Frações equivalentes
Duas frações sem nenhum algarismo em comum podem ser a mesma quantidade. Parece truque até você ver isso uma vez como um comprimento; depois deixa de surpreender.
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Pergunte a alguém se 2/3 e 8/12 são o mesmo número e normalmente vem uma pausa. Nada se parece: nem o numerador, nem o denominador, nem o tamanho dos algarismos. E ainda assim são a mesma quantidade, exatamente, sem nada arredondado.
O motivo é mais fácil de ver do que de dizer, então aqui está como um comprimento.
A linha tracejada nunca se move. Cortar o mesmo comprimento em mais peças muda os dois números e não muda nada na quantidade sombreada.
O que não muda é o comprimento sombreado
A barra de cima está cortada em 3 peças com 2 sombreadas. A de baixo é a mesma barra, cortada em 6, com 4 sombreadas. Aumente o multiplicador e a barra de baixo fica cortada em 9, depois 12, depois 15 peças — e a linha tracejada nunca se move.
Essa linha é a ideia inteira. Uma fração é um comprimento, e os dois números são apenas uma descrição de como você o cortou. O denominador diz em quantas peças o todo foi cortado; o numerador, quantas você pegou. Corte cada peça ao meio e você terá o dobro de peças, cada uma com metade do tamanho, e pegou o dobro delas. Duas mudanças que se cancelam.
Então 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12, e a lista não termina: cada fração tem infinitas formas equivalentes.
Criar uma: multiplique cima e baixo pelo mesmo número
Para escrever uma fração de outro jeito, multiplique as duas partes pelo mesmo número:
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
O número é sua escolha, e em problemas reais ele é escolhido por um motivo: normalmente porque você precisa de um denominador específico. Se uma questão precisa de terços escritos sobre 12, o multiplicador é 4, porque 3*4 = 12.
A única regra que importa: as duas partes, ou nenhuma. Multiplicar só o numerador dá 8/3, quatro vezes maior. Mova o controle de cima na figura e veja a linha tracejada saltar — é isso que mudar um número sozinho faz.
Dividir funciona igual, ao contrário. 8/12 dividido em cima e embaixo por 4 é 2/3, e de novo nada se moveu.
Ao contrário: simplificar
Descer pela lista em vez de subir se chama simplificar, e é a forma esperada em quase toda resposta. Divida numerador e denominador pelo máximo divisor comum:
| fração | divisor comum | irredutível |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
Uma fração está irredutível quando o único número inteiro que divide as duas partes é 1. Note que três frações de aparência diferente naquela tabela se reduzem a 2/3 — que é exatamente o ponto: elas eram a mesma quantidade desde o início, escritas com cortes diferentes.
Se o divisor comum não for óbvio, você pode tirá-lo em etapas. 24/36 é par, então divida por 2 e obtenha 12/18; de novo, 6/9; e depois por 3, 2/3. Chegar em três passos fáceis não é pior do que chegar em um passo esperto.
Para que elas servem
Frações equivalentes não são um assunto separado. Elas existem porque somar frações é impossível sem elas.
1/2 + 1/3 não pode ser contado, porque uma metade e um terço são peças de tamanhos diferentes. Reescreva as duas sobre 6 — 1/2 = 3/6 e 1/3 = 2/6 — e agora são peças de um só tamanho, então elas simplesmente somam: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Todo passo de denominador comum que você fizer na vida são duas frações equivalentes sendo escritas. É por isso que esta ideia vem primeiro.
Tente uma
Se você chegou a 9/12, dividiu uma vez e parou: 9 e 12 ainda têm o fator 3 em comum. Continue até o único número que divide os dois ser 1.
Perguntas frequentes
- O que são frações equivalentes?
- Duas frações são equivalentes quando descrevem a mesma quantidade, mesmo que os números pareçam diferentes. 2/3 e 8/12 são equivalentes: corte uma barra em 3 peças e sombreie 2, ou corte a mesma barra em 12 peças e sombreie 8, e a parte sombreada chega exatamente ao mesmo ponto.
- Como encontro uma fração equivalente?
- Multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo número. 2/3 se torna 4/6 (vezes 2), 6/9 (vezes 3), 8/12 (vezes 4), e assim por diante. Multiplicar as duas partes pelo mesmo número é o mesmo que cortar cada peça nessa quantidade de peças menores: muda a contagem de peças, não o quanto você tem.
- Por que não posso multiplicar só o numerador?
- Porque o numerador conta peças e o denominador diz o tamanho de cada peça. Mudar só o numerador significa pegar mais peças do mesmo tamanho, e isso realmente é mais. É preciso mudar o tamanho da peça ao mesmo tempo, e multiplicar o denominador pelo mesmo número é o que faz isso.
- Como simplifico uma fração?
- Divida o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum. Para 8/12 esse divisor é 4, então 8/12 se torna 2/3. Uma fração está irredutível quando o único número que divide as duas partes é 1, e essa é a forma esperada em quase toda resposta.
- Para que servem as frações equivalentes?
- Para somar e subtrair. Peças de tamanhos diferentes não podem ser contadas juntas, então 1/2 + 1/3 não avança até que ambas sejam reescritas com o mesmo denominador: 3/6 + 2/6 = 5/6. Cada uma dessas reescritas é uma fração equivalente, e é por isso que toda a aritmética de frações se apoia nesta ideia.
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