Somma di frazioni
Sommare le frazioni è l'unica operazione con un passaggio in più, e quel passaggio non è arbitrario: pezzi di misure diverse non si possono contare insieme. Dopo aver visto le barre ritagliate, la regola diventa ovvia invece che da ricordare.
Ultimo aggiornamento
La somma di frazioni ha una certa fama, e se la merita in un senso preciso: è l'unica delle quattro operazioni con un passaggio in più. Moltiplicazione e divisione vanno dritte. La somma si ferma e ti chiede di riscrivere prima entrambe le frazioni.
Quel passaggio in più non è una convenzione inventata da qualcuno. È obbligato, e le barre qui sotto mostrano perché.
Le due barre in alto sono tagliate in modo diverso, quindi i loro pezzi non si possono contare insieme. La terza barra le ritaglia entrambe in pezzi della stessa misura: a quel punto si sommano e basta.
Pezzi di misure diverse non si contano insieme
Le due barre in alto sono le due frazioni. Con i valori iniziali una è tagliata in mezzi e l'altra in terzi: tagli diversi, quindi i loro pezzi hanno misure diverse. Non c'è un modo onesto di dire quanti pezzi hai in tutto, perché un mezzo e un terzo non sono la stessa cosa. "Un pezzo più un pezzo fa due pezzi" darebbe 2/5, che è meno del mezzo da cui eri partito.
La terza barra risolve il problema. Entrambe le frazioni vengono ritagliate in sesti: il mezzo diventa 3 sesti, il terzo diventa 2, e ora sono pezzi della stessa misura che si possono semplicemente accostare.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Nota cosa ha fatto il denominatore durante la somma: niente. Non è una quantità che si somma, è un'etichetta che dice che tipo di pezzo stai contando. Tre sesti più due sesti fanno cinque sesti per lo stesso motivo per cui tre mele più due mele fanno cinque mele.
È anche il motivo per cui sommare i denominatori è sbagliato. 1/4 + 1/4 fa 2/4, cioè un mezzo, mentre sommare i denominatori darebbe 2/8, cioè un quarto, la quantità che avevi prima di sommare qualsiasi cosa.
Se i denominatori coincidono già, non c'è niente da fare
Metti lo stesso numero come denominatore di entrambe nella figura e la terza barra è tagliata come le altre due, perché il lavoro è già fatto:
2/7 + 3/7 = 5/7
Somma i numeratori, tieni il denominatore, semplifica se puoi. Questa è tutta la regola, e il resto di questa pagina serve a portarti in questa situazione.
Trovare il denominatore comune
Ti serve un numero divisibile per entrambi i denominatori. Due modi per trovarlo:
Il minimo comune denominatore è il più piccolo di questi numeri: il minimo comune multiplo dei due denominatori. Tiene i calcoli piccoli.
Moltiplicare i due denominatori funziona sempre, non richiede di pensare, e dà numeri più grandi da semplificare alla fine.
| la somma | minimo comune denominatore | moltiplica i denominatori |
|---|---|---|
| 1/2 + 1/3 | 6 | 6 |
| 1/4 + 1/6 | 12 | 24 |
| 3/8 + 1/6 | 24 | 48 |
| 2/5 + 1/10 | 10 | 50 |
Entrambe le colonne arrivano alla stessa risposta. Quella di destra si porta dietro solo numeri più grandi lungo la strada, quindi 1/4 + 1/6 arriva come 10/24 e va semplificata in 5/12, mentre la strada di sinistra arriva a 5/12 direttamente.
Guarda il risultato nella figura mentre sposti i denominatori: quando un denominatore è già un divisore dell'altro, il denominatore comune è semplicemente il più grande. 2/5 + 1/10 richiede 10, non 50, perché i quinti sono già fatti di decimi.
Riscrivere ogni frazione
Una volta scelto il denominatore, ogni frazione si riscrive moltiplicando numeratore e denominatore per il numero che serve ad arrivarci: una frazione equivalente, niente di più:
3/8 = (3*3)/(8*3) = 9/24
1/6 = (1*4)/(6*4) = 4/24
9/24 + 4/24 = 13/24
Il moltiplicatore è diverso per ogni frazione, ed è normale: a 8 serve un 3 per arrivare a 24 e a 6 serve un 4. Ciò che deve essere uguale per entrambe è il denominatore a cui arrivi.
La sottrazione sta sulla stessa pagina
Tutto quello che hai visto vale ancora, con un solo segno cambiato alla fine:
5/6 - 1/4 = 10/12 - 3/12 = 7/12
Denominatore comune, poi sottrai i numeratori. Se la risposta viene negativa, è una risposta vera e non un errore: 1/4 - 5/6 fa -7/12.
Provane una
Se ti è venuto 4/14, hai sommato i denominatori. Se ti è venuto 26/48, hai moltiplicato i denominatori invece di prendere il loro minimo comune multiplo: la quantità è giusta, quindi semplificala e arriverai comunque a 13/24.
Domande frequenti
- Come si sommano le frazioni?
- Se i denominatori sono già uguali, somma i numeratori e lascia stare il denominatore: 2/7 + 3/7 = 5/7. Se non sono uguali, riscrivi prima entrambe le frazioni con un denominatore comune, poi somma. 1/2 + 1/3 diventa 3/6 + 2/6 = 5/6.
- Perché i denominatori devono essere uguali?
- Perché il denominatore dice quanto è grande un pezzo, e pezzi di misure diverse non si possono contare insieme. Due mezzi e tre terzi non fanno cinque di niente. Riscrivere entrambe le frazioni con un solo denominatore le ritaglia in pezzi della stessa misura, e a quel punto contare funziona.
- Perché non si sommano i denominatori?
- Perché il denominatore non è una quantità, è un'etichetta che dice che tipo di pezzo stai contando. 1/4 + 1/4 = 2/4, cioè un mezzo, mentre sommare i denominatori darebbe 2/8, un quarto, cioè quello da cui eri partito. L'etichetta resta; sale solo il conteggio.
- Come trovo il minimo comune denominatore?
- È il minimo comune multiplo dei due denominatori: il numero più piccolo divisibile per entrambi. Per 4 e 6 è 12. Anche moltiplicare i due denominatori funziona sempre (qui 24), e dà la risposta giusta con numeri più grandi da semplificare alla fine, quindi è un buon ripiego se il m.c.m. non salta all'occhio.
- La sottrazione di frazioni funziona allo stesso modo?
- Identica, fino all'ultimo passaggio. Trova un denominatore comune, poi sottrai i numeratori invece di sommarli: 5/6 - 1/4 diventa 10/12 - 3/12 = 7/12. Tutto ciò che è difficile nella somma di frazioni è difficile nella sottrazione esattamente allo stesso modo.
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