일차방정식: 3x + 7 = 22
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3x + 7 = 22단계는 둘입니다. 7이 반대쪽으로 넘어가 3x = 15가 되고, 3으로 나누면 x = 5입니다. 계산기가 「양변에서 7 빼기」와 「3으로 나누기」를 별개의 의식처럼 하지 않는 점을 보세요. 각 단계를 그 단계가 이루는 일로 부릅니다. 소리 내어 설명할 때 쓰는 말과 같습니다.
방정식 계산기
어떤 방정식이든, 수업에서 쓰는 이름 그대로 각 단계를 붙여 풀어 줍니다.
마지막 업데이트
계산기 없이 풀고 싶으신가요?
Coddy 수학 강의는 방법 자체를 가르칩니다. 대화형 보드에서 한 단계씩 직접 풀고, 어디서 어긋났는지 정확히 알려 줍니다.
x를 구하는 것은 요령이 아니라 단계의 연속입니다
학교 대수에서 만나는 방정식은 모두 같은 방식으로 풀립니다. 양변에 같은 일을 반복하다가 문자가 혼자 남으면 끝입니다. 문제마다 달라지는 것은 다음에 어떤 수를 두느냐뿐이고, 배울 가치가 있는 것도 그것뿐입니다. 답만 봐서는 그 부분을 하나도 배울 수 없습니다.
그래서 이 계산기는 단계를 보여 줍니다. 각 줄은 무엇을 했는지 말하고(「양변에서 7을 빼기」, 「경우로 나누기」, 「교차 곱하기」) 그 수가 만든 방정식을 보여 줍니다. 이름은 이 페이지를 위해 지어낸 것이 아닙니다. Coddy 수학 코스가 대화형 보드에서 쓰는 이름 그대로이고, 계산기와 코스가 하나의 엔진으로 돌아가기 때문입니다.
경로를 고르는 방식도 컴퓨터가 아니라 선생님 쪽에 가깝습니다. 인수분해가 되는 곳에서는 근의 공식보다 인수분해가 이깁니다. 더 짧고, 손으로 풀면 그렇게 하기 때문입니다. 표시된 단계 수는 그 문제가 실제로 드는 단계 수입니다.
단계를 읽을 때 볼 것
- 줄만 보지 말고 단계의 이름을 읽으세요. 각 단계를 왜 골랐는지 말할 수 있으면 다음 문제는 이 페이지 없이 풉니다.
- 방정식이 x에 관한 이야기를 그만두고 계산으로 바뀌는 지점을 보세요. 대부분이 부호를 잃는 순간이 바로 그 인계 지점입니다.
- 인수분해가 되는 이차방정식은 여기서 공식이 아니라 인수분해로 풉니다. 둘 다 맞지만 하나가 더 짧고, 어느 쪽인지 아는 것이 실력입니다.
- 답은 정확하게 남습니다. 7/2가 답이고 3.5는 그 소수 표현입니다. 분수 문제에서는 이 차이가 채점됩니다.
- 「해가 없음」과 「모든 수가 성립」은 진짜 답이지 오류가 아닙니다. 1 = 2로 정리되는 방정식은 해가 없고, 1 = 1로 정리되는 방정식은 해가 전부입니다.
방정식 계산기 사용법
방정식을 입력하세요
종이에 쓰듯이 쓰면 됩니다:
2x + 3 = 11,x^2 - 5x + 6 = 0,(x+1)/(x-2) = 3. 거듭제곱은^, 근호는sqrt(...), 절댓값은|x|입니다.어떤 문자에 대해 풀지 고르세요
문자가 둘 이상이면 버튼 줄이 나타납니다. 공식 변형도 이렇게 합니다:
A = l w를 넣고l을 고르면 l = A/w가 나옵니다.답을 먼저, 그다음 경로를 읽으세요
대부분이 답을 보러 오기 때문에 답이 맨 위에 있습니다. 그 아래 번호가 붙은 단계가 두 번 읽을 가치가 있는 부분입니다.
자신의 풀이와 비교하세요
다른 답이 나왔다면 쓸모 있는 질문은 어느 숫자가 맞느냐가 아니라 어느 줄에서 갈라졌느냐입니다. 그 줄을 찾으면 실수는 대개 스스로 설명됩니다.
풀 수 있는 것
계산기는 하나이고, 방법은 묻지 않고 스스로 고릅니다. 알아보는 형태와 각각에서 두는 첫 수는 다음과 같습니다.
| 방정식 종류 | 예 | 어떻게 시작하는가 |
|---|---|---|
| 일차 | 3x + 7 = 22 | 상수항을 넘기고 나눈다 |
| 양변에 미지수 | 5x - 4 = 3x + 6 | 먼저 x를 한쪽으로 모은다 |
| 괄호 | 2(x - 3) = 4x + 1 | 나누거나 전개하거나, 더 짧은 쪽 |
| 이차 | x² - 5x + 6 = 0 | 인수분해가 되면 인수분해, 아니면 근의 공식 |
| 분수·유리식 | (x+1)/(x-2) = 3 | 교차 곱하고 남은 것을 푼다 |
| 절댓값 | |x - 1| = 4 | 절댓값 기호가 뜻하는 두 경우로 나눈다 |
| 근호 | √(x + 3) = 5 | 양변을 제곱하고 무연근을 확인한다 |
| 연립 | 2x + y = 5; x - y = 1 | 미지수 하나를 소거하고 다시 대입한다 |
| 부등식 | 3x + 2 > 11 | 같은 단계, 음수로 나눌 때 부등호가 뒤집힘 |
| 공식(문자식) | A = l w | 원하는 문자를 고르면 그 문자에 대해 정리 |
예제 풀이
양변에 미지수: 5x - 4 = 3x + 6
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5x - 4 = 3x + 6첫 일은 모든 x를 한쪽으로 모으는 것입니다. 그다음부터는 앞의 예제와 같습니다. 대수가 수수께끼가 아니라 절차임을 처음으로 납득시켜 주는 형태이고, 첫 수가 자동으로 나올 때까지 열 문제쯤 풀어 볼 가치가 있습니다.
인수분해되는 이차식: x² - 5x + 6 = 0
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x^2 - 5x + 6 = 0인수분해하면 (x - 3)(x - 2) = 0이 되고, 곱이 0이라는 규칙이 이를 두 경우로 나눕니다. 각각은 한 단계짜리 일차방정식입니다. 근의 공식으로도 풀리지만 네 줄이 더 듭니다. 계산기가 여기서 공식을 쓰지 않는 이유가 바로 그것입니다.
공식 변형: A = l w를 l에 대해
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A = l w「무엇에 대해 풀까요」 줄에서 l을 고르면 계산기가 w를 넘겨 l = A/w를 줍니다. x에 대해 푸는 것과 똑같은 장치이고, 그것을 깨닫는 순간은 첫 대수 수업에서 가장 쓸모 있는 순간 중 하나입니다. 공식이란 문자에 이름이 붙은 방정식일 뿐입니다.
자주 하는 실수
- 한쪽에만 무언가를 하기. 여기서 모든 단계는 양변에 적용됩니다. 그것이 깨지는 순간 그 방정식은 더 이상 같은 방정식이 아닙니다.
- 음수로 곱하거나 나눌 때 부등호 뒤집기를 잊기. -2x > 6은 x > -3이 아니라 x < -3입니다.
- 이차방정식에서 해를 하나 잃기. (x - 3)(x - 2) = 0의 답은 둘이고, 첫 번째만 적는 것이 점수의 절반을 잃는 가장 흔한 방법입니다.
- 근호가 있는 방정식을 제곱하고 확인하지 않기. 제곱은 원래 식을 만족하지 않는 해를 만들어 낼 수 있으므로 대입해 보고 버려야 합니다.
- 합을 가로질러 약분하기. (2x + 4)/2는 두 항 모두 2로 나뉘므로 x + 2이지 2x + 2가 아닙니다.
- 「해가 없음」을 실수로 여기기. 정말로 해가 없는 방정식이 있고, 그것을 알아보는 것이 답이지 못 찾은 것이 아닙니다.
자주 묻는 질문
x는 어떻게 구하나요?
x에 가해진 것을 한 번에 하나씩, 매번 양변에 같은 일을 하면서 되돌리면 됩니다. 바깥에서 안으로: 먼저 덧셈과 뺄셈, 다음 곱셈과 나눗셈, 그다음 거듭제곱과 근호입니다. x가 혼자 남으면 반대쪽이 답입니다. 이 계산기가 찍어 내는 모든 경로는 그 생각의 반복일 뿐입니다.
풀이 과정이 정말 무료인가요?
네, 가입도 필요 없습니다. 분명히 적어 둘 만합니다. 단계별 풀이로 가장 잘 알려진 두 수학 사이트는 답을 보여 준 다음, 어떻게 왔는지 보려면 구독을 요구하기 때문입니다. 여기서는 풀이가 그냥 페이지에 있습니다. 가르치는 부분이 바로 그것이라 결제 뒤에 두면 존재 이유가 사라집니다.
무엇을 풀 수 있나요?
일차방정식, 양변에 미지수가 있는 식, 괄호가 있는 식, 분수와 유리방정식, 이차방정식, 절댓값, 근호, 밑이 같은 지수방정식, 연립방정식, 부등식과 이중부등식, 그리고 공식을 어떤 문자에 대해 정리하는 문자방정식입니다.
왜 공식 대신 인수분해를 했나요?
인수분해가 되는 곳에서는 그쪽이 더 짧고, 계산기가 경로를 컴퓨터가 아니라 선생님처럼 고르기 때문입니다. 깔끔하게 인수분해되지 않는 이차식에서는 공식을 꺼내 한 단계씩 적어 냅니다.
방정식을 푸는 대신 공식을 변형할 수 있나요?
네 — 「무엇에 대해 풀까요」 줄이 바로 그 용도입니다. 공식을 넣고 혼자 남기고 싶은 문자를 고르면 계산기가 그 문자에 대해 정리합니다. v = u + at를 t에 대해 정리하는 것은 3x + 7 = 22를 x에 대해 푸는 것과 완전히 같은 일이고, 그것이 적힌 걸 보는 순간 이해가 되는 경우가 많습니다.
「해가 없음」은 무슨 뜻인가요?
방정식이 스스로 모순된다는 뜻입니다. x + 1 = x + 2는 1 = 2로 정리되고 어떤 x도 이를 고칠 수 없으므로 해가 없습니다. 반대도 있습니다. 2(x + 1) = 2x + 2는 1 = 1로 정리되어 모든 수가 답이 됩니다.
소수로 보여 주나요?
정확한 값으로 보여 줍니다. 그것이 답이기 때문입니다. 7/2는 7/2로 남고 √12는 3.464가 아니라 2√3이 됩니다. 소수는 답을 반올림한 것이고, 분수나 근호를 묻는 문제에서 반올림은 오답으로 처리됩니다.
