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Máximo divisor comum por fatores primos compartilhados ou pelo algoritmo de Euclides.
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O curso de matemática da Coddy ensina o método em si: você trabalha cada passo em um quadro interativo e descobre exatamente onde a jogada deu errado.
Um divisor de um número o divide exatamente, sem resto: os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Um divisor comum de dois números aparece nas duas listas. O máximo divisor comum é o maior que eles compartilham: o maior número que divide os dois de forma limpa.
O MDC de 24 e 36 é 12. Os dois são divisíveis por 1, 2, 3, 4, 6 e 12, e 12 é o maior deles. Você também verá o nome máximo fator comum e, em inglês, GCD e HCF; todos significam exatamente a mesma coisa e qual você aprendeu é quase uma questão geográfica.
O trabalho principal dele é simplificar. Para reduzir 24/36 à forma mais simples você divide as duas partes pelo MDC: 24 ÷ 12 = 2 e 36 ÷ 12 = 3, o que dá 2/3 em um único passo. Dividir por um divisor comum menor também funciona, mas obriga você a repetir o processo, e essa é toda a razão de procurar o máximo.
Escreva dois ou mais inteiros separados por vírgulas ou espaços: 24, 36 ou 54 24 36. Até dez de uma vez.
O MDC está no topo. Abaixo, a mesma resposta é alcançada por fatores primos compartilhados e, para exatamente dois números, pelo algoritmo de Euclides.
Cada linha é um primo. O MDC toma o expoente mais baixo da linha, e qualquer linha com um traço desaparece por completo, porque um fator compartilhado por apenas alguns dos números não é comum.
Cada linha divide e registra o resto; a próxima repete com o divisor e esse resto. Quando o resto chega a zero, o anterior é a sua resposta.
Os pares que mais aparecem, com o motivo e não só o resultado.
| Números | MDC | Por quê |
|---|---|---|
| 24 e 36 | 12 | Os dois compartilham 2² e 3 |
| 48 e 18 | 6 | Os dois compartilham 2 e 3 |
| 8 e 12 | 4 | Os dois compartilham 2², mas só 12 tem um 3 |
| 15 e 25 | 5 | Os dois compartilham um único 5 |
| 8 e 9 | 1 | Sem primo compartilhado: coprimos |
| 7 e 21 | 7 | 7 divide 21, então o menor número é o MDC |
| 54, 24 e 36 | 6 | 2 e 3 aparecem nos três |
24, 3624 = 2³ · 3 e 36 = 2² · 3². Para cada primo toma-se o expoente menor: 2² (porque 24 tem três 2 mas 36 só dois) e 3¹ (porque 36 tem dois 3 mas 24 só um). Isso dá 2² · 3 = 12. O caminho de Euclides concorda: 36 = 1 × 24 + 12, depois 24 = 2 × 12 + 0, então o último resto diferente de zero é 12.
24, 36O MDC é 12, então divida as duas partes por ele: 24 ÷ 12 = 2 e 36 ÷ 12 = 3, o que dá 2/3. Se você tivesse visto apenas o fator 2 teria chegado a 12/18, depois 6/9, depois 2/3: o mesmo lugar, três passos depois. Encontrar o máximo divisor comum é o que transforma isso em um único passo.
8, 98 = 2³ e 9 = 3². Eles não têm nenhum primo em comum, então não há nada para colocar no MDC e a resposta é 1. Números assim se chamam coprimos. Também significa que a fração 8/9 já está na forma mais simples e não pode ser reduzida.
48, 1848 = 2 × 18 + 12. Agora repita com 18 e 12: 18 = 1 × 12 + 6. Repita com 12 e 6: 12 = 2 × 6 + 0. O resto é zero, então o resto anterior, 6, é o MDC. Note que nada foi fatorado: é por isso que o método funciona com números de centenas de dígitos.
