Quadrados perfeitos
Um quadrado perfeito não é um número com uma propriedade estranha que você precisa consultar. É uma quantidade que pode ser arrumada formando um quadrado de verdade - e tudo o mais vem daí.
Última atualização
"Quadrado perfeito" soa como um rótulo que alguém colou numa lista de números que agora você precisa decorar. Não é. O nome descreve uma forma, e assim que você enxerga a forma, a lista deixa de precisar de memorização.
Mova o controle. Repare no que é acrescentado a cada passo.
Mova o controle um passo. O L sombreado é o que foi acrescentado - conte-o e você tem a diferença entre dois quadrados consecutivos.
O nome é literal
6^2 = 36 não significa "o 6 passou pela operação de elevar ao quadrado". Significa: pegue 36 quadradinhos e você consegue arrumá-los como um quadrado de 6 de lado. Pegue 35 e não consegue - sempre vai sobrar buraco ou ponta. Essa é a definição inteira, e é por isso que a palavra é "quadrado" e não algo abstrato.
Leia a mesma imagem ao contrário e você tem as raízes quadradas. sqrt(36) = 6 é a pergunta "se 36 quadradinhos formam um quadrado, quanto mede o lado?". Um número tem raiz quadrada inteira exatamente quando é quadrado perfeito, e por isso as duas ideias andam sempre juntas.
A lista que vale saber
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Vinte entradas cobrem praticamente qualquer exercício escolar, porque os problemas são construídos de trás para frente, a partir de respostas que dá para conferir.
Os saltos são os números ímpares
É para isso que serve o controle. Empurre-o de 5 para 6 e conte o L sombreado que aparece: cinco quadradinhos no lado novo, cinco em cima e um no canto. Onze.
Em geral, ir de n^2 para (n+1)^2 acrescenta 2n+1 quadradinhos - sempre ímpar. Então as diferenças entre quadrados consecutivos vão 3, 5, 7, 9, 11, 13…, e somar os ímpares em ordem dá os quadrados em ordem:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Isso também é um jeito rápido de estender a tabela de cabeça. Se você sabe que 14^2 = 196 e quer 15^2, some 2*14 + 1 = 29: 225.
Reconhecer um sem calculadora
Dois filtros levam você quase até o fim.
Olhe o último algarismo. Eleve qualquer número ao quadrado e ele termina em 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, nunca em 2, 3, 7 ou 8. Então 4.398 não é quadrado perfeito e você não precisou trabalhar nada. Não é coincidência: o último algarismo de um produto depende só dos últimos algarismos dos fatores, e elevar 0 a 9 ao quadrado só produz aquelas seis terminações.
Depois delimite. 200 fica entre 14^2 = 196 e 15^2 = 225, então não sobra inteiro nenhum de que ele possa ser o quadrado. Qualquer número estritamente entre dois quadrados consecutivos não é um deles.
Por que eles aparecem tanto
Quadrados perfeitos são a razão de algumas quadráticas fatorarem direitinho e outras não. x^2 - 49 se separa como diferença de quadrados porque 49 é um; x^2 - 50 não. Eles também são o que faz uma raiz simplificar: sqrt(75) vira 5sqrt(3) justamente porque 25 é um quadrado perfeito escondido dentro de 75.
Tente um
E um que vai no sentido oposto - uma equação em vez de uma consulta. Repare que ela tem duas respostas, que é justamente o que mais se erra com raízes:
Tanto 7 quanto -7 elevados ao quadrado dão 49, então os dois são soluções. O símbolo sqrt(49) designa só o positivo - isso é uma convenção sobre o símbolo, não um fato sobre a equação.
Perguntas frequentes
- O que é um quadrado perfeito?
- Um número inteiro obtido multiplicando algum inteiro por ele mesmo. 9 é quadrado perfeito porque 3 vezes 3 é 9; 10 não é, porque nenhum inteiro multiplicado por si mesmo dá 10. O nome é literal: exatamente essa quantidade de quadradinhos pode ser arrumada formando um quadrado.
- Quais são os quadrados perfeitos de 1 a 100?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100 - os quadrados de 1 a 10. Passando de 100 vêm 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 e 400, o que leva até 20 ao quadrado e cobre quase tudo o que a escola pede.
- Como sei se um número é quadrado perfeito?
- Dois filtros rápidos e uma checagem. Um quadrado perfeito nunca termina em 2, 3, 7 ou 8, então esses caem na hora. Se sobreviver, ache o quadrado mais próximo que você conhece: 200 fica entre 196 e 225, logo não é. Só quando passa nos dois é preciso tirar a raiz.
- Por que os saltos entre quadrados perfeitos são os ímpares?
- Porque passar de um quadrado de lado n para um de lado n+1 significa acrescentar uma faixa de um lado, outra em cima e um quadradinho no canto: n + n + 1, que é sempre ímpar. Por isso as diferenças vão 3, 5, 7, 9…, e somar os ímpares em ordem dá os quadrados em ordem.
- O zero é um quadrado perfeito?
- É. 0 vezes 0 é 0, então ele se encaixa exatamente na definição. Algumas listas escolares começam em 1 porque um quadrado sem lado é difícil de imaginar, mas nada na definição o exclui, e tratar o 0 como quadrado deixa a álgebra seguinte mais arrumada.
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