La circonferenza goniometrica
La circonferenza goniometrica è la circonferenza di raggio 1 con centro nell'origine. Il punto di qualsiasi angolo su di essa è (cos, sen), quindi una sola tabella raccoglie tutti i valori notevoli di seno, coseno e tangente.
Ultimo aggiornamento
Questa tabella dà seno e coseno nei sedici angoli notevoli, in gradi e in radianti. Puoi farle mostrare anche la tangente, o passare a una circonferenza vuota da stampare e completare.
Tabella della circonferenza goniometrica
Valori della circonferenza goniometrica
Tutti i valori della tabella, in un unico prospetto. La tangente è il seno diviso il coseno, quindi non ha valore dove il coseno vale 0.
| Gradi | Radianti | cos | sen | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | non definita |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | non definita |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Perché il punto è (cos, sen)
Trascina il punto lungo la circonferenza e guarda i due cateti tratteggiati.
Trascina il punto. Il cateto verde è cos, quello rosso è sen: per questo il punto è (cos, sen).
La circonferenza ha raggio 1, ed è tutto qui il trucco. Traccia una retta dal centro fino alla circonferenza con un certo angolo, poi abbassa una perpendicolare da quel punto all'asse x. Ora hai un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è il raggio, quindi l'ipotenusa vale 1.
In quel triangolo il coseno è il cateto adiacente diviso l'ipotenusa. Il cateto adiacente è quello orizzontale e l'ipotenusa vale 1, quindi il coseno è il cateto orizzontale. Lo stesso ragionamento rende il seno il cateto verticale. Quindi il punto è (cos(x), sin(x)): prima la distanza orizzontale, poi quella verticale, x prima di y.
I tre numeri che servono davvero
Il primo quadrante contiene tutti i valori che la circonferenza usa:
| angolo | cos | sen |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
Tre valori distinti: 1/2, √2/2 e √3/2. Nota che 30° e 60° sono la stessa coppia scambiata. I due angoli sommano 90°, quindi i loro triangoli sono lo stesso triangolo visto dall'altro lato.
Segni nei quadranti
Ogni angolo fuori dal primo quadrante usa uno di questi tre numeri con un segno. Per trovarlo, prendi l'angolo di riferimento, l'angolo tra la retta e l'asse x: a 150° mancano 30° per arrivare a 180°, quindi il suo angolo di riferimento è 30° e i suoi valori sono quelli di 30° con segni nuovi.
I segni dipendono da dove si trova il punto. Il coseno è la distanza orizzontale, quindi è negativo nella metà sinistra della circonferenza. Il seno è la distanza verticale, quindi è negativo nella metà inferiore. La tabella segna ogni quadrante con i suoi segni di (cos, sen):
| quadrante | angoli | cos | sen | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° a 90° | + | + | + |
| II | 90° a 180° | − | + | − |
| III | 180° a 270° | − | − | + |
| IV | 270° a 360° | + | − | − |
Quindi 150° è (−√3/2, 1/2) e 210°, il cui angolo di riferimento è sempre 30°, è (−√3/2, −1/2).
La circonferenza goniometrica in radianti
Un giro completo è 360°, ed è anche 2π radianti, perché la lunghezza di una circonferenza di raggio 1 è 2π: un radiante è un arco lungo quanto il raggio. Mezzo giro è 180° o π.
Da qui gli angoli notevoli sono frazioni di mezzo giro. 30° è un sesto di 180°, quindi è π/6; 45° è un quarto, π/4; 60° un terzo, π/3. Il denominatore dice quante volte quell'angolo sta in mezzo giro e il numeratore le conta: 150° sono cinque sesti di mezzo giro, 5π/6.
La tangente sulla circonferenza goniometrica
La tangente è il rapporto sin(x)/cos(x), cioè la pendenza della retta che va dal centro al punto. A 45° seno e coseno sono uguali, quindi la tangente vale esattamente 1. A 30° vale √3/3 e a 60° vale √3.
A 90° il punto è dritto in alto, in (0, 1), quindi il coseno vale 0 e la tangente non è definita: nessun numero è uguale a 1 diviso 0, e una retta verticale non ha pendenza. Lo stesso succede a 270°. In tutti gli altri angoli la tangente segue la regola dei segni: positiva dove seno e coseno hanno lo stesso segno (quadranti I e III), negativa dove sono diversi. La versione con la tangente della tabella riporta tutti i valori.
Quiz ed esercizi sulla circonferenza goniometrica
Imposta la circonferenza qui sopra su Mettimi alla prova: nasconde i valori, tu li dici e poi controlli. Oppure rispondi a questa a memoria:
Per esercitarti su carta, stampa la tabella vuota e completa i sedici punti. Quando ci riesci in meno di due minuti senza guardare, conosci la circonferenza goniometrica.
Domande frequenti
- Che cos'è la circonferenza goniometrica?
- È la circonferenza di raggio 1 con centro nell'origine. Traccia una retta dal centro con un certo angolo e segna dove incontra la circonferenza: le coordinate di quel punto sono esattamente (coseno dell'angolo, seno dell'angolo). Così una domanda sui triangoli diventa una domanda sulle coordinate, molto più facile da immaginare.
- Quali sono i valori della circonferenza goniometrica?
- Nei sedici angoli notevoli ogni coordinata è 0, 1/2, √2/2, √3/2 o 1, con un segno. Nel primo quadrante: 30° è (√3/2, 1/2), 45° è (√2/2, √2/2) e 60° è (1/2, √3/2). Ogni altro angolo notevole ripete una di queste coppie con i segni del suo quadrante. La tabella di questa pagina li riporta tutti e sedici, con la tangente.
- Esiste una circonferenza goniometrica da stampare o vuota?
- Sì. La tabella in cima a questa pagina si scarica come PDF in formato Letter o come PNG, in tre versioni: con le coordinate, con coordinate e tangente, e vuota. Quella vuota mantiene la circonferenza, gli assi e i sedici punti, così puoi scrivere tu ogni valore.
- Perché il punto sulla circonferenza è (cos, sen) e non (sen, cos)?
- Perché il coseno misura la distanza orizzontale, e la coordinata x è quella orizzontale. Abbassa una perpendicolare dal punto all'asse x e ottieni un triangolo rettangolo con ipotenusa 1. Il cateto orizzontale è adiacente all'angolo, quindi vale cos diviso 1, cioè cos. Il cateto verticale è quello opposto, quindi è il seno.
- Come ricordare la circonferenza goniometrica?
- Impara tre numeri e una regola. I numeri sono 1/2, √2/2 e √3/2, i valori del primo quadrante. La regola è quella dei segni: il coseno è negativo nella metà sinistra della circonferenza e il seno è negativo nella metà inferiore. Ogni altro angolo è un valore del primo quadrante con quei segni, trovato tramite il suo angolo di riferimento.
- Come si passa dai gradi ai radianti?
- Un giro completo è 360 gradi e anche 2π radianti, quindi mezzo giro è 180 gradi e π radianti. Moltiplica i gradi per π/180 per avere i radianti, oppure i radianti per 180/π per avere i gradi. Così 30° è π/6, 45° è π/4, 60° è π/3 e 90° è π/2.
- Perché la tangente di 90 gradi non esiste?
- La tangente è il seno diviso il coseno. A 90° il punto è dritto in alto, in (0, 1), quindi il coseno vale 0, e dividere per 0 non dà un risultato. Lo stesso succede a 270°. Lo si vede anche sulla circonferenza: la tangente è la pendenza della retta che parte dal centro, e una retta verticale non ha pendenza.
