Frazioni equivalenti
Due frazioni senza nessuna cifra in comune possono comunque essere la stessa quantità. Sembra un trucco finché non lo vedi una volta come lunghezza, e da lì smette del tutto di sorprendere.
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Chiedi a qualcuno se 2/3 e 8/12 sono lo stesso numero e di solito ci sarà una pausa. Non si somigliano per niente: né il numeratore, né il denominatore, né la grandezza delle cifre. Eppure sono la stessa quantità, esattamente, senza arrotondare nulla.
Il motivo è più facile da vedere che da dire, quindi eccolo come lunghezza.
La linea tratteggiata non si sposta mai. Tagliare la stessa lunghezza in più pezzi cambia entrambi i numeri e non cambia niente della parte colorata.
Ciò che non cambia è la lunghezza colorata
La barra in alto è tagliata in 3 pezzi e 2 sono colorati. La barra in basso è la stessa barra, tagliata in 6 pezzi, con 4 colorati. Aumenta il moltiplicatore e la barra in basso viene tagliata in 9, poi in 12, poi in 15 pezzi: e la linea tratteggiata non si sposta mai.
Quella linea è tutta l'idea. Una frazione è una lunghezza, e i due numeri sono solo una descrizione di come l'hai tagliata. Il denominatore dice in quanti pezzi è stato tagliato l'intero; il numeratore dice quanti ne hai presi. Taglia ogni pezzo a metà e avrai il doppio dei pezzi, ognuno grande la metà, e ne avrai presi il doppio. Due cambiamenti che si annullano.
Quindi 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12, e la lista non finisce: ogni frazione ha infinite forme equivalenti.
Costruirne una: moltiplica numeratore e denominatore per lo stesso numero
Per scrivere una frazione in un altro modo, moltiplica entrambe le parti per lo stesso numero:
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
Il numero lo scegli tu, e nei problemi veri si sceglie per un motivo: di solito perché ti serve un certo denominatore. Se un esercizio vuole i terzi scritti in dodicesimi, il moltiplicatore è 4, perché 3*4 = 12.
L'unica regola che conta: entrambe le parti, o nessuna. Moltiplicare solo il numeratore dà 8/3, che è quattro volte troppo. Sposta il cursore in alto nella figura qui sopra e guarda la linea tratteggiata saltare: è quello che succede se cambi un numero da solo.
La divisione funziona allo stesso modo, al contrario. 8/12 con numeratore e denominatore divisi per 4 fa 2/3, e di nuovo non si è mosso niente.
Al contrario: ridurre ai minimi termini
Scendere lungo la lista invece di salire si chiama ridurre, o semplificare, ed è la forma in cui ci si aspetta quasi ogni risposta. Dividi numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore:
| frazione | divisore comune | minimi termini |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
Una frazione è ridotta ai minimi termini quando l'unico numero intero che divide entrambe le parti è 1. Nota che in quella tabella tre frazioni dall'aspetto diverso si riducono a 2/3: ed è proprio questo il punto, erano la stessa quantità fin dall'inizio, scritta con tagli diversi.
Se il divisore comune non salta all'occhio, puoi toglierlo a tappe. 24/36 è pari, quindi dimezza entrambi e ottieni 12/18; dimezza ancora e hai 6/9; poi dividi per 3 e hai 2/3. Arrivarci in tre passi facili non è peggio che arrivarci in uno furbo.
Perché servono
Le frazioni equivalenti non sono un argomento a sé. Esistono perché sommare le frazioni senza di loro è impossibile.
1/2 + 1/3 non si può contare, perché un mezzo e un terzo sono pezzi di misure diverse. Riscrivile entrambe in sesti, 1/2 = 3/6 e 1/3 = 2/6, e ora sono pezzi della stessa misura, quindi si sommano e basta: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Ogni passaggio al denominatore comune che farai è la scrittura di due frazioni equivalenti. Ecco perché questa idea viene per prima.
Provane una
Se ti è venuto 9/12, hai dimezzato una volta sola: 9 e 12 hanno ancora il divisore 3 in comune. Continua finché l'unico numero che li divide entrambi è 1.
Domande frequenti
- Cosa sono le frazioni equivalenti?
- Due frazioni sono equivalenti quando descrivono la stessa quantità, anche se i numeri sembrano diversi. 2/3 e 8/12 sono equivalenti: taglia una barra in 3 pezzi e colorane 2, oppure taglia la stessa barra in 12 pezzi e colorane 8, e la parte colorata arriva esattamente allo stesso punto.
- Come trovo una frazione equivalente?
- Moltiplica numeratore e denominatore per lo stesso numero. 2/3 diventa 4/6 (per 2), 6/9 (per 3), 8/12 (per 4), e così via all'infinito. Moltiplicare entrambe le parti per lo stesso numero equivale a tagliare ogni pezzo in altrettanti pezzi più piccoli, il che cambia il numero dei pezzi ma non quanto ne hai.
- Perché non posso moltiplicare solo il numeratore?
- Perché il numeratore conta i pezzi e il denominatore dice quanto è grande un pezzo. Cambiare solo il numeratore vuol dire prendere più pezzi della stessa misura, e quindi averne davvero di più. Devi cambiare nello stesso momento la misura del pezzo, ed è questo che fa moltiplicare il denominatore per lo stesso numero.
- Come riduco una frazione ai minimi termini?
- Dividi numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore. Per 8/12 quel divisore è 4, quindi 8/12 diventa 2/3. Una frazione è ridotta ai minimi termini quando l'unico numero che divide entrambe le parti è 1, ed è la forma in cui ci si aspetta quasi ogni risposta.
- A cosa servono le frazioni equivalenti?
- A sommare e sottrarre. Pezzi di misure diverse non si possono contare insieme, quindi 1/2 + 1/3 non va da nessuna parte finché entrambe non vengono riscritte con lo stesso denominatore: 3/6 + 2/6 = 5/6. Ognuna di queste riscritture è una frazione equivalente, ed è per questo che questa è l'idea su cui si basa tutta l'aritmetica delle frazioni.
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