O círculo trigonométrico

Esta tabela dá o seno e o cosseno dos dezesseis ângulos notáveis, em graus e em radianos. Mude para mostrar também a tangente, ou para um círculo em branco que você pode imprimir e preencher.

Tabela do círculo trigonométrico

Valores do círculo trigonométrico

Todos os valores da tabela, num único quadro. A tangente é o seno dividido pelo cosseno, então não tem valor onde o cosseno é 0.

Por que o ponto é (cos, sen)

Arraste o ponto ao redor do círculo e observe os dois catetos tracejados.

O círculo tem raio 1, e esse é todo o truque. Trace uma reta do centro até a circunferência com um certo ângulo e depois baixe uma reta vertical desse ponto até o eixo x. Agora você tem um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o raio, então a hipotenusa vale 1.

Nesse triângulo, o cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa. O cateto adjacente é o horizontal e a hipotenusa vale 1, então o cosseno é o cateto horizontal. O mesmo raciocínio faz do seno o cateto vertical. Por isso o ponto é (cos(x), sin(x)): primeiro a distância horizontal, depois a vertical, x antes de y.

Os três números de que você precisa

O primeiro quadrante contém todos os valores que o círculo usa:

Três valores distintos: 1/2, √2/2 e √3/2. Repare que 30° e 60° são o mesmo par trocado. Os dois ângulos somam 90°, então seus triângulos são o mesmo triângulo visto pela outra ponta.

Sinais em cada quadrante

Todo ângulo fora do primeiro quadrante usa um desses três números com um sinal. Para achá-lo, use o ângulo de referência, o ângulo entre a reta e o eixo x: faltam 30° para 150° chegar a 180°, então seu ângulo de referência é 30° e seus valores são os de 30° com novos sinais.

Os sinais vêm de onde o ponto está. O cosseno é a distância horizontal, então é negativo na metade esquerda do círculo. O seno é a distância vertical, então é negativo na metade de baixo. A tabela marca cada quadrante com seus sinais de (cos, sen):

Assim, 150° é (−√3/2, 1/2) e 210°, cujo ângulo de referência também é 30°, é (−√3/2, −1/2).

O círculo trigonométrico em radianos

Uma volta completa tem 360° e também 2π radianos, porque o comprimento de uma circunferência de raio 1 é 2π: um radiano é um arco do tamanho de um raio. Meia volta é 180° ou π.

A partir daí, os ângulos notáveis são frações de meia volta. 30° é um sexto de 180°, então é π/6; 45° é um quarto, π/4; 60° um terço, π/3. O denominador diz quantas vezes esse ângulo cabe em meia volta, e o numerador conta quantas: 150° são cinco sextos de meia volta, 5π/6.

Tangente no círculo trigonométrico

A tangente é a razão sin(x)/cos(x), que é a inclinação da reta que vai do centro até o ponto. Em 45° o seno e o cosseno são iguais, então a tangente vale exatamente 1. Em 30° ela vale √3/3 e em 60° vale √3.

Em 90° o ponto está bem em cima, em (0, 1), então o cosseno é 0 e a tangente não existe: nenhum número é igual a 1 dividido por 0, e uma reta vertical não tem inclinação. O mesmo acontece em 270°. Em todos os outros ângulos a tangente segue a regra dos sinais: positiva onde seno e cosseno têm o mesmo sinal (quadrantes I e III), negativa onde diferem. A versão com tangente da tabela mostra todos os valores.

Quiz e exercícios do círculo trigonométrico

Coloque o círculo acima em Me pergunte: ele esconde os valores, você os diz e depois confere. Ou responda esta de memória:

cos(60°)

Para praticar no papel, imprima a tabela em branco e preencha os dezesseis pontos. Quando conseguir em menos de dois minutos sem olhar, você sabe o círculo trigonométrico.