Uma nota de 85, média 70, desvio padrão 6
plain
x = 85, μ = 70, σ = 685 menos 70 é 15, e 15 sobre 6 é 5/2, então z = 2,5. A área à esquerda de 2,5 é 0,9938, então a nota fica em cerca do 99,4º percentil: menos de um aluno em cem tirou nota maior.
Calculadora de escore z
Quantos desvios padrão um valor está da média, exato, com o percentil em que ele cai.
Última atualização
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Um escore z é uma distância medida em desvios padrão
Pegue qualquer valor de uma distribuição, subtraia a média e divida pelo desvio padrão. O resultado é quantos desvios padrão o valor está do centro, e em que direção. Um z de 2 significa dois desvios padrão acima da média; um z de menos 0,5 significa meio desvio padrão abaixo. Essa é a fórmula inteira, e vale a pena fazer à mão uma vez porque toda ideia posterior em estatística, de intervalos de confiança a testes de hipótese, é um escore z disfarçado.
O motivo de escores z importarem é que eles colocam toda distribuição normal numa régua só. Uma nota de 85 numa prova com média 70 e desvio padrão 6 é z = 2,5; uma altura de 190 cm numa população com média 175 e desvio padrão 6 também é z = 2,5. Os dois ficam no mesmo percentil, cerca do 99,4º, e uma tabela só serve para ambos. Esta página lê essa tabela para você, desenhando a curva com a área abaixo do seu valor sombreada, e reporta também a parcela acima e a parcela a essa distância da média.
A aritmética aqui fica exata. Um z de 15 sobre 6 é 5/2, e a página imprime 5/2 com 2,5 ao lado, em vez de um decimal que teria de ser arredondado quando os números são menos convenientes. O percentil, sendo uma área sob uma curva, é necessariamente um decimal, e é rotulado como tal.
O que saber sobre escores z
- O sinal diz o lado. Negativo é abaixo da média, positivo é acima; um z de 0 é a própria média.
- Quase tudo fica dentro de três. Cerca de 68% de uma população normal está a menos de um desvio padrão, 95% a menos de dois, 99,7% a menos de três. Um z de 4 é raro de verdade.
- Percentil é a área à esquerda. Um z de 1,28 fica em cerca do 90º percentil, 1,645 no 95º, 2,33 no 99º.
- A mesma fórmula roda ao contrário. O valor em um dado z é a média mais z vezes o desvio padrão, e é assim que se definem pontos de corte: os 5% do topo de uma prova começam em média mais 1,645 sigma.
- Um escore z assume que a distribuição é mais ou menos normal. O escore em si sempre pode ser calculado; o percentil só significa algo quando o formato de sino se sustenta.
Como encontrar um escore z à mão
Subtraia a média do seu valor
Mantenha o sinal. Um valor abaixo da média dá uma diferença negativa, e esse sinal segue até a resposta.
Divida pelo desvio padrão
Use o desvio padrão populacional se tiver, o amostral se for tudo o que há. Mantenha o resultado exato se a divisão não for limpa.
Leia o percentil na curva normal
A área à esquerda de z é a parcela da população abaixo do seu valor. As tabelas listam essa área; esta página calcula diretamente.
Para o inverso, multiplique e some
Valor é igual à média mais z vezes o desvio padrão. É assim que um ponto de corte em percentil vira de volta uma nota.
Escores z comuns e seus percentis
Área à esquerda de z na curva normal padrão.
| z | Percentil | Parcela acima | Onde é usado |
|---|---|---|---|
| −2 | 2,3% | 97,7% | Dois desvios padrão abaixo |
| −1 | 15,9% | 84,1% | Um abaixo |
| 0 | 50% | 50% | A média |
| 1 | 84,1% | 15,9% | Um acima |
| 1,28 | 90% | 10% | Corte dos 10% do topo |
| 1,645 | 95% | 5% | Teste unilateral de 5% |
| 1,96 | 97,5% | 2,5% | Teste bilateral de 5% |
| 2,33 | 99% | 1% | Corte do 1% do topo |
Exemplos resolvidos
Uma leitura de 48, média 50, desvio padrão 2,5
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x = 48, μ = 50, σ = 2.548 menos 50 é menos 2, e menos 2 sobre 2,5 é menos 4/5, então z = −0,8. Cerca de 21% das leituras são menores. Um z negativo não é um z ruim; só está abaixo do meio.
Qual nota é o corte dos 5% do topo, média 1000, desvio padrão 150?
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z = 1.645, μ = 1000, σ = 150A pergunta inversa. Os 5% do topo começam em z = 1,645, e 1000 mais 1,645 vezes 150 dá cerca de 1247. Mude a página para "encontrar o valor em um escore z" para ver a substituição.
Erros com escore z
- Dividir pela variância em vez do desvio padrão. A variância é o quadrado; a resposta ficaria errada por um fator de sigma.
- Perder o sinal. Um z de −1,5 e um z de 1,5 estão no 7º e no 93º percentil, não no mesmo lugar.
- Ler o lado errado da tabela. Algumas tabelas dão a área à esquerda, outras a área entre a média e z, outras a cauda direita. Saiba qual está nas suas mãos.
- Arredondar z antes de consultar. Um z de 1,96 arredondado para 2,0 move o percentil de 97,5 para 97,7; num ponto de corte, isso é gente de verdade.
- Usar um escore z numa distribuição que não chega nem perto da normal. O número ainda sai; o percentil é ficção.
Perguntas frequentes sobre escore z
Qual é a fórmula do escore z?
z é igual a x menos a média, tudo dividido pelo desvio padrão. Em símbolos, z = (x − μ) / σ. O resultado é o número de desvios padrão que o valor x está da média, positivo acima e negativo abaixo.
Como converto um escore z em percentil?
O percentil é a área sob a curva normal padrão à esquerda de z. Um z de 0 é o 50º percentil, um z de 1 é cerca do 84º, um z de 2 cerca do 97,7º. Digite o valor acima e a página sombreia essa área na curva e a imprime.
O que é um bom escore z?
Depende inteiramente do que está sendo medido. Numa prova, um z positivo alto é bom. Numa medida de pressão arterial ou num tempo de entrega, um z perto de zero é bom e um grande em qualquer direção é um alerta. O escore z diz quão incomum um valor é, não se incomum é bem-vindo.
Um escore z pode ser negativo?
Sim. Um escore z negativo significa que o valor está abaixo da média. Um z de −1 é um desvio padrão abaixo, e cerca de 16% de uma população normal fica mais baixo que isso.
Como encontro o valor bruto a partir de um escore z?
Reorganize a fórmula: x = μ + zσ. Multiplique o escore z pelo desvio padrão e some a média. Mude a página para o modo inverso e ela mostra a substituição passo a passo.
Qual é a diferença entre um escore z e um escore t?
Um escore z usa um desvio padrão populacional conhecido e a curva normal. Uma estatística t usa um desvio padrão amostral e a curva t, cujas caudas mais gordas acomodam a incerteza extra de estimar sigma com os mesmos dados. Com amostras grandes eles concordam; com pequenas, o t é a escolha honesta.
Por que esta página mantém o escore z como fração?
Porque é exato, e um z arredondado é um percentil arredondado. Um z de 5/2 é 2,5 de qualquer jeito, mas um z de 7/3 não é 2,33, e a página prefere imprimir 7/3 com 2,3333 ao lado a fingir que o decimal é a resposta.
