الحالة المباشرة: 2⁵
plain
2^5خمسة أعداد 2 مضروبة: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. وهي الحالة الوحيدة التي يعدّ فيها الأس عوامل فعلاً، وتستحق أن تُكتب مرة لتُرى الحالات التالية انحرافات عنها.
حاسبة الأسس
قوى مع تسمية القاعدة، بما فيها السالبة والكسرية.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
الأس يعدّ العوامل - إلى أن يتوقّف عن كونه عدّاً
في الأس الصحيح لا شيء يُشرح: فـ 2⁵ تعني خمسة أعداد 2 مضروبة معاً، أي 32. والحالات المثيرة هي التي لا يعدّ فيها الأس عوامل، وهي ثلاث: الصفر، والسالب، والكسري. ولكلٍّ قاعدة واحدة خلفه، وكلها تتبع الحقيقة نفسها - أن ضرب قوى لها الأساس نفسه يجمع أسّيهما.
الصفر: 2³ ÷ 2³ يساوي 1، وطرح الأسّين يعطي 2⁰، فلا بدّ أن يكون 2⁰ هو 1 - لكل أساس إلا 0 نفسه. السالب: 2³ ÷ 2⁵ يساوي 1/4، والطرح يعطي 2⁻²، فالأس السالب مقلوبٌ ولا يكون جواباً سالباً أبداً. الكسري: 2^(1/2) في 2^(1/2) يساوي 2¹، فـ 2^(1/2) هو ما مربّعه 2، أي الجذر التربيعي.
كل شيء هنا دقيق. فـ 2⁻³ هو 1/8 لا 0.125، و(2/3)³ هو 8/27، و9^(1/2) هو 3 بالضبط، و8^(1/2) يبقى 2√2 بدل أن ينهار إلى 2.828. ويُعرض العدد العشري إلى جانب الجواب الدقيق حيث يوجد، ويُوسم بأنه تقريب حين يكون كذلك.
ما ينبغي ملاحظته
- الأس السالب يعطي مقلوباً لا عدداً سالباً. فـ 2⁻³ هو 1/8 وهو موجب؛ ولا يجعل الجوابَ سالباً إلا أساسٌ سالب.
- الصفر كأس يعطي 1 لكل أساس إلا الصفر. فـ 0⁰ لا قيمة متفقاً عليها له، و0 بأس سالب يعني القسمة على صفر.
- الأس الكسري جذر: المقام يقول أيّ جذر، والبسط هو القوة. فـ 8^(2/3) هو الجذر التكعيبي لـ 8 مربّعاً، أي 4.
- الكسر المرفوع إلى قوة يرفع جزأيه. فـ (2/3)³ هو 8/27 - والمقام يُكعَّب أيضاً، وهذه الخطوة أكثر ما يُتخطّى.
- إشارة الأساس السالب يحدّدها الأس وحده: فالأس الزوجي يزاوج إشارات السالب ويعطي جواباً موجباً، والفردي يترك واحدة.
- الأقواس تغيّر كل شيء. فـ (−2)⁴ يساوي 16 أما −2⁴ فيساوي −16، لأن القوة بلا أقواس تربط أقوى من إشارة السالب.
كيف تحسب قوة
انظر أولاً إلى إشارة الأس
إن كانت سالبة فاكتب المقلوب واجعل الأس موجباً: يصبح 2⁻³ هو 1/2³. وفعل هذا أولاً يمنع الخطأ الكلاسيكي بالإجابة −8.
انظر هل هو كسر
الأس الكسري جذر. الأسفل يختار الجذر والأعلى هو القوة: فـ x^(m/n) هو الجذر النوني لـ x^m.
تعامل مع أساس كسري
ارفع البسط والمقام كلاً على حدة. فـ (2/3)³ هو 2³ على 3³، أي 8/27.
اضرب ما بقي
الأس الصحيح الآن ضربٌ متكرر فقط. وانتبه للإشارة: عددٌ فردي من العوامل السالبة يترك جواباً سالباً.
أكمل المقلوب إن وُجد
اقلب الناتج الذي حسبته للتوّ. فـ 1/2³ هو 1/8 - وتحقّق من أن الجواب أقل من 1، وهو ما يعطيه الأس السالب دائماً مع أساس أكبر من 1.
القوى والقاعدة وراء كل واحدة
الحالات الأربع التي ليست ضرباً متكرراً بسيطاً، إلى جانب التي هي كذلك.
| القوة | القاعدة | الجواب الدقيق | بالعشري |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | ضرب متكرر | 32 | 32 |
| 2⁰ | أي أساس إلا 0 مرفوعاً للقوة 0 يساوي 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | الأس السالب مقلوب | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | ارفع الأعلى والأسفل | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | الأس الكسري جذر | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | الجذر يُبسَّط لا يُقرَّب | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | أس زوجي، إشارات السالب تتزاوج | 16 | 16 |
| (−2)³ | أس فردي، تبقى إشارة سالب واحدة | −8 | −8 |
أمثلة محلولة
أس سالب: 2⁻³
plain
2^-3ليس −8. الأس السالب يعني مقلوباً: فـ 2⁻³ هو 1/2³ = 1/8. والسبب القسمة - فـ 2² ÷ 2⁵ يساوي 1/8، وطرح الأسّين يعطي 2⁻³، فلا بدّ أن يتساويا. والجواب موجب وأقل من 1.
أساس كسري: (2/3)³
plain
(2/3)^3يُكعَّب الجزءان: 2³ على 3³، أي 8/27. ولو كُعّب البسط وحده - وهو زلل شائع جداً - لأعطى 8/3، أي أكبر من المطلوب بأكثر من 8 أمثال. وبالعشري هو 0.296… ولا ينتهي، فالكسر هو الجواب الصادق.
أس كسري: 9^(1/2)
plain
9^1/2القوة 1/2 جذر تربيعي، فهذا √9 = 3 بالضبط. والسبب: 9^(1/2) في 9^(1/2) يجمع الأسّين ويعطي 9¹، فلا بدّ أن يكون 9^(1/2) العددَ الذي مربّعه 9.
عندما لا يخرج الجذر: 8^(1/2)
plain
8^1/2الجذر √8 أصمّ، فيبقى الجواب جذراً - مبسّطاً إلى 2√2 بإخراج العامل المربّع 4. ويقف العشري 2.828… إلى جانبه كتقريب، لا بديلاً عنه أبداً.
إشارة الأساس السالب: (−2)⁴ و(−2)³
plain
(-2)^4أربعة عوامل سالبة تتزاوج في حاصلَي ضرب موجبين، فـ (−2)⁴ = 16. وثلاثة تترك إشارة سالب بلا شريك، فـ (−2)³ = −8. والأس وحده يحدّد الإشارة - ولاحظ أن −2⁴ بلا أقواس تعني −(2⁴) = −16، وهو سؤال آخر.
أخطاء شائعة
- قراءة الأس السالب كجواب سالب. فـ 2⁻³ هو 1/8 لا −8: إشارة السالب ترسل القوة إلى المقام ولا تسافر إلى الجواب.
- ضرب الأساس في الأس. فـ 2⁵ هو 32 لا 10. الأس يعدّ العوامل، وليس معاملَ ضرب.
- رفع بسط الكسر وحده. فـ (2/3)³ هو 8/27 لا 8/3 - والمقام يُكعَّب أيضاً.
- إسقاط الأقواس عن أساس سالب. فـ (−2)⁴ يساوي 16 بينما −2⁴ يساوي −16، لأن القوة تربط أقوى من إشارة السالب.
- الظنّ أن 0⁰ يساوي 1 أو 0. لا قيمة متفقاً عليها له؛ وتختار المجالات المختلفة اصطلاحات مختلفة، وهذه الصفحة ترفض بدل أن تختار واحدة.
- تقريب الجذر بدل تبسيطه. فـ 8^(1/2) هو 2√2 بالضبط؛ و2.83 تقريب يفقد فائدته في اللحظة التي تُربَّع فيها القيمة مرة أخرى.
أسئلة شائعة عن الأسس
ماذا يعني الأس السالب؟
مقلوباً. فـ x⁻ⁿ يساوي 1/xⁿ، فـ 2⁻³ يساوي 1/8 - عدد موجب أقل من 1. ويتبع من قسمة القوى: 2² ÷ 2⁵ يساوي 1/8، وطرح الأسّين يعطي 2⁻³، فلا بدّ أن يكونا الشيء نفسه.
لماذا أي شيء مرفوع للقوة صفر يساوي 1؟
لأن قسمة قوة على نفسها تعطي 1، وطرح الأسّين يعطي صفراً: 2³ ÷ 2³ = 1 وهو أيضاً = 2⁰. والاستثناء الوحيد 0⁰ ولا قيمة متفقاً عليها له - فالنمط الذي يفرض 1 يحتاج أساساً يجوز القسمة عليه.
ماذا يعني الأس الكسري؟
جذراً. المقام يقول أيّ جذر والبسط قوة: فـ x^(1/2) الجذر التربيعي، وx^(1/3) التكعيبي، وx^(2/3) الجذر التكعيبي لـ x مربّعاً. ويتبع من ضرب القوى: x^(1/2) في x^(1/2) يساوي x¹.
كيف أرفع كسراً إلى قوة؟
ارفع البسط والمقام كلاً على حدة: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27. وفعله في الأعلى وحده هو أكثر الأخطاء شيوعاً هنا، ويخطئ بمقدار المقام مرفوعاً إلى تلك القوة.
هل (−2)⁴ هو نفسه −2⁴؟
لا، ويستحق الحفظ. فـ (−2)⁴ يرفع −2 إلى القوة الرابعة ويعطي +16. وبلا أقواس تعني −2⁴ هو −(2⁴) = −16، لأن الرفع إلى قوة يحدث قبل تطبيق إشارة السالب. ضع الأساس السالب بين أقواس دائماً.
متى تكون قوة عدد سالب موجبة؟
عندما يكون الأس زوجياً. فكل زوج من العوامل السالبة يضرب إلى موجب، فالعدد الزوجي لا يترك شيئاً سالباً والفردي يترك إشارة سالب واحدة بالضبط. فـ (−3)² يساوي 9 و(−3)³ يساوي −27.
كم يساوي 2 مرفوعاً للقوة 1/2؟
الجذر التربيعي للعدد 2 وهو أصمّ - فالجواب الدقيق √2 و1.414… تقريب له فقط. وتحتفظ هذه الصفحة بالجذر وتبسّطه حيث تستطيع: فـ 8^(1/2) تُكتب 2√2 بدل أن تبقى √8.
هل تحسب هذه الحاسبة الجذور التكعيبية؟
تحسب أسس الجذر التربيعي بدقة والقوى الصحيحة لأي أساس، فـ x^(1/2) وx^(3) كلاهما يعمل. أما الجذور الكسرية الأخرى مثل x^(1/3) فهي أرض يغطيها مساق الرياضيات في Coddy بخطوات الجذر الخاصة به، حيث يكون طريق الحل نفسه هو ما يُدرَّس.
