교과서 데이터
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x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5공식의 분자는 30이고 분모의 두 괄호는 50과 30이므로 r = 30 / √1500 = √15/5, 약 0.7746입니다. r²는 정확히 0.6입니다. 표시는 강한 양의 상관이고, 회귀직선은 y = 0.6x + 2.2입니다.
상관계수 계산기
데이터로 구하는 피어슨 r을 정확한 근호로, 상관의 세기와 그 풀이와 함께.
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r은 점들이 직선을 얼마나 가깝게 따르는지 잽니다
상관계수 r은 -1과 1 사이의 수 하나입니다. 부호는 추세의 방향입니다. x가 커질 때 y도 커지는 경향이면 양수, 작아지는 경향이면 음수입니다. 크기는 점들이 직선에 얼마나 바짝 붙어 있는지를 나타냅니다. 모든 점이 한 직선 위에 있으면 1 또는 -1이고, 직선 추세가 전혀 없으면 0입니다. 단위가 없으므로 x를 미터 대신 센티미터로 재어도 바뀌지 않습니다.
계산 과정은 통계 수업에서 보여 달라고 하는 바로 그것입니다. x, y, xy, x², y²의 표를 만들어 열마다 더하고, 그 합을 r = (nΣxy − ΣxΣy)를 (nΣx² − (Σx)²)와 (nΣy² − (Σy)²)의 곱의 제곱근으로 나눈 공식에 넣습니다. 이 페이지는 답 아래에 그 표와 수를 채운 공식을 보여 주므로, 수가 풀이와 함께 나옵니다.
답은 정확한 값입니다. 입력할 수 있는 데이터에서 r의 제곱은 언제나 분수이므로, r 자신은 분수의 제곱근에 부호를 붙인 것이고, 이 페이지가 보여 주는 것이 바로 그 값입니다. 교과서 데이터라면 두 자리만 잘라 낸 0.77이 아니라 √15/5입니다. 소수 값은 근호 옆에 있고, 세기 표시는 아래에 적은 기준에 따라 그 소수 값을 읽습니다.
r을 읽는 법
- 부호는 방향이고 크기는 세기입니다. r = -0.95는 r = 0.6보다 강한 관계이고, 방향만 반대일 뿐입니다.
- 이 페이지는 |r|이 0.7 이상이면 강함, 0.4 이상 0.7 미만이면 중간, 0.1 이상 0.4 미만이면 약함, 0.1 미만이면 선형 상관 없음으로 표시합니다. 널리 쓰이는 관례일 뿐 규칙은 아니며, 분야마다 기준이 다릅니다.
- r²는 y의 변동 중 회귀직선이 설명하는 비율입니다. r = √15/5이면 r² = 0.6이고, 직선이 변동의 60%를 설명합니다.
- r은 직선 관계만 잽니다. x = -2부터 2까지 정확히 y = x² 위에 놓인 점들은 r = 0입니다.
- 이상값 하나가 r을 완전히 바꿀 수 있습니다. 교과서 데이터에 점 (10, 0)을 더하면 r은 약 0.7746에서 약 -0.5529가 됩니다.
- 어느 변수의 척도를 바꾸거나 x와 y를 서로 바꿔도 r은 변하지 않습니다. x와 y를 바꾸면 회귀직선은 바뀌지만 r은 그대로입니다.
상관계수를 손으로 계산하는 방법
합계 표 만들기
각 점마다 x, y, xy, x², y²를 적고, 열마다 더하고 점의 개수를 셉니다. x = 1, 2, 3, 4, 5와 y = 2, 4, 5, 4, 5라면 n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55, Σy² = 86입니다.
분자 계산하기
nΣxy − ΣxΣy = 5 × 66 − 15 × 20 = 30. 이 부호가 r의 부호입니다.
분모의 두 괄호 계산하기
nΣx² − (Σx)² = 275 − 225 = 50, nΣy² − (Σy)² = 430 − 400 = 30. 모든 x나 모든 y가 같지 않은 한 둘 다 언제나 양수입니다.
나누고 간단히 하기
r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5. 소수로는 약 0.7746이고, 강한 양의 상관입니다.
r을 한눈에 읽기
표시는 이 계산기가 보여 주는 것과 같습니다. r²는 r을 자기 자신과 곱한 것이므로 부호가 사라집니다.
| r | 표시 | r² | 산점도의 모습 |
|---|---|---|---|
| 1 | 완전한 양의 상관 | 1 | 모든 점이 올라가는 한 직선 위에 |
| 0.9 | 강한 양의 상관 | 0.81 | 오른쪽으로 올라가는 좁은 띠 |
| 0.7 | 강한 양의 상관 | 0.49 | 어느 정도 퍼진, 뚜렷하게 올라가는 띠 |
| 0.5 | 중간 정도의 양의 상관 | 0.25 | 흩어짐이 많은 올라가는 추세 |
| 0.2 | 약한 양의 상관 | 0.04 | 수가 없으면 놓칠 만한 기울어짐 |
| 0.05 | 선형 상관 없음 | 0.0025 | 모양 없는 구름, 또는 곡선 |
| -0.8 | 강한 음의 상관 | 0.64 | 오른쪽으로 내려가는 뚜렷한 띠 |
| -1 | 완전한 음의 상관 | 1 | 모든 점이 내려가는 한 직선 위에 |
풀이 예제
강한 음의 상관
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x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2분자는 -168이고 괄호는 105와 296이므로 r = -168 / √31080 = -2√7770/185, 약 -0.9529입니다. r² = 168/185, 약 0.9081입니다. x가 커지면 y는 꾸준히 작아집니다. 패턴을 깨는 점 (3, 9) 하나로는 상관이 크게 약해지지 않습니다.
약한 상관
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x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5r = √2/4, 약 0.3536이고 r² = 0.125이므로, 직선은 y의 변동 중 8분의 1을 설명합니다. 표시는 약한 양의 상관입니다. 올라가는 기울기는 있지만 산점도는 대부분 잡음으로 보입니다.
완벽한 관계인데 r = 0
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x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4모든 점이 y = x² 위에 있는데도 r은 정확히 0입니다. 공식의 분자는 5 × 0 − 0 × 10 = 0입니다. 내려가는 왼쪽 절반과 올라가는 오른쪽 절반이 상쇄됩니다. r은 직선 관계만 재므로 산점도를 먼저 봐야 합니다.
이상값 하나가 하는 일
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x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0교과서 데이터에 점 (10, 0) 하나를 더한 것입니다. r은 약 0.7746에서 -52√8845/8845, 약 -0.5529로 떨어집니다. 점 하나가 충분히 멀리 있어 부호가 뒤집힙니다. 반대 방향도 됩니다. x = 1부터 5, y = 3, 1, 4, 1, 5는 r ≈ 0.3536인데, (12, 12)를 더하면 약 0.9084로 올라갑니다.
자주 하는 실수
- 제곱의 합 대신 합의 제곱을 구하기. x = 1부터 5에서 Σx²는 55이고 (Σx)²는 225입니다. 둘을 섞으면 1보다 큰 r이 나올 수 있는데, 그것은 불가능합니다.
- r = 0을 관계가 없다는 뜻으로 읽기. 직선 관계가 없다는 뜻일 뿐, 점들이 정확히 곡선 위에 있을 수도 있습니다.
- 강한 r을 인과의 증거로 받아들이기. 두 양은 제3의 요인 때문에, 또는 우연히 함께 커질 수 있습니다.
- r 값을 부호로 비교하기. -0.9는 0.6보다 강합니다. 크기를 비교하고, 부호는 방향으로 따로 읽으세요.
- 산점도를 보지 않고 r을 인용하기. 이상값 하나가 부호를 뒤집을 수 있고, 높은 값 뒤에 곡선이 숨어 있을 수 있습니다.
- r을 반올림한 뒤 제곱하기. r ≈ 0.77이면 0.5929가 나오지만, 교과서 데이터의 r²는 정확히 0.6입니다. 정확한 값을 제곱하세요.
상관계수 자주 묻는 질문
상관계수는 어떻게 계산하나요?
각 점에 대해 x, y, xy, x², y²의 표를 만들어 열마다 더합니다. 그러면 r = (nΣxy − ΣxΣy) / √((nΣx² − (Σx)²)(nΣy² − (Σy)²))입니다. x = 1부터 5, y = 2, 4, 5, 4, 5라면 30 / √(50 × 30) = √15/5, 약 0.7746입니다. 위에 여러분의 열을 붙여넣으면 이 페이지가 같은 방식으로 공식을 채웁니다.
상관계수가 얼마면 강한 상관인가요?
이 계산기는 |r|이 0.7 이상이면 강함, 0.4 이상 0.7 미만이면 중간, 0.1 이상 0.4 미만이면 약함, 0.1 미만이면 선형 상관 없음이라고 합니다. 흔한 교과서 기준일 뿐 보편적인 기준은 아닙니다. 물리 실험에서는 0.9가 실망스러울 수 있고, 사회과학에서는 0.4가 주목할 만한 결과일 수 있습니다.
r과 r²는 어떻게 다른가요?
r에는 부호가 있고 r²에는 없습니다. r은 방향과 세기를 알려 주고, r²는 y의 변동 중 회귀직선이 설명하는 비율을 알려 줍니다. r = 0.7746이면 r² = 0.6이고, 직선이 변동의 60%를 설명하고 40%는 흩어짐으로 남는다는 뜻입니다.
상관계수가 1보다 클 수 있나요?
없습니다. r은 언제나 -1과 1 사이에 있고, 모든 점이 한 직선 위에 있을 때만 양 끝에 닿습니다. 1보다 큰 답이 나왔다면 합 중 하나가 틀린 것이고, 가장 흔한 원인은 Σx²를 (Σx)²로 계산한 것입니다.
상관이 높으면 하나가 다른 하나의 원인인가요?
아닙니다. 이 데이터에서 둘이 함께 움직인다는 뜻일 뿐입니다. 더운 날씨가 아이스크림 판매와 물놀이 사고를 함께 늘리듯 제3의 요인이 둘을 움직일 수도 있고, 원인이 반대 방향일 수도 있습니다. 인과를 보이려면 실험이나 작동 원리에 대한 논증이 필요합니다.
피어슨 상관계수인가요, 스피어만 상관계수인가요?
보통 상관계수라고 부르는 피어슨 r입니다. 값 자체에 직선이 얼마나 잘 맞는지를 잽니다. 스피어만 계수는 같은 공식을 값 대신 순위에 적용하므로, 꾸준히 올라가거나 내려가는 관계라면 무엇이든 재고 이상값에 덜 민감합니다.
r이 제곱근으로 표시되는 이유는 무엇인가요?
그것이 정확한 값이기 때문입니다. 입력할 수 있는 데이터에서 r²는 언제나 분수이므로, r은 그 분수의 제곱근에 부호를 붙인 것입니다. 교과서 데이터라면 √15/5입니다. 소수 0.7746은 근삿값으로 옆에 표시되고, 세기 표시가 읽는 것이 이 값입니다.
점이 몇 개 필요한가요?
여기서는 적어도 세 개입니다. 점이 두 개면 직선이 어떤 두 점이든 지나므로 r은 언제나 1 또는 -1이 되어 데이터에 대해 아무것도 말하지 않습니다. 점이 몇 개뿐이어도 r은 크게 흔들릴 수 있으니, 점 다섯 개로 구한 r은 대략적인 값으로 받아들이세요.
