Что такое распределительное свойство?

Оно говорит, что умножить сумму — то же самое, что умножить каждую часть и потом сложить: a(b + c) = ab + ac. Именно оно позволяет раскрывать скобки в алгебре, и именно поэтому 7 × 23 можно посчитать в уме как 7 × 20 плюс 7 × 3.

Почему a(b + c) = ab + ac верно?

Потому что обе части — площадь одного и того же прямоугольника. Прямоугольник высотой a и шириной (b + c) имеет площадь a(b + c). Разрежьте его вертикальной линией на часть шириной b и часть шириной c, и две площади будут ab и ac. Разрезать фигуру не значит изменить, сколько её есть, значит два выражения обязаны быть равны.

Как это работает со знаком минус?

Знак переходит на каждое слагаемое в скобках. Поэтому -2(x + 3) равно -2x - 6, а не -2x + 6: оба слагаемых умножаются на -2. Это самая частая ошибка со скобками, и её стоит проверять каждый раз, спрашивая себя, что получится при подстановке числа.

В чём разница между раскрытием скобок и разложением на множители?

Это один и тот же факт, использованный в противоположных направлениях. Раскрытие идёт от a(b + c) к ab + ac и убирает скобки. Разложение идёт от ab + ac обратно к a(b + c) и ставит их. Умение читать правило справа налево и делает разложение на множители возможным.

Правило FOIL — это распределительное свойство?

Да, FOIL — это распределительное свойство, применённое дважды. Чтобы раскрыть (x + 2)(x + 3), вы распределяете всю первую скобку на вторую, а затем распределяете ещё раз внутри каждой части. FOIL — подсказка для памяти о четырёх получающихся произведениях; это не отдельное правило, и именно поэтому оно перестаёт работать, когда в скобке три слагаемых, а раскрытие продолжает работать.

Распределительное свойство

a(b + c) = ab + ac обычно объявляют, а потом отрабатывают. Его легче помнить, когда вы его увидели, потому что это картинка: один прямоугольник, разрезанный на два.

Автор: Nethanel Bar, Сооснователь и генеральный директор

Обновлено 25 августа 2026 г.

Почти наверняка вы пользовались распределительным свойством, не зная его названия. Если попросить посчитать 7 × 23, большинство делает 7 × 20 = 140, потом 7 × 3 = 21 и складывает, получая 161. Это 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3 — то же правило, применённое к арифметике.

В алгебре оно делает ту же работу с буквами, и именно поэтому скобки вообще можно убирать. Вот почему это верно.

3(4 + 2) = 3*4 + 3*2 = 18

Разрезать прямоугольник — не изменить его площадь. В этом и всё распределительное свойство.

Это один прямоугольник, разрезанный

Поставьте ползунки на a = 3, b = 4, c = 2 и посмотрите на фигуру.

Весь прямоугольник высотой 3 и шириной 4 + 2 = 6, значит его площадь 3(4 + 2) = 18. Вертикальный разрез делит его на кусок 3 на 4 и кусок 3 на 2, с площадями 3*4 = 12 и 3*2 = 6 — а 12 + 6 равно 18.

Вот и всё доказательство. Разрезать прямоугольник не значит изменить его площадь, значит выражение из одной части и выражение из двух частей обязаны быть равны, какими бы ни были числа. Подвигайте все три ползунка — две суммы никогда не расходятся.

В общем виде: a(b + c) = a*b + a*c.

На подписи сторон стоит взглянуть: они говорят, какое число что делает. a стоит снаружи скобок и умножает оба куска, потому что оба они высотой a. Ничто внутри скобок не умножает ничего другого.

Случай с минусом, где и соскальзывают

Теперь уведите c ниже нуля.

Второй прямоугольник меняет цвет и уходит внутрь первого, потому что отрицательная ширина означает, что кусок забирают. При a = 3, b = 4 и c = -2 итог равен 3(4 - 2) = 6, а два куска — это 3*4 = 12 и минус 3*2 = 6. Двенадцать минус шесть.

Значит знак минус переходит на второе слагаемое:

a(b - c) = a*b - a*c

Вот от какой ошибки стоит защищаться. Записать -2(x + 3) как -2x + 6 неверно; -2 умножает оба слагаемых и даёт -2x - 6. Если сомневаетесь, подставьте число: при x = 1 исходное выражение равно -2(1 + 3) = -8, и только -2x - 6 даёт -8.

Как этим что-то решить

Раскрыть скобки почти никогда не самоцель — это шаг к тому, чтобы оставить букву в одиночестве. Вот оно внутри решения:

Стоит заметить: путь выше вовсе не раскрывал скобки, потому что 27 делится на 3 и быстрее было сначала разделить обе части. Раскрытие — инструмент, а не обязанность: раскрыть до 3x + 12 = 27 значит прийти к тому же x = 5 более длинной дорогой.

Прочитать справа налево

Прочитайте a*b + a*c = a(b + c) справа налево — и получите разложение на множители: заметить множитель, общий для всех слагаемых, и вынести его вперёд. 6x + 9 превращается в 3(2x + 3), потому что оба слагаемых делятся на 3.

Это та же картинка, рассмотренная с другой стороны: вместо того чтобы разрезать прямоугольник, вы замечаете, что два прямоугольника одной высоты и их можно сдвинуть вместе.

Попробуйте сами

В этом примере минус стоит снаружи намеренно. Если получилось -1, значит знак минус не дошёл до 3.

Частые вопросы

Что такое распределительное свойство?: Оно говорит, что умножить сумму — то же самое, что умножить каждую часть и потом сложить: a(b + c) = ab + ac. Именно оно позволяет раскрывать скобки в алгебре, и именно поэтому 7 × 23 можно посчитать в уме как 7 × 20 плюс 7 × 3.
Почему a(b + c) = ab + ac верно?: Потому что обе части — площадь одного и того же прямоугольника. Прямоугольник высотой a и шириной (b + c) имеет площадь a(b + c). Разрежьте его вертикальной линией на часть шириной b и часть шириной c, и две площади будут ab и ac. Разрезать фигуру не значит изменить, сколько её есть, значит два выражения обязаны быть равны.
Как это работает со знаком минус?: Знак переходит на каждое слагаемое в скобках. Поэтому -2(x + 3) равно -2x - 6, а не -2x + 6: оба слагаемых умножаются на -2. Это самая частая ошибка со скобками, и её стоит проверять каждый раз, спрашивая себя, что получится при подстановке числа.
В чём разница между раскрытием скобок и разложением на множители?: Это один и тот же факт, использованный в противоположных направлениях. Раскрытие идёт от a(b + c) к ab + ac и убирает скобки. Разложение идёт от ab + ac обратно к a(b + c) и ставит их. Умение читать правило справа налево и делает разложение на множители возможным.
Правило FOIL — это распределительное свойство?: Да, FOIL — это распределительное свойство, применённое дважды. Чтобы раскрыть (x + 2)(x + 3), вы распределяете всю первую скобку на вторую, а затем распределяете ещё раз внутри каждой части. FOIL — подсказка для памяти о четырёх получающихся произведениях; это не отдельное правило, и именно поэтому оно перестаёт работать, когда в скобке три слагаемых, а раскрытие продолжает работать.