Menu
Coddy logo textMath
ZACZNIJ NAUKĘ
flag Pl iconPolskidown icon

Kalkulator regresji liniowej

Prosta najlepszego dopasowania przez twoje punkty, dokładnie, z r i każdym krokiem obliczeń.

Autor: Nethanel Bar, Współzałożyciel i CEO

Ostatnia aktualizacja

Chcesz rozwiązywać takie zadania bez kalkulatora?

Kurs matematyki Coddy uczy samej metody: każdy krok robisz na interaktywnej tablicy i dowiadujesz się dokładnie, gdzie ruch poszedł nie tak.

Zacznij naukę za darmo

Regresja liniowa znajduje jedyną prostą, która najmniej chybia punktów

Prawdziwe dane nigdy nie leżą na jednej prostej, więc każda narysowana przez nie prosta chybia większości punktów. Każde chybienie to reszta: rzeczywiste y minus y przewidywane przez prostą. Regresja liniowa podnosi każdą resztę do kwadratu, sumuje kwadraty i wybiera tę jedną prostą, dla której suma jest najmniejsza. Ta prosta to prosta regresji metodą najmniejszych kwadratów, zwana też prostą najlepszego dopasowania, i dla każdego zbioru punktów, których wartości x nie są wszystkie równe, istnieje dokładnie jedna taka prosta.

Do jej wyznaczenia potrzeba pięciu liczb: liczby punktów n oraz sum x, y, xy i x². Współczynnik kierunkowy to m = (nΣxy minus ΣxΣy) podzielone przez (nΣx² minus (Σx)²), a wyraz wolny to b = (Σy minus mΣx) podzielone przez n. Ta strona buduje tabelę tych sum, podstawia twoje liczby do obu wzorów i pokazuje każdy wiersz obliczeń, bo tabelę sprawdza nauczyciel.

Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny są zachowane jako dokładne ułamki. Dla danych złożonych z liczb całkowitych, ułamków dziesiętnych i zwykłych są zawsze wymierne, więc współczynnik kierunkowy 162/35 jest wypisywany jako 162/35, a nie 4.6286, czyli jego zaokrąglenie. Współczynnik korelacji r to pierwiastek, więc pojawia się jako pierwiastek z ułamkiem dziesiętnym obok. Przycisk Kopiuj daje prostą w ułamkach dziesiętnych, gotową do arkusza kalkulacyjnego.

Na co zwrócić uwagę w prostej

  • Zawsze przechodzi przez punkt średnich. Dla x = 1 do 5 i y = 2, 4, 5, 4, 5 średnie to 3 i 4, prosta to y = 0.6x + 2.2, a 0.6 × 3 + 2.2 = 4.
  • Jej reszty zawsze sumują się dokładnie do zera. Chybienia nad prostą i pod nią się równoważą, dlatego metoda podnosi je do kwadratu przed dodaniem.
  • Współczynnik kierunkowy ma jednostki: jednostki y na jednostkę x. Współczynnik 162/35 dla godzin nauki względem wyniku testu oznacza około 4.63 punktu więcej za każdą dodatkową godzinę.
  • Zamiana x i y daje inną prostą, a nie tę samą przekształconą. Regresja y względem x minimalizuje chybienia pionowe; regresja x względem y minimalizuje poziome.
  • Współczynnik kierunkowy mówi, jak stromy jest trend, a r, jak ciasno punkty za nim podążają. Zawsze mają ten sam znak, ale stroma prosta może mieć słabe r, a płaska silne.
  • Dwa punkty zawsze dają idealne dopasowanie z r = 1 lub -1. To nic nie mówi o danych; prosta regresji zaczyna coś znaczyć od trzech punktów.

Jak wyznaczyć prostą regresji ręcznie

  1. Zrób tabelę

    Zapisz każdy punkt jako wiersz z czterema kolumnami: x, y, xy i x². Zsumuj każdą kolumnę i policz punkty. Dla x = 1, 2, 3, 4, 5 i y = 2, 4, 5, 4, 5 daje to n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 i Σx² = 55.

  2. Oblicz współczynnik kierunkowy

    m = (nΣxy minus ΣxΣy) / (nΣx² minus (Σx)²). Tutaj to (5 × 66 minus 15 × 20) / (5 × 55 minus 15²) = 30 / 50 = 0.6. Zostaw go jako ułamek, jeśli nie wychodzi krótki ułamek dziesiętny.

  3. Oblicz wyraz wolny

    b = (Σy minus mΣx) / n. Tutaj (20 minus 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2. Użyj dokładnego współczynnika kierunkowego z poprzedniego kroku, a nie zaokrąglonego.

  4. Zapisz prostą i sprawdź ją

    y = 0.6x + 2.2. Sprawdź, czy przechodzi przez punkt średnich (3, 4): 0.6 × 3 + 2.2 = 4. Jeśli nie, któraś z sum jest błędna.

  5. Oceń dopasowanie

    Oblicz r albo spójrz na reszty. Tutaj r = √15/5, około 0.7746, a reszty to -0.8, 0.6, 1, -0.6 i -0.2, a suma ich kwadratów to 2.4.

Proste najlepszego dopasowania dla małych zbiorów danych

Każdy wiersz to jeden zbiór danych wpisany do kalkulatora powyżej. Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny są dokładne; r jest pokazane jako pierwiastek z ułamkiem dziesiętnym.

Wartości xWartości yProsta najlepszego dopasowaniarr²
1, 2, 3, 4, 52, 4, 5, 4, 5y = 0.6x + 2.2√15/5 ≈ 0.77460.6
0, 1, 2, 37, 5, 3, 1y = -2x + 7-11
2, 4, 6, 8, 103, 7, 8, 12, 15y = 1.45x + 0.329√215/430 ≈ 0.9889841/860
1, 2, 3, 4, 5, 652, 58, 61, 67, 70, 76y = (162/35)x + 47.89√15/35 ≈ 0.9959243/245
1, 2, 3, 4, 53, 1, 4, 1, 5y = 0.4x + 1.6√2/4 ≈ 0.35360,125
1, 32, 8y = 3x - 111
-2, -1, 0, 1, 24, 1, 0, 1, 4y = 200

Przykłady z rozwiązaniem

Zestaw z podręcznika

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

Sumy to Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 i Σx² = 55 przy n = 5. Współczynnik kierunkowy to 30/50 = 0.6, a wyraz wolny to 11/5 = 2.2, więc prosta to y = 0.6x + 2.2. Reszty to -0.8, 0.6, 1, -0.6 i -0.2, które sumują się do 0, a suma ich kwadratów to 2.4. Korelacja to r = √15/5, około 0.7746: silna i dodatnia.

Współczynnik kierunkowy jako ułamek: godziny nauki a wynik testu

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76

Średnie to 3.5 godziny i 64 punkty. Współczynnik kierunkowy to 162/35, około 4.63 punktu na godzinę, a wyraz wolny to 64 minus (162/35) × 3.5 = 47.8, więc y = (162/35)x + 47.8 przy r ≈ 0.9959. Dla 4.5 godziny prosta przewiduje 2402/35, około 68.63. Dla 12 godzin przewiduje około 103.34 w teście ocenianym w skali do 100: to ekstrapolacja, której dane nie uzasadniają.

Punkty już leżące na prostej

plain
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1

Każdy krok x o 1 zmniejsza y o 2, więc punkty leżą dokładnie na y = -2x + 7. Kalkulator znajduje tę prostą, każda reszta to 0, suma kwadratów reszt to 0, a r = -1: idealna korelacja ujemna.

Przewidywanie wewnątrz i poza danymi

plain
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15

Prosta to y = 1.45x + 0.3 przy r ≈ 0.9889 i przechodzi przez punkt średnich (6, 9). Dla x = 7, wewnątrz danych, przewiduje 10.45, i tej interpolacji można ufać mniej więcej na tyle, na ile dobre jest dopasowanie. Dla x = 60 przewiduje 87.3, pięćdziesiąt jednostek za ostatnim punktem, gdzie nic w danych nie mówi, że trend nadal obowiązuje.

Silne r, które ukrywa krzywą

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25

Prosta najlepszego dopasowania to y = 5x - 10/3 przy r ≈ 0.9599, co brzmi znakomicie. Reszty to 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 i 10/3: dodatnie na obu końcach, ujemne w środku. Taki kształt litery U oznacza, że punkty leżą na krzywej, a regresja kwadratowa dopasowuje je dokładnie jako y = x².

Częste błędy

  • Zaokrąglanie współczynnika kierunkowego przed obliczeniem wyrazu wolnego. Przy współczynniku 162/35 użycie 4.63 daje wyraz wolny 47.795 zamiast 47.8. Przenoś dokładny współczynnik dalej i zaokrąglij raz, na końcu.
  • Mylenie nΣx² z (Σx)². Dla x = 1 do 5 pierwsze to 5 × 55 = 275, a drugie to 15² = 225. Zamiana zmienia znak mianownika.
  • Łączenie wartości w pary w złej kolejności. Pierwszy x należy do pierwszego y. Posortowanie jednej kolumny bez drugiej daje prostą przez punkty, które nie istnieją.
  • Ekstrapolowanie daleko poza dane. Prosta opisuje zakres, na którym ją dopasowano; przewidywanie daleko poza nim może być skrajnie błędne, nawet gdy r jest bliskie 1.
  • Traktowanie wysokiego r jako dowodu, że prosta jest właściwym modelem. Kwadraty od 0 do 25 dają r ≈ 0.96, a mimo to leżą na krzywej. Spójrz na reszty.
  • Odczytywanie współczynnika kierunkowego jako przyczyny. Prosta mówi, jak y zwykle zmienia się wraz z x w tych danych, a nie że zmiana x zmieniłaby y.
  • Dopasowywanie x względem y, gdy zadanie pyta o y względem x. Obie proste regresji są różne, chyba że każdy punkt leży na jednej prostej.

Regresja liniowa: najczęstsze pytania

Jak policzyć regresję liniową ręcznie?
Zrób tabelę z x, y, xy i x² dla każdego punktu i zsumuj kolumny. Współczynnik kierunkowy to m = (nΣxy minus ΣxΣy) / (nΣx² minus (Σx)²), a wyraz wolny to b = (Σy minus mΣx) / n. Dla x = 1 do 5 i y = 2, 4, 5, 4, 5 daje to m = 30/50 = 0.6 i b = 11/5 = 2.2, więc y = 0.6x + 2.2. Ta strona wypisuje tę samą tabelę i wypełnia oba wzory, żeby można było sprawdzić każdy wiersz.
Czym jest prosta regresji metodą najmniejszych kwadratów?
To prosta, dla której suma kwadratów reszt jest najmniejsza, gdzie reszta to rzeczywiste y punktu minus y przewidywane przez prostą. Jest jedyna, o ile wartości x nie są wszystkie równe. Dla pięciu punktów powyżej żadna inna prosta nie schodzi z sumą kwadratów poniżej 2.4.
Co oznaczają współczynnik kierunkowy i wyraz wolny?
Współczynnik kierunkowy mówi, o ile średnio zmienia się y przy każdym wzroście x o 1, w jednostkach y na jednostkę x. Wyraz wolny to przewidywane y dla x równego 0. Wyraz wolny ma sens tylko wtedy, gdy x = 0 leży w danych lub blisko nich; regresja wagi względem wzrostu ma wyraz wolny przy wzroście 0, który nie opisuje żadnej prawdziwej osoby.
Czy prosta najlepszego dopasowania to to samo co prosta regresji?
Tak. W statystyce prosta najlepszego dopasowania to prosta regresji metodą najmniejszych kwadratów, i to właśnie oblicza ten kalkulator. Prosta najlepszego dopasowania narysowana na oko na papierze jest jej oszacowaniem i powinna przechodzić przez punkt średnich, tak jak zawsze robi to obliczona prosta.
Jakie r kwadrat jest dobre dla prostej regresji?
To zależy od dziedziny. r² to część zmienności y, którą wyjaśnia prosta, więc 0.9 oznacza 90%. Pomiary z kontrolowanego eksperymentu fizycznego często osiągają 0.99; dane o ludziach często zatrzymują się na 0.3 do 0.5 i nadal są przydatne. Wysokie r² nie dowodzi, że prosta ma właściwy kształt, więc sprawdź też reszty.
Ile punktów potrzeba do regresji liniowej?
Dwa punkty wyznaczają prostą, więc kalkulator przyjmuje dwa, ale prosta przez dwa punkty zawsze pasuje idealnie i nic nie mówi o danych. Przy trzech lub więcej punktach reszty, r i r² zaczynają nieść informację, a więcej punktów czyni współczynnik kierunkowy bardziej wiarygodnym.
Czy mogę używać prostej regresji do przewidywania?
Wewnątrz zakresu twoich wartości x tak: to interpolacja i jest tak dobra jak dopasowanie. Poza zakresem to ekstrapolacja, a nic w danych nie mówi, że trend trwa dalej. Przykład z wynikami testu na tej stronie przewiduje około 103 punktów za 12 godzin nauki w teście ocenianym w skali do 100.
Dlaczego wyniki są ułamkami zwykłymi, a nie dziesiętnymi?
Bo współczynnik kierunkowy i wyraz wolny prostej najmniejszych kwadratów dla danych wymiernych to liczby wymierne, a ułamek to dokładna wartość. 162/35 to współczynnik kierunkowy; 4.6286 to jego zaokrąglenie, a każde przewidywanie oparte na zaokrągleniu przenosi błąd. Przycisk Kopiuj daje ułamki dziesiętne, gdy ich potrzebujesz.

Więcej narzędzi matematycznych

Kalkulator chi kwadrat

Test niezależności na tabeli kontyngencji albo test zgodności, z każdą liczebnością oczekiwaną podaną dokładnie.

Kalkulator współczynnika korelacji

Współczynnik r Pearsona z twoich danych, dokładnie jako pierwiastek, z jego siłą i obliczeniami.

Kalkulator regresji kwadratowej

Parabola najlepszego dopasowania przez twoje punkty, z dokładnymi współczynnikami i R².

Kalkulator regresji wykładniczej

Krzywa y = a·bˣ dopasowana do danych o wzroście lub spadku, z tempem zmiany na krok.

Ilustracja języków programowania w Coddy

Ucz się matematyki z Coddy

ZACZNIJ