계수가 소수인, 잘 맞는 경우
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x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11정규방정식에서 a = 1.25, b = -0.45, c = 1.05가 나오므로 y = 1.25x² - 0.45x + 1.05입니다. 예측값은 1.05, 1.85, 5.15, 10.95, 잔차는 -0.05, 0.15, -0.15, 0.05이며, R² = 1214/1215, 약 0.9992입니다.
이차회귀 계산기
점들을 지나는 최적 포물선을 정확한 계수와 R²와 함께.
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이차회귀는 점들을 가장 적게 빗나가는 포물선을 맞춥니다
어떤 데이터는 올라갔다가 내려가거나, 내려갔다가 올라갑니다. 던진 공의 높이, 가격에 따른 이익, 속도에 따른 자동차의 연료 소비가 그렇습니다. 이런 데이터에 직선을 그으면 아무리 잘 놓아도 모양이 틀립니다. 이차회귀는 대신 포물선 y = ax² + bx + c를 맞추고, 점에서 곡선까지의 세로 오차를 제곱해 더한 값이 가장 작아지도록 a, b, c를 고릅니다. 선형회귀와 같은 최소제곱의 생각에 정할 계수가 하나 더 늘어난 것입니다.
제곱 오차를 최소로 만들면 x, x², x³, x⁴, y, xy, x²y의 합으로 이루어진, a, b, c에 관한 방정식 세 개가 나옵니다. 이것을 정규방정식이라고 합니다. 공학용 계산기는 이를 부동소수점으로 풉니다. 이 페이지는 정확한 분수로 풀기 때문에, 계수 -8/7은 -1.142857이 아니라 -8/7로 표시되고 R²도 정확한 분수입니다.
답 아래에는 모든 점의 예측값과 잔차가 나옵니다. 이차 곡선이 잘 맞으면 잔차는 0의 위아래로 무늬 없이 흩어진 잡음처럼 보입니다. 잔차가 여전히 휘거나 표 전체에 걸쳐 꾸준히 커진다면 포물선도 맞는 모양이 아니며, 다른 모형을 시도해 볼 만합니다.
포물선에서 눈여겨볼 점
- a의 부호가 모양을 정합니다. a가 음수면 아래로 열려 가장 높은 점이 있고, 양수면 위로 열려 가장 낮은 점이 있습니다.
- x 값이 서로 다른 세 점은 언제나 정확히 맞습니다. 점 (1, 4), (2, 9), (3, 20)은 y = 3x² - 4x + 5 위에 있고 모든 잔차가 0이지만, 이것은 데이터에 대해 아무것도 말하지 않습니다.
- 포물선의 R²는 1에서 잔차제곱합을 y의 전체 변동으로 나눈 값을 뺀 것입니다. 직선은 a = 0인 포물선이므로, 같은 데이터에서 직선의 r²보다 낮아질 수 없습니다.
- 맞춘 곡선의 꼭짓점은 x = -b/(2a)에 있습니다. x = 1부터 6에서 데이터가 2, 6, 11, 13, 12, 8이라면 x = 33/8이고, 곡선은 거기서 약 12.45로 가장 높습니다.
- 맞춘 곡선은 가장 작은 x와 가장 큰 x 사이에서만 믿을 수 있습니다. 양 끝을 지나면 포물선은 데이터가 어떻든 방향을 틀어 양의 무한대나 음의 무한대로 향합니다.
이차회귀를 손으로 하는 방법
합 구하기
각 점마다 x, x², x³, x⁴, y, xy, x²y를 계산하고, 열마다 더하고 점의 개수를 셉니다. x = 0, 1, 2, 3과 y = 1, 2, 5, 11이라면 n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45, Σx²y = 121입니다.
정규방정식 쓰기
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy, aΣx² + bΣx + cn = Σy. 위의 합을 넣으면 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45, 14a + 6b + 4c = 19입니다.
세 방정식 풀기
분수를 정확히 유지하면서 문자를 하나씩 소거합니다. 이 연립방정식의 해는 a = 1.25, b = -0.45, c = 1.05이므로 y = 1.25x² - 0.45x + 1.05입니다.
잔차로 확인하기
각 x를 곡선에 넣고 실제 y에서 예측값을 뺍니다. 여기서 잔차는 -0.05, 0.15, -0.15, 0.05이고, 그 제곱의 합은 0.05이며, R² = 1214/1215, 약 0.9992입니다.
작은 데이터의 최적 포물선
각 행은 위 계산기에 입력한 데이터 하나와, 계산기가 알려 주는 정확한 계수와 R²입니다.
| x 값 | y 값 | 최적 포물선 | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
풀이 예제
올라갔다가 내려가는 데이터
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x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8최적 포물선은 y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7이고 R² = 887/917, 약 0.9673입니다. a가 음수이므로 곡선에는 꼭대기가 있고, x = 33/8 = 4.125, y = 697/56, 약 12.45입니다. 같은 점들에 맞춘 직선은 방향을 틀 수 없어서 r² = 375/917, 약 0.4089에 그칩니다.
던진 공
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x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 21초 간격으로 잰 높이(미터)입니다. 정확히 맞습니다. y = -5x² + 20x + 2이고 모든 잔차가 0, R² = 1입니다. -5는 중력 가속도를 10 m/s²로 어림한 값의 절반이고, 20은 던진 속도, 2는 던진 높이입니다. 꼭대기는 x = 2, y = 22입니다.
이미 포물선이던 점들
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x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4이 값들은 (x - 1)²이고, 계산기는 같은 포물선을 전개한 y = x² - 2x + 1을 R² = 1, 모든 잔차 0으로 돌려줍니다. 어떤 값들이 정말 한 이차식에서 나왔는지 빠르게 확인하는 방법입니다.
자주 하는 실수
- 점 세 개만 쓰고 R² = 1을 훌륭한 맞춤으로 읽기. x 값이 서로 다른 세 점은 어떤 포물선 위에든 놓입니다.
- 중간에 합이나 계수를 반올림하기. 정규방정식은 예민해서, Σx⁴를 조금만 반올림해도 c가 눈에 띄게 달라질 수 있습니다. 끝까지 분수로 두세요.
- 방정식에서 합의 자리를 잘못 쓰기. 왼쪽 위 칸은 Σx⁴이고 오른쪽 아래 칸은 n입니다. 한 행 내려갈 때마다 거듭제곱이 하나씩 줄어듭니다.
- 데이터에서 멀리 떨어진 곳을 예측하기. 포물선은 양 끝을 지나면 실제 양이 어떻든 방향을 틀어 무한대로 달려갑니다.
- R²가 올라갔다는 이유로 포물선을 고르기. 같은 데이터에서 포물선의 R²는 언제나 직선의 r² 이상입니다. 물어야 할 것은 잔차의 무늬가 사라지는가입니다.
이차회귀 자주 묻는 질문
이차회귀란 무엇인가요?
포물선 y = ax² + bx + c를 최소제곱법으로 데이터에 맞추는 것입니다. 점에서 곡선까지의 세로 거리를 제곱해 더한 값이 가장 작아지도록 a, b, c를 고릅니다. 산점도가 직선을 따르지 않고 올라갔다 내려가거나 내려갔다 올라갈 때 쓰는 방법입니다.
이차 회귀식은 어떻게 구하나요?
점들에 대해 x, x², x³, x⁴, y, xy, x²y를 더하고, 세 정규방정식 aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy, aΣx² + bΣx + cn = Σy를 풉니다. x = 0, 1, 2, 3과 y = 1, 2, 5, 11이라면 해는 a = 1.25, b = -0.45, c = 1.05입니다.
이차회귀에는 점이 몇 개 필요한가요?
적어도 세 개이고, 서로 다른 x 값이 적어도 세 개여야 합니다. 정확히 세 개면 포물선이 모든 점을 지나 R²가 자동으로 1이 되므로, 맞춤이 데이터에 대해 무언가를 말하려면 점이 네 개 이상 필요합니다.
이차 곡선 맞춤에서 R²는 무엇을 뜻하나요?
R² = 1 − (잔차제곱합) / (평균을 중심으로 한 y의 전체 변동)입니다. y의 변동 중 포물선이 설명하는 비율입니다. x = 1부터 6에서 y = 2, 6, 11, 13, 12, 8이라면 R² = 887/917, 약 0.9673입니다.
이차회귀와 다항회귀는 같은 것인가요?
이차회귀는 차수가 2인 다항회귀입니다. 3차 맞춤은 x³ 항과 네 번째 정규방정식을 더하고, 그다음도 마찬가지입니다. 차수가 높을수록 점에 더 가깝게 맞지만, 어느 선을 넘으면 추세가 아니라 잡음에 맞추게 되므로, 작은 데이터라면 보통 2차가 적당한 한계입니다.
맞춘 포물선의 꼭짓점은 어떻게 구하나요?
다른 포물선과 똑같이 x = -b/(2a)를 구하고, 그 x를 식에 넣어 y를 구합니다. y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7이라면 x = 33/8, y = 697/56, 약 12.45이고, 맞춘 추세가 가장 높은 곳이 여기입니다.
계수가 분수로 나오는 이유는 무엇인가요?
입력할 수 있는 데이터로 정규방정식을 풀면 언제나 유리수가 나오고, 분수가 정확한 답이기 때문입니다. -8/7이 최고차항의 계수이고, -1.142857은 그것을 반올림한 값입니다. 스프레드시트용 소수가 필요하면 복사 버튼을 쓰세요.
