Классика: √72
plain
sqrt(72)72 = 2³·3². Пары — 2·2 и 3·3, они выносят наружу 2 и 3 и оставляют внутри 2. Значит √72 = 6√2, а возведение в квадрат даёт 36·2 = 72.
Калькулятор радикалов
Упрощайте, складывайте и избавляйтесь от корня в знаменателе: ответ — это форма, а не десятичное число.
Обновлено
Хотите решать это без калькулятора?
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Ответ в задаче с радикалами — это форма, а не десятичное число
Калькулятор скажет вам, что квадратный корень из 72 равен 8,4852814. Почти никогда это не тот ответ, которого требует задача с радикалами. Требуется 6 умножить на квадратный корень из 2 — та же величина, записанная так, чтобы под знаком корня не осталось спрятанной полной степени. В этом различии и заключается вся тема: упростить радикал значит переписать его, а не вычислить, и десятичная запись выбрасывает именно ту точность, которую вас просили сохранить.
Всё на этой странице точно. Квадратный корень из 72 равен 6√2, кубический корень из 54 равен 3∛2, корень из двух третей равен √6/3, а единица, делённая на два плюс √3, равна в точности 2 − √3. Рядом с каждым ответом даётся десятичное значение с явной пометкой, что это приближение, потому что иногда действительно хочется знать порядок величины, — но оно никогда не подаётся вместо ответа.
Три вопроса делят одну страницу, потому что у них общий навык. Упрощение — это поиск наибольшей полной степени внутри подкоренного числа. Сложение отвечает, подобны ли два радикала, а этого нельзя узнать, пока оба не упрощены. Избавление от корня в знаменателе убирает корень из знаменателя с помощью самого корня или сопряжённого выражения. Все три сводятся к одному правилу: корень из произведения равен произведению корней.
На что обратить внимание
- Выносите НАИБОЛЬШИЙ полный квадрат, а не первый замеченный. 72 — это и 4 умножить на 18, но остановка здесь оставляет √18, что ещё не простейшая форма. Это также 36 умножить на 2, и 6√2 — готовый ответ.
- Полная степень живёт в разложении на простые множители. Как только 72 записано в виде 2³·3², каждая пара одинаковых простых — это множитель, который можно вынести за знак квадратного корня.
- Два радикала складываются только тогда, когда под их знаками остались одинаковые числа. √8 + √18 складывается, потому что оба тайно кратны √2. √8 + √27 не складывается, и 2√2 + 3√3 — готовый ответ.
- Дробь под знаком корня и корень в знаменателе — одна и та же проблема. Корень из двух третей не в простейшей форме; умножение внутри на 3/3 превращает его в √6/3, а это уже простейшая форма.
- Показатель корня определяет, какая степень выносится. Под квадратным корнем нужны пары, под кубическим — тройки, под корнем четвёртой степени — четвёрки. Поэтому кубический корень из 54 даёт 3, а не 6.
Как упростить радикал вручную
Разложите подкоренное число на простые множители
Запишите число под знаком корня как произведение простых. Для 72 это 2·2·2·3·3, то есть 2³·3². Сделав это сначала, вы никогда не будете угадывать, спрятан ли там полный квадрат.
Сгруппируйте простые по показателю корня
Для квадратного корня соберите простые в пары, для кубического — в тройки. В 72 пары это 2·2 и 3·3, и одна двойка остаётся в одиночестве.
За каждую полную группу выносится один множитель
Каждая пара даёт одну копию этого простого за знаком радикала. Пара двоек даёт 2, пара троек даёт 3, значит выносится 6, а одинокая двойка остаётся внизу: 6√2.
Уберите дробь из-под знака корня
Если внутри остался знаменатель, домножьте внутреннюю дробь на то, что сделает знаменатель полной степенью. Для двух третей домножьте на 3/3 и получите 6/9, откуда выходит √6/3.
Проверьте, возведя ответ в квадрат
6√2 в квадрате — это 36 умножить на 2, то есть 72. Такая проверка в одну строку ловит самую частую ошибку: если вынесен слишком маленький множитель, квадрат окажется меньше подкоренного числа.
Радикалы в простейшей форме
Самые частые случаи, и в каждом названа полная степень, которая делает всю работу.
| Радикал | Полная степень внутри | Простейшая форма | Приблизительно |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | нет — убрать 3 | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | нет — избавиться от корня | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | нет — сопряжённое | 2 - √3 | 0.268 |
Разобранные примеры
С коэффициентом впереди: 3√8
plain
3*sqrt(8)Сначала упростите радикал: √8 равно 2√2. Затем перемножьте коэффициенты: 3·2 = 6, значит ответ 6√2. Коэффициент никогда не заходит под знак корня.
Сложить то, что кажется несложимым: √8 + √18
plain
sqrt(8) + sqrt(18)Ни одно слагаемое не упоминает √2, пока не упростишь: √8 = 2√2, √18 = 3√2. Теперь они подобны, поэтому складываем коэффициенты: 5√2.
Неподобные радикалы: √8 + √27
plain
sqrt(8) + sqrt(27)После упрощения это 2√2 и 3√3. Разные числа под знаками означают, что слагаемые не подобны, поэтому 2√2 + 3√3 — это ответ, и делать больше нечего.
Корень в знаменателе: 3, делённое на √2
plain
3/sqrt(2)Умножьте числитель и знаменатель на √2. Значение не меняется, потому что √2/√2 = 1, а знаменатель становится равен 2. Ответ 3√2/2.
Сопряжённое выражение: 1, делённое на 2 + √3
plain
1/(2 + sqrt(3))Умножьте числитель и знаменатель на 2 − √3. Знаменатель станет 2² − (√3)², то есть 4 − 3 = 1, поэтому всё выражение равно в точности 2 − √3.
Частые ошибки
- Вынести первый полный квадрат вместо наибольшего. Запись √72 как 2√18 верна, но не доведена до конца, и как ответ на «простейшую форму радикала» считается неверной.
- Отвечать десятичным числом. 8,485 — это не квадратный корень из 72, а его округление. Если в задаче есть знак корня, он остаётся и в ответе, кроме случая, когда корень извлекается точно.
- Складывать числа под знаками. √4 + √9 равно 2 + 3 = 5, а не √13. Корни складываются только как подобные слагаемые и никогда внутри знака.
- Умножать радикалы разных степеней. √2 умножить на ∛2 — это ни √2, ни ∛4: правило произведения требует, чтобы показатели совпадали, прежде чем что-то объединять.
- Оставлять корень в знаменателе. √2/2 и 1/√2 — одно и то же число, но только первая запись в простейшей форме; во второй корень всё ещё внизу.
- Считать корень из суммы суммой корней. Корень из 9 + 16 равен √25 = 5, а не 3 + 4 = 7. Правило произведения разделяет произведения, но не суммы.
- Забыть, что корень чётной степени из отрицательного числа не действителен, а нечётной — действителен. Действительного корня четвёртой степени из −16 нет, но кубический корень из −8 равен в точности −2.
Частые вопросы о радикалах
Что такое простейшая форма радикала?
Радикал находится в простейшей форме, когда у числа под знаком не осталось множителей, являющихся полной степенью, под знаком нет дроби и ни в одном знаменателе нет радикала. Поэтому 6√2 — простейшая форма, а 2√18 — нет, хотя это одно и то же число.
Как упростить квадратный корень?
Разложите подкоренное число на простые множители, соберите простые в пары и вынесите по одной копии каждой пары за знак корня. Всё непарное остаётся внизу. √72 превращается в 6√2, потому что 72 = 2³·3².
Почему не дать просто десятичное значение?
Потому что десятичная запись — приближение, а радикал точен. У √2 нет конечной десятичной записи, поэтому 1,414 уже неверно в четвёртом знаке; ответы на экзамене, дальнейшие преобразования и любое последующее сокращение требуют точной формы, чтобы остаться верными.
Когда два радикала можно сложить?
Только когда после упрощения под их знаками стоят одинаковые числа и совпадают показатели. Тогда они ведут себя в точности как x + x: складываем коэффициенты, радикал оставляем. √8 + √18 = 5√2; √8 + √27 не объединяется вообще никак.
Как избавиться от корня в знаменателе?
Если в знаменателе один корень, умножьте числитель и знаменатель на этот корень. Если это сумма или разность вида 2 + √3, умножьте на сопряжённое выражение 2 − √3: в получившейся разности квадратов корня уже нет. В обоих случаях вы умножаете на 1, поэтому значение не меняется.
Что такое сопряжённое выражение?
Те же два слагаемых с обратным знаком между ними: сопряжённое к 3 − 2√2 равно 3 + 2√2. Умножение двучлена на сопряжённое даёт разность квадратов, а квадрат квадратного корня убирает корень — именно это и очищает знаменатель.
Можно ли здесь упростить кубические и корни четвёртой степени?
Да, любой показатель от 2 до 6. Правило обобщается: под кубическим корнем вы ищете тройки одинаковых простых вместо пар, поэтому кубический корень из 54 равен 3∛2, ведь 54 = 27 умножить на 2.
Почему √(2/3) не равно √2/√3?
Равно — это одно и то же число, и ни одна из записей не является простейшей формой. Корень из двух третей равен √2/√3, а домножение числителя и знаменателя на √3 даёт √6/3, где в знаменателе корня нет, и это готовый ответ.
