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Risolvi qualsiasi equazione di secondo grado con ogni passaggio scritto, in modo esatto.
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Il corso di matematica di Coddy insegna il metodo vero e proprio: svolgi ogni passaggio su una lavagna interattiva e ti viene detto esattamente dove un passaggio è andato storto.
Un'equazione di secondo grado è qualsiasi equazione che puoi scrivere come ax² + bx + c = 0, con a diverso da zero. La formula risolutiva, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, le risolve tutte, nessuna esclusa, cosa insolita e che vale la pena apprezzare. La scomposizione funziona solo quando i numeri sono amichevoli; il completamento del quadrato funziona sempre ma richiede pratica; la formula funziona sempre e richiede solo attenzione.
La parte che fa il vero lavoro è sotto la radice quadrata. b² - 4ac si chiama discriminante (o delta), e il suo segno decide la forma della risposta prima che tu calcoli qualsiasi altra cosa: positivo significa due radici, zero una radice doppia, negativo nessuna soluzione reale. Controllare prima il discriminante ti dice che tipo di risposta aspettarti, ed è il modo più veloce per scovare poi un errore di calcolo.
La formula non è una mossa sola, ed è questo il malinteso più comune. È una breve procedura: sostituisci, calcola il discriminante, estrai la radice, separa il ±, poi semplifica ogni ramo. Questa calcolatrice percorre tutti e cinque i passaggi, così puoi vedere quale avresti sbagliato.
Scrivi a, b e c nelle caselle. Vanno bene numeri interi, decimali e frazioni come 1/2. Un termine mancante significa un coefficiente zero: per x² - 4 = 0, b è 0.
Scrivi qualcosa come 2x^2 - 5x + 2 = 0 nel campo dell'equazione e premi Leggi. I termini di entrambi i membri vengono portati automaticamente a sinistra, quindi funziona anche 3x^2 = 2x + 1.
Il quarto passaggio ti dà b² - 4ac. Guarda il suo segno e prevedi la forma della risposta (due radici, una o nessuna) prima di scorrere oltre.
Se il tuo risultato non coincideva, la domanda utile non è quale numero sia giusto ma quale passaggio abbia preso un'altra strada. Trova quella riga e l'errore si spiega da solo.
La formula non è un assioma. È quello che ottieni completando il quadrato una volta sull'equazione generale, così che nessuno debba rifarlo con i propri numeri. Svolgerla una volta sola è la differenza tra ricordare la formula e capirla.
a x^2 + b x + c = 0
a non può essere zero: senza un termine in x² non c'è niente di secondo grado da risolvere, e anche il 2a al denominatore sarebbe zero.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
Per completare il quadrato serve un x² da solo, quindi la a davanti deve sparire. È anche il passaggio che porta a al denominatore, dove resta per tutto il resto della dimostrazione.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
Metà di b/a è b/2a, e il suo quadrato è b²/4a². È la mossa su cui gira tutta la dimostrazione: è esattamente ciò che mancava al membro di sinistra per essere un quadrato perfetto.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Ecco il discriminante, b² - 4ac, che compare da solo prima che qualcuno gli desse un nome.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
Entrambi i segni, perché elevati al quadrato danno la stessa cosa. Il 2a esce da √(4a²) come |2a|, e il ± davanti assorbe il segno in ogni caso.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
In quelle sette righe non si è usato nessun a, b o c particolare, ed è per questo che il risultato vale per ogni equazione di secondo grado. È anche il motivo per cui il discriminante decide la forma della risposta: è il numero sotto la radice, e se è negativo il sesto passaggio non ha dove andare.
Il valore di b² - 4ac decide tutto sulla forma della risposta prima che tu estragga una sola radice quadrata.
| Discriminante | Radici reali | Il grafico | Esempio |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | Due radici reali distinte | Taglia l'asse x due volte | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | Una radice doppia | Tocca l'asse x una volta | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | Nessuna soluzione reale | Non raggiunge mai l'asse x | x² + 2x + 5 = 0 |
| Un quadrato perfetto | Due radici razionali | Taglia in due frazioni o interi | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| Positivo, non un quadrato | Due radici irrazionali | Taglia in due radicali | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6Il discriminante è (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. La sua radice quadrata è esattamente 1, quindi le radici sono (5 + 1)/2 = 3 e (5 - 1)/2 = 2. Poiché il discriminante è un quadrato perfetto, entrambe le radici sono razionali e l'equazione si scompone anche come (x - 3)(x - 2) = 0. È il caso in cui la scomposizione sarebbe stata più veloce.
a = 2, b = -5, c = 2Il discriminante è 25 - 16 = 9, quindi √9 = 3 e le radici sono (5 + 3)/4 = 2 e (5 - 3)/4 = 1/2. Nota che la seconda radice resta 1/2 e non viene mai mostrata come 0.5: la frazione è il valore esatto, e il decimale ne è un'approssimazione che per caso è corta.
a = 1, b = -4, c = 1Il discriminante è 16 - 4 = 12, che non è un quadrato perfetto. √12 si semplifica in 2√3, quindi le radici sono (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. È qui che la maggior parte delle calcolatrici inizia a stampare 3.7320508 e smette di essere utile: 2 + √3 è la risposta, e qualsiasi decimale ne è un arrotondamento.
a = 1, b = 2, c = 5Il discriminante è 4 - 20 = -16. Nessun numero reale al quadrato dà un negativo, quindi l'equazione non ha soluzioni reali e la dimostrazione si ferma lì. La parabola sta interamente sopra l'asse x. Se nel tuo corso siete arrivati ai numeri complessi le radici sono -1 ± 2i, ma che conti come risposta dipende dall'insieme numerico in cui ti hanno insegnato a lavorare.
