La circonferenza goniometrica
Una circonferenza di raggio 1, e dentro ogni valore di seno, coseno e tangente che ti chiederanno mai di ricordare. Trascina l'angolo e guarda da dove vengono i numeri.
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Quasi tutto quello che si trova difficile in trigonometria è in realtà un problema di memoria: troppi valori, troppi segni, nessun modo di verificare se quello appena scritto è plausibile. La circonferenza goniometrica è la soluzione. È un'unica figura che contiene ogni valore che ti serve e fa sembrare evidentemente sbagliato un segno sbagliato.
Trascina il punto qui sotto. Guarda i due cateti tratteggiati mentre fai il giro.
Trascina il punto. Il cateto verde è cos, quello rosso è sen: per questo il punto è (cos, sen).
Perché il punto è (cos, sen)
La circonferenza ha raggio 1, ed è tutto qui il trucco.
Traccia una semiretta dal centro fino alla circonferenza con un certo angolo, poi fai scendere un segmento verticale da quel punto fino all'asse x. Ora hai un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è il raggio, quindi l'ipotenusa vale 1.
In quel triangolo, il coseno è cateto adiacente su ipotenusa. Il cateto adiacente è quello orizzontale, e l'ipotenusa vale 1, quindi il coseno è il cateto orizzontale: dividere per 1 non cambia niente. Lo stesso ragionamento rende il seno il cateto verticale.
Quindi le coordinate del punto sono esattamente (cos(x), sin(x)): prima la distanza orizzontale, poi quella verticale. Per questo il cateto verde nella figura è etichettato coseno e quello rosso seno, ed è per questo che l'ordine parte dal coseno: x prima di y, orizzontale prima di verticale.
La tangente è la terza, e non è una lunghezza nella figura: è il rapporto sin(x)/cos(x), cioè il coefficiente angolare della semiretta che hai tracciato.
I tre numeri che ti servono davvero
Porta la figura a 30, 45 e 60 gradi, uno dopo l'altro, e guarda i valori:
| angolo | cos | sen |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
Tre valori distinti, 1/2, sqrt(2)/2 e sqrt(3)/2, e nota che 30° e 60° sono la stessa coppia scambiata. Non è una coincidenza: i due angoli sommano 90°, quindi i loro triangoli sono lo stesso triangolo guardato dall'altra estremità.
Tutto quello che sta negli altri tre quadranti è uno di quei tre numeri con un segno davanti. Quale segno lo decide la posizione, e puoi leggerlo direttamente dalla figura: il coseno è la distanza orizzontale, quindi è negativo nella metà sinistra della circonferenza. Il seno è la distanza verticale, quindi è negativo nella metà inferiore. Niente da memorizzare: guarda solo da che parte punta il cateto.
Gradi e radianti sono lo stesso angolo
Passa la figura ai radianti e rifai il giro. Nella figura non cambia niente; cambia solo l'etichetta.
Un giro completo è 360°, ed è anche 2pi radianti, perché la lunghezza di una circonferenza di raggio 1 è 2pi, quindi "un radiante" vuol dire "un arco lungo quanto un raggio". Mezzo giro è 180° o pi. Da lì gli angoli notevoli sono frazioni ovvie di mezzo giro: 30° è un sesto di 180°, quindi è pi/6; 45° è un quarto, pi/4; 60° un terzo, pi/3.
I radianti sembrano più difficili e in realtà sono più facili, perché il denominatore ti dice quante volte quell'angolo sta in mezzo giro.
Dove la tangente si rompe
Trascina fino a 90° e il valore della tangente dice non definita. Non è un limite del widget: è aritmetica. A 90° il punto è dritto in alto, in (0, 1), quindi cos(x) vale 0, e la tangente è sin(x)/cos(x). Non esiste nessun numero uguale a 1 diviso 0.
Lo stesso succede a 270°. In ogni altro punto la tangente è un numero del tutto normale, e a 45° vale esattamente 1, il che ha senso, perché lì seno e coseno sono uguali e qualsiasi cosa divisa per sé stessa fa 1.
Provane uno
Metti da parte la figura per un momento e rispondi a memoria. Se sbagli, la circonferenza è lì.
Se hai dovuto guardare, è un'informazione utile: vuol dire che la figura non ti viene ancora in automatico, e fare una dozzina di esercizi come questo è proprio quello che la fissa.
Domande frequenti
- Cos'è la circonferenza goniometrica?
- È la circonferenza di raggio 1 con centro nell'origine. La sua utilità viene da un solo fatto: se tracci una semiretta dal centro con un certo angolo e segni dove incontra la circonferenza, le coordinate di quel punto sono esattamente (coseno dell'angolo, seno dell'angolo). Così la circonferenza trasforma una domanda sui triangoli in una domanda sulle coordinate, che è molto più facile da immaginare.
- Perché il punto sulla circonferenza è (cos, sen) e non (sen, cos)?
- Perché il coseno misura la distanza orizzontale e la coordinata x è quella orizzontale. Traccia un segmento verticale dal punto all'asse x e ottieni un triangolo rettangolo con ipotenusa 1. Il cateto orizzontale è adiacente all'angolo, quindi vale coseno per 1, cioè il coseno. Il cateto verticale è opposto, quindi è il seno. La coordinata x è quindi il coseno e la y è il seno, in quest'ordine.
- Devo imparare a memoria tutta la circonferenza goniometrica?
- No, e provarci è l'errore tipico. Ti servono solo tre valori, 1/2, √2/2 e √3/2, e una regola per i segni. Tutto il resto sono quei tre numeri con un più o un meno davanti, decisi dal quadrante in cui ti trovi. Impara il primo quadrante e la regola dei segni e hai tutti e sedici gli angoli.
- Come passo dai gradi ai radianti?
- Un giro completo è 360 gradi e anche 2π radianti, quindi mezzo giro è 180 gradi e π radianti. Da qui viene la conversione: moltiplica i gradi per π/180 per avere i radianti, oppure moltiplica i radianti per 180/π per avere i gradi. In pratica si calcola di rado: 30, 45, 60 e 90 gradi sono π/6, π/4, π/3 e π/2, e ogni altro angolo notevole è un multiplo di questi.
- Perché la tangente non è definita a 90 gradi?
- Perché la tangente è il seno diviso il coseno, e a 90 gradi il coseno vale 0. Dividere per zero non dà un numero, quindi lì la tangente non ha valore. Nel grafico della tangente lo vedi come un asintoto verticale: mentre l'angolo si avvicina a 90 gradi il valore schizza via senza arrivare mai da nessuna parte.
