Что такое распределительное свойство?

Оно говорит, что умножить сумму — то же самое, что умножить каждую часть и потом сложить: a(b + c) = ab + ac. Именно оно позволяет раскрывать скобки в алгебре, и именно поэтому 7 × 23 можно посчитать в уме как 7 × 20 плюс 7 × 3.

Почему a(b + c) = ab + ac верно?

Потому что обе части — площадь одного и того же прямоугольника. Прямоугольник высотой a и шириной (b + c) имеет площадь a(b + c). Разрежьте его вертикальной линией на часть шириной b и часть шириной c, и две площади будут ab и ac. Разрезать фигуру не значит изменить, сколько её есть, значит два выражения обязаны быть равны.

Как это работает со знаком минус?

Знак переходит на каждое слагаемое в скобках. Поэтому -2(x + 3) равно -2x - 6, а не -2x + 6: оба слагаемых умножаются на -2. Это самая частая ошибка со скобками, и её стоит проверять каждый раз, спрашивая себя, что получится при подстановке числа.

В чём разница между раскрытием скобок и разложением на множители?

Это один и тот же факт, использованный в противоположных направлениях. Раскрытие идёт от a(b + c) к ab + ac и убирает скобки. Разложение идёт от ab + ac обратно к a(b + c) и ставит их. Умение читать правило справа налево и делает разложение на множители возможным.

Правило FOIL — это распределительное свойство?

Да, FOIL — это распределительное свойство, применённое дважды. Чтобы раскрыть (x + 2)(x + 3), вы распределяете всю первую скобку на вторую, а затем распределяете ещё раз внутри каждой части. FOIL — подсказка для памяти о четырёх получающихся произведениях; это не отдельное правило, и именно поэтому оно перестаёт работать, когда в скобке три слагаемых, а раскрытие продолжает работать.

Распределительное свойство

a(b + c) = ab + ac обычно объявляют, а потом отрабатывают. Его легче помнить, когда вы его увидели, потому что это картинка: один прямоугольник, разрезанный на два.

Автор: Nethanel Bar, Co-founder & CEO

Обновлено 25 августа 2026 г.

Почти наверняка вы пользовались распределительным свойством, не зная его названия. Если попросить посчитать 7 × 23, большинство делает 7 × 20 = 140, потом 7 × 3 = 21 и складывает, получая 161. Это 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3 — то же правило, применённое к арифметике.

В алгебре оно делает ту же работу с буквами, и именно поэтому скобки вообще можно убирать. Вот почему это верно.

3(4 + 2) = 3*4 + 3*2 = 18

Разрезать прямоугольник — не изменить его площадь. В этом и всё распределительное свойство.

Это один прямоугольник, разрезанный

Поставьте ползунки на a = 3, b = 4, c = 2 и посмотрите на фигуру.

Весь прямоугольник высотой 3 и шириной 4 + 2 = 6, значит его площадь 3(4 + 2) = 18. Вертикальный разрез делит его на кусок 3 на 4 и кусок 3 на 2, с площадями 3*4 = 12 и 3*2 = 6 — а 12 + 6 равно 18.

Вот и всё доказательство. Разрезать прямоугольник не значит изменить его площадь, значит выражение из одной части и выражение из двух частей обязаны быть равны, какими бы ни были числа. Подвигайте все три ползунка — две суммы никогда не расходятся.

В общем виде: a(b + c) = a*b + a*c.

На подписи сторон стоит взглянуть: они говорят, какое число что делает. a стоит снаружи скобок и умножает оба куска, потому что оба они высотой a. Ничто внутри скобок не умножает ничего другого.

Случай с минусом, где и соскальзывают

Теперь уведите c ниже нуля.

Второй прямоугольник меняет цвет и уходит внутрь первого, потому что отрицательная ширина означает, что кусок забирают. При a = 3, b = 4 и c = -2 итог равен 3(4 - 2) = 6, а два куска — это 3*4 = 12 и минус 3*2 = 6. Двенадцать минус шесть.

Значит знак минус переходит на второе слагаемое:

a(b - c) = a*b - a*c

Вот от какой ошибки стоит защищаться. Записать -2(x + 3) как -2x + 6 неверно; -2 умножает оба слагаемых и даёт -2x - 6. Если сомневаетесь, подставьте число: при x = 1 исходное выражение равно -2(1 + 3) = -8, и только -2x - 6 даёт -8.

Как этим что-то решить

Раскрыть скобки почти никогда не самоцель — это шаг к тому, чтобы оставить букву в одиночестве. Вот оно внутри решения:

Стоит заметить: путь выше вовсе не раскрывал скобки, потому что 27 делится на 3 и быстрее было сначала разделить обе части. Раскрытие — инструмент, а не обязанность: раскрыть до 3x + 12 = 27 значит прийти к тому же x = 5 более длинной дорогой.

Прочитать справа налево

Прочитайте a*b + a*c = a(b + c) справа налево — и получите разложение на множители: заметить множитель, общий для всех слагаемых, и вынести его вперёд. 6x + 9 превращается в 3(2x + 3), потому что оба слагаемых делятся на 3.

Это та же картинка, рассмотренная с другой стороны: вместо того чтобы разрезать прямоугольник, вы замечаете, что два прямоугольника одной высоты и их можно сдвинуть вместе.

Попробуйте сами

В этом примере минус стоит снаружи намеренно. Если получилось -1, значит знак минус не дошёл до 3.

Частые вопросы

Что такое распределительное свойство?: Оно говорит, что умножить сумму — то же самое, что умножить каждую часть и потом сложить: a(b + c) = ab + ac. Именно оно позволяет раскрывать скобки в алгебре, и именно поэтому 7 × 23 можно посчитать в уме как 7 × 20 плюс 7 × 3.
Почему a(b + c) = ab + ac верно?: Потому что обе части — площадь одного и того же прямоугольника. Прямоугольник высотой a и шириной (b + c) имеет площадь a(b + c). Разрежьте его вертикальной линией на часть шириной b и часть шириной c, и две площади будут ab и ac. Разрезать фигуру не значит изменить, сколько её есть, значит два выражения обязаны быть равны.
Как это работает со знаком минус?: Знак переходит на каждое слагаемое в скобках. Поэтому -2(x + 3) равно -2x - 6, а не -2x + 6: оба слагаемых умножаются на -2. Это самая частая ошибка со скобками, и её стоит проверять каждый раз, спрашивая себя, что получится при подстановке числа.
В чём разница между раскрытием скобок и разложением на множители?: Это один и тот же факт, использованный в противоположных направлениях. Раскрытие идёт от a(b + c) к ab + ac и убирает скобки. Разложение идёт от ab + ac обратно к a(b + c) и ставит их. Умение читать правило справа налево и делает разложение на множители возможным.
Правило FOIL — это распределительное свойство?: Да, FOIL — это распределительное свойство, применённое дважды. Чтобы раскрыть (x + 2)(x + 3), вы распределяете всю первую скобку на вторую, а затем распределяете ещё раз внутри каждой части. FOIL — подсказка для памяти о четырёх получающихся произведениях; это не отдельное правило, и именно поэтому оно перестаёт работать, когда в скобке три слагаемых, а раскрытие продолжает работать.

Теперь сделайте это сами, по-настоящему

Прочитать чужое решение — не то же самое, что уметь решать. Курс математики Coddy сажает вас за доску, которая проверяет каждый ваш шаг, так что вы узнаёте, как на самом деле обстоят дела.

Начать курс математики

Хотите проверить на своих числах?

Equation Solver Открыть калькулятор