O clássico: catetos 3 e 4
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a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25, e √25 = 5 exatamente. É o triângulo 3-4-5, o menor com três lados inteiros, e vale reconhecer de imediato - assim como seus múltiplos 6-8-10 e 9-12-15.
Calculadora do teorema de Pitágoras
Dois lados num triângulo desenhado dão o terceiro, exato e com radicais.
Última atualização
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Os quadrados dos cateto somam o quadrado da hipotenusa
Num triângulo retângulo, e só nele, a² + b² = c², onde c é a hipotenusa - o lado oposto ao ângulo reto e sempre o mais longo dos três. O enunciado fala de ÁREAS: construa um quadrado sobre cada um dos dois lados menores e a área somada é exatamente a área do quadrado construído sobre o maior. É por isso que tudo é elevado ao quadrado e por isso a resposta precisa de uma raiz no fim.
Para que lado a aritmética corre depende de qual lado falta, e é aí que moram quase todos os erros. Procurando a hipotenusa, você SOMA os dois quadrados. Procurando um cateto, você SUBTRAI: a² = c² − b², porque o quadrado da hipotenusa é o total e o do cateto conhecido é uma parte dele. Somar quando deveria subtrair dá uma resposta maior que a hipotenusa, o que é impossível - uma conferência útil.
As respostas aqui são exatas. A hipotenusa de um triângulo com catetos 2 e 3 é √13, e √13 é o que esta página informa - com 3.6056 ao lado, rotulado como o arredondamento que é. √20 é simplificado para 2√5 em vez de ficar como está, e um triângulo cujos três lados saem inteiros é sinalizado como o terno pitagórico que é.
O que observar
- O teorema só vale em triângulos retângulos. Em qualquer outro, a² + b² e c² são simplesmente números diferentes - ali a lei dos cossenos é a versão geral.
- c é sempre o lado mais longo. Se a sua hipotenusa sai menor que um cateto, em algum ponto uma soma virou subtração.
- Achar um cateto é uma subtração. a² = c² − b² sai direto do teorema, e é o caso errado muito mais vezes que a hipotenusa.
- Quase todas as respostas são irracionais. Triângulos com três lados inteiros - 3-4-5, 5-12-13 - são a exceção, e por isso a forma radical importa.
- A área de um triângulo retângulo é ab/2: os dois catetos multiplicados e divididos por dois. A hipotenusa não entra, porque os catetos já se encontram em ângulo reto.
- Qualquer múltiplo de um terno é outro terno. 3-4-5 vezes 3 dá 9-12-15, e é por isso que os mesmos triângulos reaparecem sem parar nos exercícios.
Como achar o lado que falta
Identifique a hipotenusa
É o lado oposto ao ângulo reto e o mais longo dos três. Errar aqui estraga todos os passos seguintes, então rotule antes de calcular qualquer coisa.
Decida se soma ou subtrai
Falta a hipotenusa: some os quadrados dos catetos. Falta um cateto: subtraia o quadrado do cateto conhecido do quadrado da hipotenusa.
Eleve ao quadrado os lados que conhece
Primeiro ao quadrado, depois some ou subtraia. Elevar depois de somar - (a + b)² - é um número diferente e muito maior.
Tire a raiz quadrada
Isso desfaz o quadrado e dá o lado em si. Se não sair inteiro, simplifique o radical em vez de partir para o decimal: √20 é 2√5.
Confira o tamanho
A hipotenusa deve ser mais longa que qualquer cateto e mais curta que a soma deles. Se a sua resposta quebra uma das duas regras, a soma e a subtração foram trocadas.
Triângulos retângulos num relance
Os ternos que vale memorizar e o que acontece quando a resposta não é inteira. A coluna exata é a resposta; o decimal é um arredondamento dela.
| a | b | c | Exato | Decimal |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
Exemplos resolvidos
Hipotenusa irracional: catetos 2 e 3
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a = 2, b = 34 + 9 = 13, então a hipotenusa é √13. Essa é a resposta - 3.6056 é um arredondamento dela, e elevar 3.6056 ao quadrado dá 12.9999… em vez de 13. Quase todos os triângulos retângulos são assim; os de lados inteiros são a exceção.
Simplificando o radical: catetos 2 e 4
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a = 2, b = 44 + 16 = 20, e √20 não fica como está: 20 = 4 · 5, e o 4 sai da raiz como 2, dando 2√5. O mesmo número, e a forma que qualquer correção espera.
Achando um cateto: hipotenusa 5, outro cateto 4
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b = 4, c = 5Reorganize primeiro: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, então a = 3. Somar teria dado √41 ≈ 6.4, mais longo que a hipotenusa - impossível, e a conferência que pega esse erro na hora.
Lados fracionários: catetos 3/2 e 2
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a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4, e a raiz quadrada de 25/4 é 5/2 exatamente. As frações permanecem frações todo o caminho, e por isso a resposta é 5/2 e não 2.5 - embora aqui sejam o mesmo número.
Erros comuns
- Somar quando o lado que falta é um cateto. O quadrado da hipotenusa é o TOTAL, então achar um cateto é subtrair dele.
- Elevar a soma ao quadrado em vez de somar os quadrados. a² + b² não é (a + b)²; o segundo é maior em 2ab, que nunca é zero num triângulo real.
- Rotular o lado errado como hipotenusa. É o oposto ao ângulo reto, não simplesmente o desenhado por último ou o da direita.
- Esquecer a raiz quadrada. 3² + 4² = 25 é o quadrado da resposta, não a resposta - a hipotenusa é 5, não 25.
- Usar o teorema num triângulo sem ângulo reto. Só é verdadeiro para retângulos; qualquer outro pede a lei dos cossenos.
- Arredondar o radical cedo demais. √13 ao quadrado é exatamente 13, mas 3.61 ao quadrado é 13.0321 - e num problema de vários passos esse erro cresce.
Perguntas frequentes sobre o teorema de Pitágoras
O que diz o teorema de Pitágoras?
Num triângulo retângulo, a² + b² = c², onde a e b são os dois lados menores (os catetos) e c é a hipotenusa, oposta ao ângulo reto. Lido como áreas: os quadrados construídos sobre os catetos têm exatamente a área somada do quadrado construído sobre a hipotenusa.
Como acho a hipotenusa?
Eleve os dois catetos ao quadrado, some e tire a raiz: c = √(a² + b²). Com catetos 3 e 4 isso é √25 = 5. Se a raiz não sair inteira, mantenha como radical simplificado - √20 vira 2√5.
E como acho um cateto?
Subtraindo, não somando: a² = c² − b², então a = √(c² − b²). Com hipotenusa 5 e um cateto 4 isso é √(25 − 16) = 3. É o caso que mais dá errado, e a conferência é que um cateto sempre tem de ser menor que a hipotenusa.
O que é um terno pitagórico?
Três números inteiros que satisfazem o teorema: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Qualquer múltiplo de um terno também é um terno, então 6-8-10 e 9-12-15 vêm de graça com 3-4-5. Quase nenhum triângulo retângulo é um terno, e por isso respostas irracionais são a norma.
O teorema funciona em qualquer triângulo?
Não - só em retângulos. Para qualquer outro, o enunciado geral é a lei dos cossenos, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), que se reduz ao de Pitágoras exatamente quando C é 90° e seu cosseno é zero.
Por que esta página mantém raízes em vez de decimais?
Porque o radical é a resposta exata e o decimal é um arredondamento dela. √13 ao quadrado é 13 na mosca; 3.61 ao quadrado é 13.0321. Num problema de vários passos essa diferença se acumula, e a maioria das correções quer a forma exata.
Como confiro se um triângulo é retângulo?
Teste o teorema nos três lados: se a² + b² é exatamente igual a c², com c o lado mais longo, o triângulo tem um ângulo reto. Se o lado esquerdo é maior, o ângulo é agudo; se menor, obtuso - é a recíproca do teorema e uma conferência realmente útil.
Aceita frações e decimais?
Sim, e os dois permanecem exatos. Catetos de 3/2 e 2 dão uma hipotenusa de exatamente 5/2, e um decimal é lido como a fração exata que nomeia, não como uma aproximação de ponto flutuante.
