حاسبة الأسس

الأس يعدّ العوامل - إلى أن يتوقّف عن كونه عدّاً

في الأس الصحيح لا شيء يُشرح: فـ 2⁵ تعني خمسة أعداد 2 مضروبة معاً، أي 32. والحالات المثيرة هي التي لا يعدّ فيها الأس عوامل، وهي ثلاث: الصفر، والسالب، والكسري. ولكلٍّ قاعدة واحدة خلفه، وكلها تتبع الحقيقة نفسها - أن ضرب قوى لها الأساس نفسه يجمع أسّيهما.

الصفر: 2³ ÷ 2³ يساوي 1، وطرح الأسّين يعطي 2⁰، فلا بدّ أن يكون 2⁰ هو 1 - لكل أساس إلا 0 نفسه. السالب: 2³ ÷ 2⁵ يساوي 1/4، والطرح يعطي 2⁻²، فالأس السالب مقلوبٌ ولا يكون جواباً سالباً أبداً. الكسري: 2^(1/2) في 2^(1/2) يساوي 2¹، فـ 2^(1/2) هو ما مربّعه 2، أي الجذر التربيعي.

كل شيء هنا دقيق. فـ 2⁻³ هو 1/8 لا 0.125، و(2/3)³ هو 8/27، و9^(1/2) هو 3 بالضبط، و8^(1/2) يبقى 2√2 بدل أن ينهار إلى 2.828. ويُعرض العدد العشري إلى جانب الجواب الدقيق حيث يوجد، ويُوسم بأنه تقريب حين يكون كذلك.

ما ينبغي ملاحظته

• الأس السالب يعطي مقلوباً لا عدداً سالباً. فـ 2⁻³ هو 1/8 وهو موجب؛ ولا يجعل الجوابَ سالباً إلا أساسٌ سالب.
• الصفر كأس يعطي 1 لكل أساس إلا الصفر. فـ 0⁰ لا قيمة متفقاً عليها له، و0 بأس سالب يعني القسمة على صفر.
• الأس الكسري جذر: المقام يقول أيّ جذر، والبسط هو القوة. فـ 8^(2/3) هو الجذر التكعيبي لـ 8 مربّعاً، أي 4.
• الكسر المرفوع إلى قوة يرفع جزأيه. فـ (2/3)³ هو 8/27 - والمقام يُكعَّب أيضاً، وهذه الخطوة أكثر ما يُتخطّى.
• إشارة الأساس السالب يحدّدها الأس وحده: فالأس الزوجي يزاوج إشارات السالب ويعطي جواباً موجباً، والفردي يترك واحدة.
• الأقواس تغيّر كل شيء. فـ (−2)⁴ يساوي 16 أما −2⁴ فيساوي −16، لأن القوة بلا أقواس تربط أقوى من إشارة السالب.

كيف تحسب قوة

1. 1

   انظر أولاً إلى إشارة الأس

   إن كانت سالبة فاكتب المقلوب واجعل الأس موجباً: يصبح 2⁻³ هو 1/2³. وفعل هذا أولاً يمنع الخطأ الكلاسيكي بالإجابة −8.

2. 2

   انظر هل هو كسر

   الأس الكسري جذر. الأسفل يختار الجذر والأعلى هو القوة: فـ x^(m/n) هو الجذر النوني لـ x^m.

3. 3

   تعامل مع أساس كسري

   ارفع البسط والمقام كلاً على حدة. فـ (2/3)³ هو 2³ على 3³، أي 8/27.

4. 4

   اضرب ما بقي

   الأس الصحيح الآن ضربٌ متكرر فقط. وانتبه للإشارة: عددٌ فردي من العوامل السالبة يترك جواباً سالباً.

5. 5

   أكمل المقلوب إن وُجد

   اقلب الناتج الذي حسبته للتوّ. فـ 1/2³ هو 1/8 - وتحقّق من أن الجواب أقل من 1، وهو ما يعطيه الأس السالب دائماً مع أساس أكبر من 1.

القوى والقاعدة وراء كل واحدة

الحالات الأربع التي ليست ضرباً متكرراً بسيطاً، إلى جانب التي هي كذلك.

أمثلة محلولة

2^5

2^-3

(2/3)^3

9^1/2

8^1/2

(-2)^4

أخطاء شائعة

• قراءة الأس السالب كجواب سالب. فـ 2⁻³ هو 1/8 لا −8: إشارة السالب ترسل القوة إلى المقام ولا تسافر إلى الجواب.
• ضرب الأساس في الأس. فـ 2⁵ هو 32 لا 10. الأس يعدّ العوامل، وليس معاملَ ضرب.
• رفع بسط الكسر وحده. فـ (2/3)³ هو 8/27 لا 8/3 - والمقام يُكعَّب أيضاً.
• إسقاط الأقواس عن أساس سالب. فـ (−2)⁴ يساوي 16 بينما −2⁴ يساوي −16، لأن القوة تربط أقوى من إشارة السالب.
• الظنّ أن 0⁰ يساوي 1 أو 0. لا قيمة متفقاً عليها له؛ وتختار المجالات المختلفة اصطلاحات مختلفة، وهذه الصفحة ترفض بدل أن تختار واحدة.
• تقريب الجذر بدل تبسيطه. فـ 8^(1/2) هو 2√2 بالضبط؛ و2.83 تقريب يفقد فائدته في اللحظة التي تُربَّع فيها القيمة مرة أخرى.

أسئلة شائعة عن الأسس