Regras dos expoentes
Cinco regras que todo mundo copia num cartão e metade aplica errado. Escritas como multiplicações repetidas, nenhuma delas precisa ser decorada.
Última atualização
Todo mundo copia as regras dos expoentes num cartão e, um bimestre depois, metade delas está sendo aplicada à coisa errada. Isso não é falha de memória. Uma regra que você só decorou não lhe dá jeito de saber se ela se aplica, então acaba sendo usada em tudo que se pareça um pouco.
O conserto é parar de tratá-las como regras. Escolha uma abaixo e leia a linha do meio.
A linha do meio é a demonstração. Cada uma dessas regras fica óbvia assim que as potências são escritas como multiplicações repetidas - ou seja, você nunca precisa confiar na memória.
Toda regra é um argumento de contagem
a^3 é uma abreviação. O que ela realmente diz é a · a · a - três cópias de a, multiplicadas. Assim que os dois lados de uma regra são escritos desse jeito, a regra deixa de ser uma afirmação e vira uma contagem.
Multiplicando: duas cópias ao lado de três cópias são cinco cópias.
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
Você não somou os expoentes porque uma regra mandou. Somou porque estava contando quantos a acabaram na linha.
Dividindo: cinco cópias sobre duas cópias, e duas se cancelam.
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
Potência de potência: três cópias de "duas cópias" são seis cópias.
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
Três regras, um argumento só. As pessoas trocam "somar" por "multiplicar" porque decoraram os verbos em vez da contagem.
Zero e negativos são forçados, não escolhidos
Esses dois parecem convenções que alguém escolheu, e não são.
Pegue a3/a3. Qualquer coisa sobre ela mesma é 1. Mas a regra do quociente diz que isso é a^(3-3) = a^0. As duas descrevem a mesma divisão, então a^0 = 1 é o único valor que mantém as regras coerentes.
Continue descendo. Cada degrau para baixo divide por a mais uma vez:
| potência | valor com a = 2 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
Nada muda de direção no zero - a metade simplesmente continua. É só isso que um expoente negativo é: a^-n = 1/a^n. E, em particular, não é um número negativo. 2^-3 é 1/8, que é positivo.
Os três erros que vale nomear
Bases diferentes não se combinam. 2^3 · 3^4 fica como está. As regras tratam de contar cópias da mesma coisa, e aqui se contam duas coisas diferentes.
Somar termos não é multiplicá-los. x^2 + x^3 não é x^5. Escreva por extenso: duas cópias mais três cópias não são cinco cópias, são a soma de duas quantidades diferentes. Nada cancela, nada combina.
Potências se distribuem sobre produtos, não sobre somas. (ab)^2 = a2b2 é verdade - duas cópias de ab são dois a e dois b. Mas (a+b)^2 não é a^2 + b^2; ele se desenvolve como a^2 + 2ab + b^2, e o termo do meio é exatamente o que a propriedade distributiva prevê.
Tente um
Se você pegou a calculadora, tente de novo cancelando: quatro cópias de 3 sobre duas cópias de 3 deixam duas cópias, e duas cópias de 3 dão 9. É essa versão que continua funcionando quando a base é x em vez de 3.
Para onde isso vai
As regras dos expoentes são o que faz a aritmética em notação científica funcionar, o que transforma uma raiz em potência fracionária e o que permite a um logaritmo virar multiplicação em soma. As três coisas são as mesmas cinco regras lidas noutra direção - o que é um bom motivo para tê-las por argumento e não de cor.
Perguntas frequentes
- Quais são as regras dos expoentes?
- Cinco dão conta de quase tudo: ao multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes, ao dividir subtraem-se, ao elevar uma potência a outra multiplicam-se, qualquer coisa elevada a 0 é 1, e um expoente negativo significa um sobre a potência positiva. Todas as cinco saem de escrever as potências como multiplicações repetidas.
- Por que qualquer número elevado a zero é 1?
- Por causa da regra do quociente. Qualquer número dividido por ele mesmo é 1, e a regra do quociente diz que essa mesma divisão é a base elevada ao expoente menos ele mesmo, ou seja 0. As duas frases descrevem a mesma divisão, então a elevado a 0 tem de ser 1. É forçado, não decretado - a única exceção é 0 elevado a 0, que fica indefinido.
- O que significa um expoente negativo?
- Significa um inverso, não um número negativo. 2 elevado a -3 é 1/8, que é positivo. Conforme o expoente cai você vai dividindo pela base: 8, 4, 2, 1, e seguindo adiante vem 1/2, 1/4, 1/8. Um expoente negativo diz quantas vezes dividir em vez de multiplicar.
- Quando posso somar expoentes e quando não posso?
- Só quando as bases são idênticas e você está multiplicando. 2 ao cubo vezes 2 à quarta é 2 à sétima, mas 2 ao cubo vezes 3 à quarta não se combina de jeito nenhum: contam coisas diferentes. Somar expoentes ao somar termos é o erro mais comum aqui - x ao quadrado mais x ao cubo não é x à quinta.
- (a + b) ao quadrado é a ao quadrado mais b ao quadrado?
- Não, e vale nomear esse erro. Elevar ao quadrado se distribui sobre produtos, não sobre somas. (ab) ao quadrado realmente é a ao quadrado vezes b ao quadrado, mas (a + b) ao quadrado se desenvolve como a ao quadrado mais 2ab mais b ao quadrado. O termo do meio que falta é justamente o que a caixa do FOIL torna visível.
Agora faça você mesmo, de verdade
Ler a resolução de outra pessoa não é o mesmo que saber fazer. O curso de matemática da Coddy coloca você em um quadro que confere cada movimento, então você descobre onde realmente está.
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