O plano cartesiano
Duas retas numéricas cruzadas em ângulo reto e, de repente, todo par de números tem um lugar. As duas coisas que se erram são a ordem do par e qual quadrante é qual — as duas valem mais praticar do que ler.
Última atualização
Antes do plano cartesiano, uma reta era algo que você desenhava e um círculo era algo que você media. Depois dele, os dois são equações com as quais você calcula. Todo o trabalho com gráficos — e quase tudo que você vai fazer em álgebra depois — se apoia numa ideia pequena: um par de números nomeia um lugar.
Clique em qualquer ponto da malha abaixo. As linhas tracejadas mostram como o par é construído.
Clique em qualquer lugar. As linhas tracejadas mostram como o par é lido: primeiro ao longo do eixo x e depois subindo pelo eixo y.
Primeiro para o lado, depois para cima
Cada eixo faz um único trabalho. O eixo x vai da esquerda para a direita e mede o quanto você andou de lado; o eixo y vai de baixo para cima e mede o quanto você subiu. Onde eles se cruzam está a origem, que é (0, 0) — nenhuma distância em nenhuma das direções.
Para nomear um ponto você dá dois números numa ordem fixa: de lado, depois para cima. Então (3, 2) significa três à direita e dois acima. Nada no próprio ponto diz qual número é qual, então a ordem carrega essa informação — daí o nome pares ordenados, e daí (3, 2) e (2, 3) serem lugares diferentes.
Se você continua trocando, um truque costuma pegar: x vem antes de y no alfabeto, então vem primeiro no par.
Os negativos apenas invertem a direção. Uma coordenada x negativa quer dizer ir para a esquerda em vez da direita; um y negativo, descer em vez de subir. Clique na parte de baixo à esquerda da malha e veja os dois sinais ficarem negativos juntos.
Os quatro quadrantes
Os dois eixos cortam o plano em quatro regiões, numeradas a partir do canto superior direito, no sentido anti-horário:
| quadrante | x | y | exemplo |
|---|---|---|---|
| I | positivo | positivo | (3, 2) |
| II | negativo | positivo | (-4, 1) |
| III | negativo | negativo | (-2, -3) |
| IV | positivo | negativo | (4, -2) |
A ordem anti-horária parece uma escolha estranha até você chegar aos ângulos, que também são medidos no sentido anti-horário a partir do semieixo x positivo. As duas convenções combinam de propósito.
Não existe uma quinta região para os próprios eixos. Um ponto como (0, 3) fica sobre o eixo y, e um como (-4, 0) sobre o eixo x; nenhum dos dois está num quadrante, porque os eixos são as fronteiras. O widget acima diz isso explicitamente quando você clica num deles, porque é o caso que as pessoas mais chutam.
Marcando um conjunto de pontos
Quando pontos isolados já saem no automático, uma lista deles começa a dizer algo. Aqui estão quatro pontos marcados nos mesmos eixos:
Eles não estão espalhados — estão alinhados. Esse é o momento em que o plano cartesiano começa a valer o que custa: um padrão numa lista de números vira uma forma que você vê, e uma forma que você vê quase sempre pode ser escrita como equação. Neste caso cada y é a metade do seu x, então a reta é y = 1/2x.
Tente um
A malha está acima se você precisar, mas tente localizar este de cabeça primeiro.
O ponto é (-3, 5) — e a pergunta foi de propósito sobre o segundo número, porque o hábito de ler um par na ordem é o que vale construir.
Perguntas frequentes
- O que é o plano cartesiano?
- São duas retas numéricas cruzadas em ângulo reto: uma horizontal chamada eixo x e uma vertical chamada eixo y. Elas se encontram num ponto chamado origem, que é (0, 0). Com isso, qualquer ponto da superfície plana pode ser nomeado por um par de números: quanto para o lado e quanto para cima.
- Qual número vem primeiro num par ordenado?
- A coordenada x, sempre. O par (3, 2) significa 3 para o lado e 2 para cima, não o contrário. A ordem alfabética é um jeito confiável de lembrar: x vem antes de y no alfabeto e vem primeiro no par. A palavra 'ordenado' em 'par ordenado' está fazendo um trabalho de verdade — (3, 2) e (2, 3) são dois pontos diferentes.
- Como os quatro quadrantes são numerados?
- Começam no canto superior direito e seguem no sentido anti-horário: o quadrante I é o de cima à direita, onde as duas coordenadas são positivas; o II é de cima à esquerda (x negativo, y positivo); o III é de baixo à esquerda (os dois negativos) e o IV de baixo à direita (x positivo, y negativo). O sentido anti-horário parece arbitrário, mas coincide com o sentido em que os ângulos são medidos, e por isso vale aprender assim.
- Em qual quadrante fica um ponto sobre um eixo?
- Em nenhum. Os eixos são as fronteiras entre os quadrantes, não parte de nenhum deles, então um ponto como (0, 3) ou (-4, 0) é descrito como estando sobre o eixo y ou sobre o eixo x, e não dentro de um quadrante. A origem está sobre os dois.
- Por que se chama plano cartesiano?
- Por causa de René Descartes, que publicou em 1637 a ideia de nomear pontos por pares de números. É uma das ideias mais úteis da matemática: transforma geometria em álgebra. Uma reta deixa de ser um desenho e passa a ser uma equação, e é isso que permite calcular com ela.
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