Um cilindro de raio 3 e altura 5
plain
r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π, cerca de 141.37. Eleve o raio ao quadrado antes de multiplicar pela altura; ao contrário dá 225π, cinco vezes demais.
Calculadora de volume
Seis sólidos, cada um com sua fórmula escrita antes de ser usada.
Última atualização
Quer resolver isso sem a calculadora?
O curso de matemática da Coddy ensina o método em si: você trabalha cada passo em um quadro interativo e descobre exatamente onde a jogada deu errado.
Toda fórmula de volume é uma área vezes uma altura
Um prisma - um paralelepípedo, um cilindro, qualquer coisa com a mesma seção do começo ao fim - tem volume igual à área da base vezes a altura. Essa única ideia cobre dois dos seis sólidos daqui: um paralelepípedo é comprimento × largura × altura porque a área da base é comprimento × largura, e um cilindro é πr²h porque a base é um círculo de área πr². Aprender o padrão vence memorizar fórmulas separadas.
Os que afinam - o cone e a pirâmide - ficam com exatamente um TERÇO do prisma que os conteria. Mesma base, mesma altura, um terço do volume. Esse fator 1/3 não é arbitrário e é a coisa mais esquecida neste tópico: um cone do tamanho de um cilindro comporta um terço, o que é mais fácil de lembrar depois de despejar um dentro do outro.
A esfera é a exceção com 4/3πr³, e vale mantê-la exata pela mesma razão de tudo aqui: π é irracional, então 36π é uma resposta e 113.1 é um arredondamento dela. Esta página mantém o símbolo, informa o decimal ao lado e dá a área da superfície e a geratriz sempre que forem exatas.
O que observar
- Para qualquer coisa em forma de prisma, volume é área da base × altura. Reconhecer isso transforma quatro fórmulas em uma ideia mais a fórmula de área certa.
- Um cone ou pirâmide é um terço do prisma com a mesma base e altura. Esquecer o 1/3 é o erro clássico e deixa a resposta exatamente três vezes maior.
- Todas as medidas devem estar na mesma unidade antes de começar, e o volume sai nessa unidade AO CUBO. Misturar centímetros e metros é um erro de fator um milhão.
- Dobrar uma dimensão dobra o volume; dobrar as três multiplica por oito. É por isso que o volume cresce muito mais rápido que o comprimento.
- π pertence à resposta, não ao desenvolvimento. 45π é exato, e multiplicar até 141.37 no fim não custa nada e é fácil de conferir.
- A geratriz de um cone não é a altura dele. A geratriz é a hipotenusa do raio e da altura, e por isso sai como raiz - e é o que a área lateral precisa, não o volume.
Como achar um volume
Identifique o sólido e escreva a fórmula
Faça isso antes de tocar num número. Cubo s³, paralelepípedo clh, cilindro πr²h, esfera 4/3πr³, cone 1/3πr²h, pirâmide quadrada 1/3s²h.
Confira se as unidades combinam
Converta tudo para a mesma unidade primeiro. É o passo que arruina respostas em silêncio, porque a aritmética depois parece perfeita.
Substitua as medidas
Escreva a fórmula com os seus números dentro antes de calcular. Numa questão corrigida, essa linha substituída normalmente vale um ponto sozinha.
Resolva as potências antes de multiplicar
Num cilindro de raio 3 e altura 5: eleve o 3 primeiro para obter 9, então 9 · 5 = 45, dando 45π. Multiplicar antes de elevar dá um número diferente e errado.
Dê a resposta em unidades cúbicas
Um raio em centímetros dá um volume em centímetros cúbicos. Deixe π no lugar a menos que se peça um decimal.
As seis fórmulas, com um valor resolvido
Cada fórmula e o que ela dá num exemplo pequeno. Note o 1/3 nos dois sólidos que afinam.
| Sólido | Fórmula | Exemplo | Volume exato | Decimal |
|---|---|---|---|---|
| Cubo | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| Paralelepípedo | c · l · h | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| Cilindro | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| Esfera | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| Cone | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| Pirâmide quadrada | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| Esfera | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| Cilindro | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
Exemplos resolvidos
Uma esfera de raio 3
plain
r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π, cerca de 113.1. O 27 e o 4/3 se cancelam bem aqui, e por isso raio 3 é o exemplo de todo livro. A área da superfície é 4πr² = 36π também - uma coincidência exclusiva de r = 3.
Um cone de raio 3 e altura 4
plain
r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π, cerca de 37.7. Compare com o cilindro de mesma base e altura, que comporta 36π: o cone é exatamente um terço. A geratriz é √(3² + 4²) = 5, que o volume não precisa mas a superfície lateral sim.
Um cubo de lado 4
plain
s = 4V = s³ = 4³ = 64, e nenhum π em lugar algum. A área da superfície é 6s² = 96, porque um cubo tem seis faces quadradas iguais. As duas respostas são inteiras, o que faz deste o exemplo útil para conferir o método.
Quando a resposta guarda uma fração: esfera de raio 2
plain
r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3, cerca de 33.51. O 3 não divide 32, então a resposta exata guarda a fração - escrever 33.5 a perde, e em qualquer questão que continue com esse valor o erro viaja.
Erros comuns
- Esquecer o 1/3 de um cone ou pirâmide. A resposta sai exatamente três vezes maior, o erro mais fácil de detectar quando você sabe procurar.
- Misturar unidades. Converta primeiro: um raio em centímetros com uma altura em metros produz um número que não significa nada.
- Multiplicar antes de elevar. Em πr²h é o raio que é elevado, não o produto - π · (3 · 5)² é uma quantidade completamente diferente.
- Usar o diâmetro como raio. Isso dobra r, o que multiplica o volume de um cilindro por quatro e de uma esfera por oito.
- Confundir volume com área da superfície. Um é o espaço interno e sai em unidades cúbicas; a outra é a casca e sai em unidades quadradas.
- Usar a geratriz no volume de um cone. O volume precisa da altura perpendicular; a geratriz é para a área lateral.
Perguntas frequentes sobre volume
Qual a fórmula do volume de um cilindro?
V = πr²h - a área da base circular vezes a altura. Para raio 3 e altura 5 isso é π · 9 · 5 = 45π, cerca de 141.37. Eleve o raio ao quadrado antes de multiplicar pela altura.
Qual o volume de uma esfera?
V = 4/3 πr³. Uma esfera de raio 3 comporta 4/3 · π · 27 = 36π, cerca de 113.1. É a única fórmula daqui que não pode ser lida como área da base vezes altura, então tem de ser memorizada.
Por que há um 1/3 nas fórmulas do cone e da pirâmide?
Porque um cone ou pirâmide comporta exatamente um terço do prisma com a mesma base e a mesma altura. Despeje um cone cheio num cilindro do mesmo tamanho e ele enche um terço - o fator é um fato sobre afinar, não um truque.
Em que unidades sai um volume?
Na unidade das suas medidas, ao cubo. Centímetros dão centímetros cúbicos; metros dão metros cúbicos. Todas as medidas precisam ser convertidas para a mesma unidade ANTES do cálculo, ou a resposta não significa nada.
Como acho o volume de uma caixa retangular?
Multiplique as três dimensões: V = c · l · h. É área da base vezes altura como em qualquer prisma, já que a base de uma caixa mede c · l. Uma caixa 2 por 3 por 4 comporta 24 unidades cúbicas.
Qual a diferença entre volume e área da superfície?
Volume é o espaço interno e se mede em unidades cúbicas; área da superfície é a área total do lado de fora e se mede em unidades quadradas. Esta página informa as duas sempre que a área da superfície é exata - cubo, paralelepípedo, cilindro e esfera.
O que é a geratriz de um cone?
A distância do vértice descendo pela lateral inclinada até a borda: √(r² + h²), pelo teorema de Pitágoras no raio e na altura. É mais longa que a altura, é o que a fórmula da área lateral precisa, e não participa do volume.
Por que manter π simbólico?
Porque 45π é exato e 141.37 é um arredondamento. Questões de prova pedem com frequência a resposta em termos de π justamente porque pode ser conferida sem calculadora, e arredondar cedo num problema de vários passos perde precisão que os passos seguintes precisam.
