Polski
Parabola najlepszego dopasowania przez twoje punkty, z dokładnymi współczynnikami i R².
Ostatnia aktualizacja
Kurs matematyki Coddy uczy samej metody: każdy krok robisz na interaktywnej tablicy i dowiadujesz się dokładnie, gdzie ruch poszedł nie tak.
Niektóre dane rosną, a potem spadają, albo spadają, a potem rosną: wysokość rzuconej piłki, zysk przy różnych cenach, spalanie samochodu przy różnych prędkościach. Prosta poprowadzona przez takie dane ma zły kształt, niezależnie od tego, jak dobrze ją ustawić. Regresja kwadratowa dopasowuje zamiast niej parabolę, y = ax² + bx + c, i wybiera a, b i c tak, żeby suma kwadratów pionowych odchyleń od punktów była jak najmniejsza. To ta sama idea najmniejszych kwadratów co w regresji liniowej, tylko z jednym współczynnikiem więcej.
Minimalizacja kwadratów odchyleń prowadzi do trzech równań z niewiadomymi a, b i c, zwanych równaniami normalnymi, zbudowanych z sum x, x², x³, x⁴, y, xy i x²y. Kalkulator graficzny rozwiązuje je w arytmetyce zmiennoprzecinkowej. Ta strona rozwiązuje je na dokładnych ułamkach, więc współczynnik -8/7 jest wyświetlany jako -8/7, a nie -1.142857, a R² też jest dokładnym ułamkiem.
Wartość przewidywana i reszta każdego punktu są wypisane pod wynikiem. Dobre dopasowanie kwadratowe zostawia reszty, które wyglądają jak szum: rozrzucone powyżej i poniżej zera bez żadnego wzoru. Jeśli nadal się wyginają albo równomiernie rosną wzdłuż tabeli, parabola też nie jest właściwym kształtem i warto spróbować innego modelu.
Dla każdego punktu oblicz x, x², x³, x⁴, y, xy i x²y, potem zsumuj każdą kolumnę i policz punkty. Dla x = 0, 1, 2, 3 i y = 1, 2, 5, 11: n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45 i Σx²y = 121.
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy oraz aΣx² + bΣx + cn = Σy. Z powyższymi sumami: 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45 i 14a + 6b + 4c = 19.
Eliminuj po jednej niewiadomej, trzymając dokładne ułamki. Ten układ daje a = 1.25, b = -0.45 i c = 1.05, więc y = 1.25x² - 0.45x + 1.05.
Wstaw każde x do krzywej i odejmij przewidywanie od rzeczywistego y. Tutaj reszty wynoszą -0.05, 0.15, -0.15 i 0.05, suma ich kwadratów to 0.05, a R² = 1214/1215, czyli około 0.9992.
Każdy wiersz to jeden zbiór danych wpisany w kalkulator powyżej, z dokładnymi współczynnikami i R², które podaje.
| Wartości x | Wartości y | Parabola najlepszego dopasowania | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11Równania normalne dają a = 1.25, b = -0.45 i c = 1.05, więc y = 1.25x² - 0.45x + 1.05. Przewidywania to 1.05, 1.85, 5.15 i 10.95, reszty -0.05, 0.15, -0.15 i 0.05, a R² = 1214/1215, czyli około 0.9992.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8Parabola najlepszego dopasowania to y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 z R² = 887/917, czyli około 0.9673. Ponieważ a jest ujemne, krzywa ma szczyt w x = 33/8 = 4.125 i y = 697/56, czyli około 12.45. Prosta poprowadzona przez te same punkty osiąga tylko r² = 375/917, około 0.4089, bo nie potrafi zawrócić.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2Wysokości w metrach mierzone co sekundę. Dopasowanie jest idealne: y = -5x² + 20x + 2, każda reszta wynosi 0, a R² = 1. -5 to połowa przyspieszenia ziemskiego zaokrąglonego do 10 m/s², 20 to prędkość początkowa, a 2 to wysokość wyrzutu. Szczyt wypada w x = 2, y = 22.
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4To wartości (x - 1)², a kalkulator zwraca y = x² - 2x + 1, czyli tę samą parabolę po wymnożeniu, z R² = 1 i każdą resztą równą 0. To szybki sposób, by sprawdzić, czy zbiór wartości naprawdę pochodzi z jednej funkcji kwadratowej.
