Il piano cartesiano
Due rette numeriche incrociate ad angolo retto, e all'improvviso ogni coppia di numeri ha il suo posto. Le due cose che si sbagliano sono l'ordine della coppia e quale quadrante è quale: meglio esercitarsi che leggerle.
Ultimo aggiornamento
Prima del piano cartesiano, una retta era qualcosa che disegnavi e una circonferenza qualcosa che misuravi. Dopo, entrambe sono equazioni con cui puoi fare calcoli. Tutti i grafici, e gran parte di ciò che farai poi in algebra, si basano su un'idea piccola: una coppia di numeri indica un posto.
Clicca in un punto qualsiasi della griglia qui sotto. Le linee tratteggiate mostrano come si costruisce la coppia.
Clicca dove vuoi. Le linee tratteggiate mostrano come si legge la coppia: prima lungo l'asse x, poi in su lungo l'asse y.
Prima in orizzontale, poi in su
Ognuno dei due assi fa un solo lavoro. L'asse x va da sinistra a destra e misura quanto ti sposti in orizzontale; l'asse y va dal basso verso l'alto e misura quanto sali. Il punto in cui si incrociano è l'origine, che è (0, 0): nessuna distanza in nessuna delle due direzioni.
Per indicare un punto dai due numeri in un ordine fisso: prima in orizzontale, poi in su. Quindi (3, 2) significa tre a destra e due in su. Niente nel punto in sé dice quale numero è quale, quindi è l'ordine a portare quell'informazione: ecco perché si chiamano coppie ordinate, e perché (3, 2) e (2, 3) sono posti diversi.
Se continui a confonderli, c'è un trucco che di solito resta: la x viene prima della y nell'alfabeto, quindi viene prima nella coppia.
I numeri negativi invertono solo la direzione. Una coordinata x negativa vuol dire andare a sinistra invece che a destra; una y negativa vuol dire scendere invece di salire. Clicca nella parte in basso a sinistra della griglia qui sopra e guarda entrambi i segni diventare negativi insieme.
I quattro quadranti
I due assi dividono il piano in quattro regioni, numerate a partire da in alto a destra, in senso antiorario:
| quadrante | x | y | esempio |
|---|---|---|---|
| I | positiva | positiva | (3, 2) |
| II | negativa | positiva | (-4, 1) |
| III | negativa | negativa | (-2, -3) |
| IV | positiva | negativa | (4, -2) |
Il senso antiorario sembra una scelta strana finché non incontri gli angoli, che si misurano anche loro in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle x. Le due convenzioni coincidono di proposito.
Non esiste una quinta regione per gli assi. Un punto come (0, 3) sta sull'asse y, e un punto come (-4, 0) sull'asse x; nessuno dei due è in un quadrante, perché gli assi sono i confini. Il widget qui sopra lo dice esplicitamente quando clicchi su uno di essi, perché è il caso in cui si tira più spesso a indovinare.
Segnare un intero insieme di punti
Quando i singoli punti diventano automatici, una lista di punti comincia a dire qualcosa. Ecco quattro punti segnati sugli stessi assi:
Non sono sparsi: sono allineati. È il momento in cui il piano cartesiano comincia a ripagarti: uno schema in una lista di numeri diventa una forma che puoi vedere, e una forma che puoi vedere di solito si può scrivere come equazione. In questo caso ogni y è la metà della sua x, quindi la retta è y = 1/2x.
Provane uno
La griglia è qui sopra se ti serve, ma prova prima a collocare questo punto a mente.
Il punto è (-3, 5), e la domanda riguardava apposta il secondo numero, perché l'abitudine di leggere una coppia nell'ordine giusto è quella che vale la pena costruire.
Domande frequenti
- Cos'è il piano cartesiano?
- Sono due rette numeriche incrociate ad angolo retto: una orizzontale chiamata asse x e una verticale chiamata asse y. Si incontrano in un punto chiamato origine, che è (0, 0). A quel punto ogni punto della superficie piana si può indicare con una coppia di numeri: quanto in orizzontale, e quanto in verticale.
- Quale numero viene prima in una coppia ordinata?
- La coordinata x, sempre. La coppia (3, 2) significa 3 in orizzontale e 2 in su, non il contrario. L'ordine alfabetico è un buon modo per ricordarlo: x viene prima di y nell'alfabeto e viene prima nella coppia. La parola 'ordinata' in 'coppia ordinata' non è lì per caso: (3, 2) e (2, 3) sono due punti diversi.
- Come sono numerati i quattro quadranti?
- Partono da in alto a destra e procedono in senso antiorario: il quadrante I è in alto a destra, dove entrambe le coordinate sono positive, il II è in alto a sinistra (x negativa, y positiva), il III in basso a sinistra (entrambe negative) e il IV in basso a destra (x positiva, y negativa). Il senso antiorario sembra arbitrario, ma coincide con la direzione in cui si misurano gli angoli, ed è per questo che conviene impararlo così.
- In quale quadrante sta un punto su un asse?
- In nessuno. Gli assi sono i confini tra i quadranti, non fanno parte di nessuno di essi, quindi un punto come (0, 3) o (-4, 0) si descrive come posto sull'asse y o sull'asse x, non in un quadrante. L'origine sta su entrambi.
- Perché si chiama piano cartesiano?
- Per René Descartes (Cartesio), che nel 1637 pubblicò l'idea di indicare i punti con coppie di numeri. È una delle idee più utili della matematica: trasforma la geometria in algebra. Una retta smette di essere un disegno e diventa un'equazione, ed è questo che ti permette di farci dei calcoli.
