고전: 직각변 3과 4
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a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25이고 √25 = 5 정확히. 세 변이 모두 정수인 가장 작은 삼각형인 3-4-5이며, 한눈에 알아볼 가치가 있습니다 - 그 배수인 6-8-10, 9-12-15도 마찬가지.
피타고라스 정리 계산기
그려진 삼각형의 두 변으로 세 번째를 정확히 - 근호까지.
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두 직각변의 제곱의 합이 빗변의 제곱
직각삼각형에서, 그리고 오직 거기서만 a² + b² = c²입니다. c는 빗변 - 직각의 마주 보는 변이고 항상 세 변 중 가장 깁니다. 이 진술은 면적에 대한 것입니다: 짧은 두 변 각각 위에 정사각형을 세우면 그 둘의 면적 합이 가장 긴 변 위에 세운 정사각형의 면적과 정확히 같습니다. 그래서 모든 것을 제곱하고, 그래서 마지막에 제곱근이 필요합니다.
계산이 어느 방향으로 가는지는 어느 변이 빠졌는지에 달려 있고, 거의 모든 실수가 여기에 삽니다. 빗변을 찾으면 두 제곱을 더합니다. 직각변을 찾으면 뺍니다: a² = c² − b². 빗변의 제곱이 전체이고 아는 직각변의 제곱은 그 일부이기 때문입니다. 빼야 할 때 더하면 빗변보다 큰 답이 나오는데, 그것은 불가능합니다 - 쓸모 있는 검산입니다.
여기의 답은 정확합니다. 직각변이 2와 3인 삼각형의 빗변은 √13이고, 이 페이지는 √13을 알려 줍니다 - 옆에 3.6056을, 그것이 반올림임을 밝혀서. √20은 그대로 두지 않고 2√5로 간단히 하며, 세 변이 모두 정수로 나온 삼각형은 그것이 바로 피타고라스 수임을 표시합니다.
눈여겨볼 점
- 정리는 직각삼각형에서만 성립합니다. 다른 삼각형에서 a² + b²과 c²은 그냥 다른 두 수이고, 거기서는 코사인 법칙이 일반형입니다.
- c는 항상 가장 긴 변입니다. 빗변 답이 직각변보다 작게 나왔다면 어딘가에서 덧셈이 뺄셈으로 바뀐 것입니다.
- 직각변을 구하는 것은 뺄셈입니다. a² = c² − b²은 정리에서 곧바로 나오고, 빗변보다 훨씬 자주 틀리는 경우입니다.
- 대부분의 답은 무리수입니다. 세 변이 모두 정수인 삼각형 - 3-4-5, 5-12-13 - 은 예외이고, 그래서 근호 형태가 중요합니다.
- 직각삼각형의 면적은 ab/2입니다: 두 직각변을 곱해 반으로. 빗변은 등장하지 않습니다. 두 직각변이 이미 직각으로 만나기 때문입니다.
- 피타고라스 수의 배수도 피타고라스 수입니다. 3-4-5를 3배 하면 9-12-15이고, 그래서 같은 삼각형이 문제집에 계속 나타납니다.
모르는 변을 구하는 방법
빗변을 알아보기
직각의 마주 보는 변이고 세 변 중 가장 깁니다. 여기서 틀리면 이후 모든 단계가 틀리므로, 계산 전에 먼저 표시하세요.
더할지 뺄지 정하기
빗변이 빠졌으면 두 직각변의 제곱을 더합니다. 직각변이 빠졌으면 아는 직각변의 제곱을 빗변의 제곱에서 뺍니다.
아는 변을 제곱하기
먼저 제곱, 그다음 덧셈이나 뺄셈. 더한 뒤에 제곱하는 것 - (a + b)² - 은 다르고 훨씬 큰 수입니다.
제곱근 구하기
제곱이 풀려 변 자체가 나옵니다. 딱 떨어지지 않으면 소수로 가지 말고 근호를 간단히 하세요: √20은 2√5입니다.
크기로 검산하기
빗변은 두 직각변보다 길고 그 합보다 짧아야 합니다. 답이 둘 중 하나를 어기면 덧셈과 뺄셈이 뒤바뀐 것입니다.
직각삼각형 한눈에
외워 둘 만한 피타고라스 수와, 답이 정수가 아닐 때 벌어지는 일. 정확한 열이 답이고 소수는 그 반올림입니다.
| a | b | c | 정확한 값 | 소수 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
풀이 예시
무리수 빗변: 직각변 2와 3
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a = 2, b = 34 + 9 = 13이므로 빗변은 √13. 그것이 답입니다 - 3.6056은 그 반올림이고, 3.6056을 제곱하면 13이 아니라 12.9999…가 됩니다. 직각삼각형은 대부분 이런 모양이고 정수인 경우가 예외입니다.
근호를 간단히: 직각변 2와 4
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a = 2, b = 44 + 16 = 20이고 √20을 그대로 두지 않습니다. 20 = 4 · 5이고 4가 근호 밖으로 2로 나와 2√5. 같은 수이고 모든 채점 기준이 기대하는 형태입니다.
직각변 구하기: 빗변 5, 다른 직각변 4
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b = 4, c = 5먼저 이항: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9이므로 a = 3. 더했다면 √41 ≈ 6.4가 되어 빗변보다 길어집니다 - 불가능하며, 이 실수를 즉시 잡아내는 검산입니다.
분수 변: 3/2와 2
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a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4이고 25/4의 제곱근은 정확히 5/2. 분수는 끝까지 분수로 남으므로 답은 2.5가 아니라 5/2입니다 - 여기서는 같은 수이지만요.
자주 하는 실수
- 빠진 변이 직각변인데 더하기. 빗변의 제곱이 전체이므로, 직각변을 구하는 것은 거기서 빼는 일입니다.
- 제곱의 합 대신 합의 제곱을 구하기. a² + b²은 (a + b)²이 아닙니다. 후자는 2ab만큼 크고, 실제 삼각형에서 그것이 0이 되는 일은 없습니다.
- 엉뚱한 변을 빗변이라 부르기. 빗변은 직각의 마주 보는 변이며, 마지막에 그린 변이나 오른쪽 변이 아닙니다.
- 제곱근을 잊기. 3² + 4² = 25는 답의 제곱이고 답이 아닙니다: 빗변은 5이고 25가 아닙니다.
- 직각이 없는 삼각형에 정리를 쓰기. 직각삼각형에서만 참이고, 나머지는 코사인 법칙이 필요합니다.
- 근호를 너무 일찍 반올림하기. √13의 제곱은 정확히 13이지만 3.61의 제곱은 13.0321이고, 여러 단계의 문제에서 그 오차는 자랍니다.
피타고라스 정리 자주 묻는 질문
피타고라스 정리란?
직각삼각형에서 a² + b² = c²이고, a와 b는 짧은 두 변, c는 직각의 마주 보는 빗변입니다. 면적으로 읽으면, 두 직각변 위에 세운 정사각형의 면적 합이 빗변 위에 세운 정사각형의 면적과 정확히 같습니다.
빗변은 어떻게 구하나요?
두 직각변을 각각 제곱해 더하고 제곱근을 구합니다: c = √(a² + b²). 3과 4라면 √25 = 5. 근호가 딱 떨어지지 않으면 간단히 한 근호로 남기세요 - √20은 2√5가 됩니다.
직각변은 어떻게 구하나요?
더하지 않고 뺍니다: a² = c² − b², 즉 a = √(c² − b²). 빗변 5, 직각변 4라면 √(25 − 16) = 3. 가장 많이 틀리는 경우이고, 검산은 직각변이 언제나 빗변보다 짧아야 한다는 것입니다.
피타고라스 수란 무엇인가요?
정리를 만족하는 세 정수입니다: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. 그 배수도 피타고라스 수이므로 6-8-10과 9-12-15는 3-4-5와 함께 공짜로 옵니다. 직각삼각형의 대부분은 피타고라스 수가 아니고, 그래서 무리수 답이 일반적입니다.
어떤 삼각형에서나 성립하나요?
아니요, 직각삼각형에서만. 나머지의 일반형은 코사인 법칙 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)이고, C가 90°여서 코사인이 0일 때 정확히 피타고라스 정리로 줄어듭니다.
이 페이지는 왜 소수 대신 근호를 남기나요?
근호가 정확한 답이고 소수는 그 반올림이기 때문입니다. √13의 제곱은 정확히 13, 3.61의 제곱은 13.0321. 여러 단계 문제에서 이 차이는 쌓이고, 대부분의 채점 기준도 정확한 형태를 원합니다.
삼각형이 직각인지 어떻게 확인하나요?
가진 세 변으로 정리를 시험하세요. 가장 긴 변을 c로 두고 a² + b²이 정확히 c²과 같다면 직각이 있습니다. 왼쪽이 크면 예각, 작으면 둔각 - 정리의 역이고 진짜로 쓸모 있는 검산입니다.
분수와 소수도 되나요?
됩니다. 그리고 둘 다 정확하게 유지됩니다. 직각변 3/2와 2는 정확히 5/2의 빗변을 주고, 입력한 소수는 부동소수점 근삿값이 아니라 그것이 가리키는 정확한 분수로 읽힙니다.
