Calculadora de sistemas de equações

Um sistema são duas retas, e resolvê-lo é achar onde elas se encontram

Duas equações em x e y são duas retas no mesmo plano. Um par (x, y) que satisfaz as duas equações é um ponto que está nas duas retas - ou seja, o cruzamento. É essa a ideia inteira, e ela explica todos os casos de uma vez: retas que se cruzam uma vez dão uma solução, retas paralelas não dão nenhuma, e uma reta desenhada duas vezes dá infinitas.

Eliminação e substituição são apenas formas de achar esse cruzamento sem desenhá-lo. Esta página faz as duas metades: o desenho, para você ver o que a resposta significa, e a eliminação escrita linha por linha, para ver como ela foi encontrada. A maioria das calculadoras dá uma coisa ou a outra.

Os dois casos especiais recebem nome em vez de serem tratados como falha. «Sem solução» e «infinitas soluções» são respostas reais com significado real, e um resolvedor que dá de ombros diante delas ensina você a temer a pergunta. Aqui o formato é calculado a partir dos coeficientes, então a página pode dizer em qual caso você está mesmo quando não há um par para imprimir.

O que observar nos passos

• A eliminação consiste em igualar os coeficientes de uma incógnita e depois somar ou subtrair as equações para removê-la. O método inteiro é essa ideia repetida.
• Somar ou subtrair depende dos sinais: coeficientes iguais com o mesmo sinal se subtraem; sinais diferentes se cancelam na soma. Trocar isso é o erro mais comum.
• Com uma incógnita em mãos, substitua em qualquer das equações originais para achar a outra. Em qualquer uma - se as duas derem resultados diferentes, algo antes estava errado.
• Retas paralelas significam mesma inclinação e interceptos diferentes. Na álgebra isso aparece como uma linha impossível tipo 0 = -2, que não é erro e sim a resposta.
• Três incógnitas funcionam igual: elimine uma para chegar a um sistema 2x2 e termine. Aí o desenho deixa de ajudar, porque três incógnitas são planos e não retas.

Como usar a calculadora

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   Digite uma equação por linha

   Como no papel: 2x + y = 5 na primeira linha e x - y = 1 na segunda. Coeficientes fracionários ou decimais são aceitos.

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   Leia a resposta e o formato

   O par está no alto. Abaixo, uma frase diz o que o sistema é geometricamente: um cruzamento, paralelas, ou a mesma reta duas vezes.

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   Olhe o desenho

   As retas são desenhadas com o cruzamento marcado. Se a resposta surpreender, o desenho geralmente explica antes da álgebra.

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   Acompanhe a eliminação

   Os passos numerados mostram qual incógnita foi removida, como, e o que sobrou. É esse o método que se pede para reproduzir.

Os três casos

Todo sistema 2x2 é um destes, e dá para saber qual olhando as retas antes de fazer álgebra.

Exemplos resolvidos

2x + y = 5; x - y = 1

x + y = 3; x + y = 5

x + y = 3; 2x + 2y = 6

x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2

Erros comuns

• Somar quando era para subtrair. Coeficientes iguais com o mesmo sinal precisam ser subtraídos; só sinais opostos se cancelam na soma.
• Multiplicar só parte de uma equação. Se você escala uma equação para igualar um coeficiente, todos os termos, inclusive o lado direito, têm de ser escalados.
• Substituir na equação que você acabou de alterar. Use uma das originais, ou você pode perder a segunda condição.
• Achar uma incógnita e parar. Um sistema 2x2 tem duas respostas, e dar só o x é meia solução.
• Ler 0 = -2 como erro de conta em vez de «sem solução». Do mesmo modo, 0 = 0 significa infinitas, não que algo deu errado.
• Conferir em uma equação só. Ponha o par nas DUAS equações originais; satisfazer uma não prova nada.

Perguntas frequentes