Polski
Potęgi z nazwaną regułą, także te o wykładniku ujemnym i ułamkowym.
Ostatnia aktualizacja
Kurs matematyki Coddy uczy samej metody: każdy krok robisz na interaktywnej tablicy i dowiadujesz się dokładnie, gdzie ruch poszedł nie tak.
Przy wykładniku całkowitym nie ma czego tłumaczyć: 2⁵ to pięć dwójek pomnożonych przez siebie, czyli 32. Ciekawe są przypadki, w których wykładnik nie jest już liczbą czynników, a są trzy: zero, liczba ujemna i ułamek. Za każdym stoi jedna reguła, a każda reguła wynika z tego samego faktu: mnożenie potęg o tej samej podstawie dodaje ich wykładniki.
Zero: 2³ ÷ 2³ to 1, a odjęcie wykładników daje 2⁰, więc 2⁰ musi być równe 1, dla każdej podstawy oprócz samego 0. Ujemny: 2³ ÷ 2⁵ to 1/4, a odjęcie daje 2⁻², więc wykładnik ujemny oznacza ODWROTNOŚĆ, a nigdy ujemny wynik. Ułamkowy: 2^(1/2) razy 2^(1/2) to 2¹, więc 2^(1/2) to liczba, której kwadrat to 2, czyli pierwiastek kwadratowy.
Wszystko tutaj jest dokładne. 2⁻³ to 1/8, a nie 0.125, (2/3)³ to 8/27, 9^(1/2) to dokładnie 3, a 8^(1/2) zostaje 2√2 zamiast zwinąć się do 2.828. Ułamek dziesiętny jest podawany obok dokładnego wyniku zawsze, gdy istnieje, i oznaczany jako przybliżenie zawsze, gdy nim jest.
Jeśli jest ujemny, zapisz odwrotność i zmień wykładnik na dodatni: 2⁻³ staje się 1/2³. Zrobienie tego na początku chroni przed klasycznym błędem odpowiedzi −8.
Wykładnik ułamkowy to pierwiastek. Mianownik ułamka wybiera pierwiastek, a licznik jest potęgą: x^(m/n) to pierwiastek n-tego stopnia z x^m.
Podnieś licznik i mianownik osobno. (2/3)³ to 2³ przez 3³, czyli 8/27.
Wykładnik całkowity to teraz po prostu wielokrotne mnożenie. Pamiętaj o znaku: nieparzysta liczba ujemnych czynników daje ujemny wynik.
Odwróć wynik, który właśnie obliczono. 1/2³ to 1/8; sprawdź też, czy wynik jest mniejszy od 1, bo tak zawsze jest przy wykładniku ujemnym i podstawie większej od 1.
Cztery przypadki, które nie są zwykłym wielokrotnym mnożeniem, obok tych, które nim są.
| Potęga | Reguła | Dokładny wynik | Jako ułamek dziesiętny |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | wielokrotne mnożenie | 32 | 32 |
| 2⁰ | wszystko oprócz 0 do potęgi 0 daje 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | wykładnik ujemny to odwrotność | 1/8 | 0,125 |
| (2/3)³ | podnieś licznik i mianownik | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | wykładnik ułamkowy to pierwiastek | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | pierwiastek uproszczony, nie zaokrąglony | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | wykładnik parzysty, minusy łączą się w pary | 16 | 16 |
| (−2)³ | wykładnik nieparzysty, jeden minus zostaje | −8 | −8 |
2^5Pięć dwójek pomnożonych przez siebie: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. To jedyny przypadek, w którym wykładnik naprawdę jest liczbą czynników, i warto go raz rozpisać, żeby przypadki poniżej dało się zobaczyć jako odstępstwa od niego.
2^-3Nie −8. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność: 2⁻³ to 1/2³ = 1/8. Powodem jest dzielenie: 2² ÷ 2⁵ to 1/8, a odjęcie wykładników daje 2⁻³, więc oba muszą być równe. Wynik jest dodatni i mniejszy od 1.
(2/3)^3Obie części są podnoszone do sześcianu: 2³ przez 3³, czyli 8/27. Podniesienie tylko licznika, bardzo częsta pomyłka, dałoby 8/3, ponad 8 razy za dużo. Jako ułamek dziesiętny to 0.296… i nigdy się nie kończy, więc uczciwym wynikiem jest ułamek zwykły.
9^1/2Potęga 1/2 to pierwiastek kwadratowy, więc to dokładnie √9 = 3. Powód: 9^(1/2) razy 9^(1/2) dodaje wykładniki i daje 9¹, więc 9^(1/2) musi być liczbą, której kwadrat to 9.
8^1/2√8 jest liczbą niewymierną, więc wynik zostaje pierwiastkiem, uproszczonym do 2√2 przez wyłączenie czynnika kwadratowego 4. Ułamek dziesiętny 2.828… stoi obok jako przybliżenie, nigdy zamiast niego.
(-2)^4Cztery ujemne czynniki łączą się w dwa dodatnie iloczyny, więc (−2)⁴ = 16. Trzy zostawiają jeden minus bez pary, więc (−2)³ = −8. Znak zależy wyłącznie od wykładnika; zauważ też, że −2⁴ bez nawiasów oznacza −(2⁴) = −16, a to inne pytanie.
