O círculo trigonométrico
Um círculo de raio 1 e, com ele, todos os valores de seno, cosseno e tangente que vão pedir que você decore. Arraste o ângulo e veja de onde os números saem.
Última atualização
Quase tudo que as pessoas acham difícil em trigonometria é, na verdade, um problema de memória: valores demais, sinais demais e nenhuma forma de conferir se o que você acabou de escrever é plausível. O círculo trigonométrico resolve isso. É uma única imagem que guarda todos os valores de que você precisa e que faz um sinal errado parecer obviamente errado.
Arraste o ponto abaixo. Observe os dois catetos tracejados enquanto você gira.
Arraste o ponto. O cateto verde é o cos e o vermelho é o sen; por isso o ponto é (cos, sen).
Por que o ponto é (cos, sen)
O círculo tem raio 1, e nisso está todo o truque.
Trace uma reta do centro até o círculo em algum ângulo e depois baixe uma vertical desse ponto até o eixo x. Você tem agora um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o raio, então a hipotenusa vale 1.
Nesse triângulo, o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. O cateto adjacente é o horizontal e a hipotenusa vale 1, então o cosseno é o cateto horizontal: dividir por 1 não muda nada. O mesmo argumento faz do seno o cateto vertical.
Portanto as coordenadas do ponto são exatamente (cos(x), sin(x)) — primeiro a distância horizontal, depois a vertical. É por isso que o cateto verde da figura está marcado como cosseno e o vermelho como seno, e é por isso que a ordem começa pelo cosseno: x antes de y, horizontal antes de vertical.
A tangente é a terceira e não é um comprimento na figura: é a razão sin(x)/cos(x), que é a inclinação da reta que você traçou.
Os três números de que você realmente precisa
Coloque a figura em 30, 45 e 60 graus e olhe os valores:
| ângulo | cos | sen |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
Três valores distintos — 1/2, sqrt(2)/2 e sqrt(3)/2 — e note que 30° e 60° são o mesmo par trocado de lugar. Não é coincidência: os dois ângulos somam 90°, então os triângulos deles são o mesmo triângulo visto pela outra ponta.
Tudo nos outros três quadrantes é um desses três números com um sinal na frente. Qual sinal é decidido por onde você está, e dá para ler direto na figura: o cosseno é a distância horizontal, então é negativo na metade esquerda do círculo. O seno é a distância vertical, então é negativo na metade de baixo. Não há nada para decorar — basta olhar para que lado o cateto aponta.
Graus e radianos são o mesmo ângulo
Mude a figura para radianos e gire de novo. Nada na imagem muda; só o rótulo.
Uma volta completa são 360° e também 2pi radianos, porque o comprimento de um círculo de raio 1 é 2pi — então "um radiano" quer dizer "um arco do tamanho de um raio". Meia volta são 180° ou pi. Daí em diante os ângulos notáveis são frações óbvias de meia volta: 30° é a sexta parte de 180°, então é pi/6; 45° é a quarta, pi/4; 60° a terça, pi/3.
Radianos parecem mais difíceis e na verdade são mais fáceis, porque o denominador já diz quantas vezes aquele ângulo cabe em meia volta.
Onde a tangente quebra
Arraste até 90° e a leitura da tangente diz não definida. Isso não é limitação do widget — é aritmética. Em 90° o ponto está exatamente em cima, em (0, 1), então cos(x) vale 0, e a tangente é sin(x)/cos(x). Não existe número igual a 1 dividido por 0.
O mesmo acontece em 270°. Em qualquer outro lugar a tangente é um número perfeitamente comum, e em 45° ela vale exatamente 1 — o que faz sentido, já que ali o seno e o cosseno são iguais e qualquer coisa dividida por si mesma dá 1.
Tente uma
Deixe a figura de lado por um instante e responda de cabeça. Se errar, o círculo está logo aí.
Se você precisou olhar, é uma informação útil: quer dizer que a imagem ainda não ficou automática, e fazer uma dúzia dessas é exatamente o que resolve.
Perguntas frequentes
- O que é o círculo trigonométrico?
- É o círculo de raio 1 com centro na origem. A utilidade dele vem de um fato: se você traça uma reta do centro em certo ângulo e marca onde ela cruza o círculo, as coordenadas desse ponto são exatamente (cosseno do ângulo, seno do ângulo). Assim o círculo transforma uma pergunta sobre triângulos em uma pergunta sobre coordenadas, que é muito mais fácil de imaginar.
- Por que o ponto é (cos, sen) e não (sen, cos)?
- Porque o cosseno mede a distância horizontal e a coordenada x é a horizontal. Baixe uma vertical do ponto até o eixo x e você tem um triângulo retângulo cuja hipotenusa é 1. O cateto horizontal é o adjacente ao ângulo, então é cosseno dividido por 1, isto é, o cosseno. O cateto vertical é o oposto, então é o seno. Logo a coordenada x é o cosseno e a y é o seno, nessa ordem.
- Preciso decorar o círculo trigonométrico todo?
- Não, e tentar isso é o erro comum. Só existem três valores necessários — 1/2, √2/2 e √3/2 — e uma regra de sinais. Todo o resto são esses três números com um mais ou um menos na frente, decidido pelo quadrante em que você está. Aprenda o primeiro quadrante e a regra de sinais e você tem os dezesseis ângulos.
- Como converter graus em radianos?
- Uma volta completa tem 360 graus e também 2π radianos, então meia volta tem 180 graus e π radianos. Daí sai a conversão: multiplique os graus por π/180 para obter radianos, ou os radianos por 180/π para obter graus. Na prática você quase nunca calcula: 30, 45, 60 e 90 graus são π/6, π/4, π/3 e π/2, e qualquer outro ângulo notável é múltiplo desses.
- Por que a tangente não está definida em 90 graus?
- Porque a tangente é o seno dividido pelo cosseno, e em 90 graus o cosseno é 0. Dividir por zero não dá número nenhum, então ali a tangente não tem valor. No gráfico da tangente isso aparece como uma assíntota vertical: quando o ângulo se aproxima de 90 graus o valor dispara sem nunca chegar a lugar algum.
Agora faça você mesmo, de verdade
Ler a resolução de outra pessoa não é o mesmo que saber fazer. O curso de matemática da Coddy coloca você em um quadro que confere cada movimento, então você descobre onde realmente está.
