una differenza negativa, e quel segno arriva fino alla risposta.
Usa la deviazione standard della popolazione se ce l'hai, quella campionaria se hai solo quella. Tieni il risultato esatto se la divisione non è netta.
L'area a sinistra di z è la quota della popolazione sotto il tuo valore. Le tavole la riportano; questa pagina la calcola direttamente.
Il valore è uguale alla media più z per la deviazione standard. È così che una soglia percentile si ritrasforma in un punteggio.
Area a sinistra di z sotto la curva normale standard.
| z | Percentile | Quota sopra | Dove si usa |
|---|---|---|---|
| −2 | 2.3% | 97.7% | Due deviazioni standard sotto |
| −1 | 15.9% | 84.1% | Una sotto |
| 0 | 50% | 50% | La media |
| 1 | 84.1% | 15.9% | Una sopra |
| 1.28 | 90% | 10% | Soglia del 10% più alto |
| 1.645 | 95% | 5% | Test al 5% a una coda |
| 1.96 | 97.5% | 2.5% | Test al 5% a due code |
| 2.33 | 99% | 1% | Soglia dell'1% più alto |
x = 85, μ = 70, σ = 685 meno 70 fa 15, e 15 su 6 fa 5/2, quindi z = 2.5. L'area a sinistra di 2.5 è 0.9938, quindi il voto sta circa al 99.4° percentile: meno di uno studente su cento ha preso di più.
x = 48, μ = 50, σ = 2.548 meno 50 fa meno 2, e meno 2 su 2.5 fa meno 4/5, quindi z = −0.8. Circa il 21% delle misure è più basso. Uno z negativo non è uno z cattivo: sta solo sotto il centro.
z = 1.645, μ = 1000, σ = 150La domanda inversa. Il 5% più alto comincia a z = 1.645, e 1000 più 1.645 per 150 fa circa 1247. Passa la pagina a "Trova il valore a un punteggio z" per vedere la sostituzione.
