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Resolve qualquer equação do segundo grau com todos os passos escritos, de forma exata.
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O curso de matemática da Coddy ensina o método em si: você trabalha cada passo em um quadro interativo e descobre exatamente onde a jogada deu errado.
Uma equação do segundo grau é qualquer uma que você possa escrever como ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. A fórmula quadrática, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, resolve absolutamente todas elas, o que é notável e merece apreço. Fatorar só funciona quando os números são gentis; completar quadrados funciona sempre mas exige prática; a fórmula funciona sempre e exige apenas cuidado.
A parte que faz o trabalho de verdade está sob a raiz. b² - 4ac é chamado de discriminante, e o seu sinal decide a forma da resposta antes de qualquer outro cálculo: positivo significa duas raízes, zero significa uma raiz dupla, negativo significa que não há solução real. Olhar o discriminante primeiro diz que tipo de resposta esperar, e é a forma mais rápida de detectar depois um erro de aritmética.
A fórmula não é um único movimento, e esse é o mal-entendido mais comum sobre ela. É um procedimento curto: substituir, avaliar o discriminante, extrair a raiz, separar o ± e reduzir cada ramo. Esta calculadora percorre os cinco para você ver qual teria errado.
Escreva a, b e c nas caixas. Servem inteiros, decimais e frações como 1/2. Um termo ausente significa coeficiente zero: em x² - 4 = 0, b é 0.
Escreva algo como 2x^2 - 5x + 2 = 0 no campo de equação e clique em Ler. Os termos dos dois lados são agrupados à esquerda automaticamente, então 3x^2 = 2x + 1 também funciona.
O quarto passo dá b² - 4ac. Observe o sinal e preveja a forma da resposta (duas raízes, uma ou nenhuma) antes de continuar.
Se sua resposta não bateu, a pergunta útil não é qual número está certo, mas em que passo os caminhos se separaram. Ache essa linha e o erro se explica sozinho.
A fórmula não é um axioma. É o que se obtém ao completar o quadrado uma única vez na equação geral, para que ninguém precise refazer isso com os próprios números. Percorrê-la uma vez é a diferença entre decorar a fórmula e entendê-la.
a x^2 + b x + c = 0
a não pode ser zero: sem o termo em x² não há nada de quadrático para resolver, e o 2a do denominador também seria zero.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
Completar o quadrado exige um x² sozinho, então o a precisa sair da frente. É também o passo que coloca o a no denominador, onde ele fica até o fim.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
A metade de b/a é b/2a, e seu quadrado é b²/4a². Toda a dedução gira em torno desse movimento: é exatamente o que faltava ao lado esquerdo para ser um quadrado perfeito.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Ali está o discriminante, b² - 4ac, aparecendo sozinho antes de alguém lhe dar nome.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
Os dois sinais, porque ambos elevados ao quadrado dão o mesmo. O 2a sai de √(4a²) como |2a|, e o ± da frente absorve o sinal de qualquer forma.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
Nenhuma dessas sete linhas usou um a, b ou c específico, e é por isso que o resultado vale para toda equação do segundo grau. É também por isso que o discriminante decide o formato da resposta: é o número sob a raiz, e se ele for negativo o passo seis não tem para onde ir.
O valor de b² - 4ac decide tudo sobre a forma da resposta antes de extrair uma única raiz.
| Discriminante | Raízes reais | O gráfico | Exemplo |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | Duas raízes reais distintas | Cruza o eixo x duas vezes | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | Uma raiz dupla | Toca o eixo x uma vez | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | Sem solução real | Nunca alcança o eixo x | x² + 2x + 5 = 0 |
| Um quadrado perfeito | Duas raízes racionais | Cruza em duas frações ou inteiros | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| Positivo, não quadrado | Duas raízes irracionais | Cruza em dois radicais | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6O discriminante é (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. A raiz quadrada dele é exatamente 1, então as raízes são (5 + 1)/2 = 3 e (5 - 1)/2 = 2. Como o discriminante é um quadrado perfeito, as duas raízes são racionais e a equação também fatora como (x - 3)(x - 2) = 0. Este é o caso em que fatorar teria sido mais rápido.
a = 2, b = -5, c = 2O discriminante é 25 - 16 = 9, então √9 = 3 e as raízes são (5 + 3)/4 = 2 e (5 - 3)/4 = 1/2. Note que a segunda raiz fica como 1/2 e nunca aparece como 0,5: uma fração é o valor exato, e o decimal é uma aproximação dela que por acaso é curta.
a = 1, b = -4, c = 1O discriminante é 16 - 4 = 12, que não é um quadrado perfeito. √12 simplifica para 2√3, então as raízes são (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. É aqui que a maioria das calculadoras começa a imprimir 3,7320508 e deixa de ser útil: 2 + √3 é a resposta, e qualquer decimal é um arredondamento dela.
a = 1, b = 2, c = 5O discriminante é 4 - 20 = -16. Nenhum número real elevado ao quadrado dá negativo, então a equação não tem solução real e o desenvolvimento para aí. A parábola fica inteira acima do eixo x. Se o seu curso já chegou aos números complexos, as raízes são -1 ± 2i, mas se isso conta como resposta depende do sistema numérico em que você aprendeu a trabalhar.
