ثلاثية بسيطة: x² - 5x + 6
plain
x^2 - 5x + 6عددان حاصل ضربهما 6 ومجموعهما -5: هما -2 و -3. فيكون (x - 2)(x - 3). عندما يكون المعامل الرئيسي 1 فهذه هي الطريقة كلها، ويستحق الأمر حل عشرة أمثلة حتى يظهر الزوجان دون بحث.
حاسبة التحليل إلى عوامل
أي متعددة حدود تُحلَّل، مع اسم النمط المستخدم في كل خطوة.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
التحليل إلى عوامل هو تمييز أنماط، والأنماط قابلة للعدّ
عند تحليل متعددة حدود لا يحدث أكثر من نحو ستة أشياء: يخرج عامل مشترك، أو ينفصل فرق بين مربعين، أو يتحول مربع كامل إلى قوس مربّع، أو تنقسم ثلاثية إلى قوسين، أو تُجمَّع أربعة حدود أزواجًا، أو يُفتح مجموع مكعبين أو فرقهما. كل ما سيُطلب منك تحليله في جبر المدرسة هو واحد من هذه، أو واحد منها مطبَّق مرتين.
لذلك فإن الشيء المفيد الذي يمكن لحاسبة أن تقوله ليس الجواب، بل أيّ نمط استخدمت ولماذا هذا النمط. هنا لكل سطر اسم. وعندما يظهر السؤال نفسه في اختبار، لن تحاول تذكّر ما قالته هذه الصفحة، بل ستبحث عن النمط الذي أشارت إليه.
الحساب مضبوط مع المعاملات الصحيحة والكسرية على حد سواء، والصفحة تتحقق من نفسها: السطر الأخير يضرب العوامل من جديد ويعرض المتعددة التي بدأت بها. هذا التحقق هو الجواب على «كيف أعرف أن هذا صحيح؟»، ويمكنك إجراؤه يدويًا على أي جواب من أي مصدر، دائمًا.
ما ينبغي ملاحظته في الخطوات
- ابحث أولًا عن عامل مشترك. المقدار 3x² - 27 ليس فرق مربعين قبل إخراج الـ3، ونصف حالات «لا يُحلَّل» هي في الحقيقة «لم أُخرج الـ3».
- حدّان: ابحث عن مربعات أو مكعبات. ثلاثة: ثلاثية أو مربع كامل. أربعة: جرّب التجميع. عدّ الحدود يستبعد معظم القائمة قبل أي محاولة.
- فرق المربعين ينفصل، ومجموع المربعين لا. المقدار x² - 9 يُحلَّل و x² + 9 لا يُحلَّل، وهذا التباين يستحق الحفظ بدلًا من إعادة اكتشافه.
- تحقّق بالضرب من جديد، وهو بالضبط ما يفعله السطر الأخير. يستغرق عشر ثوانٍ ويكشف كل خطأ في الإشارة.
- «لا يُحلَّل» جواب حقيقي. المقدار x² + x + 1 ليس له عوامل نسبية، ومعرفة موضع التوقف جزء من المهارة.
كيف تستخدم الحاسبة
اكتب المتعددة
اكتبها كما على الورق:
x^2 - 5x + 6،4x^2 - 12x + 9،x^3 - 8. استخدم^للقوى. حرف واحد أو حرفان (x^2 - y^2يعمل أيضًا).اقرأ الجواب ثم النمط
الصورة المحلَّلة في الأعلى. والخطوات المرقّمة تحتها تسمّي النمط المستخدم في كل خطوة، وهذا هو الجزء الذي ينتقل إلى السؤال التالي.
انظر إلى الأصفار
كل قوس على صورة (ax - b) يعطي صفرًا عند b/a. لهذا يحل التحليل المعادلات: الضرب يساوي صفرًا فقط عندما يساوي أحد عوامله صفرًا.
أجرِ التحقق بنفسك
السطر الأخير يضرب العوامل من جديد. غطّه، واحسبه ذهنيًا، ثم قارن؛ هذه العادة أنفع من الجواب.
الأنماط وكيف تميّزها
ستة أنماط تغطي التحليل المدرسي. عدّ الحدود أولًا: هذا يشطب معظم القائمة قبل أي محاولة.
| النمط | يبدو هكذا | يُحلَّل إلى |
|---|---|---|
| عامل مشترك | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| فرق بين مربعين | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| ثلاثية مربع كامل | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| ثلاثية بمعامل رئيسي 1 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| ثلاثية بمعامل رئيسي غير 1 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| التجميع (أربعة حدود) | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| فرق بين مكعبين | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| مجموع مكعبين | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| مجموع مربعين | x² + 9 | does not factor |
أمثلة محلولة
مربع كامل: 4x² - 12x + 9
plain
4x^2 - 12x + 9المقدار 4x² هو (2x)²، و9 هو 3²، والحد الأوسط يساوي بالضبط -2 × 2x × 3. فيكون (2x - 3)². كان يمكن معالجته كثلاثية والحصول على (2x-3)(2x-3)؛ تمييز المربع يوفّر هذا العمل، وهذا هو السبب الوحيد لتعلّم الأنماط.
فرق مربعين مع معاملات: 9x² - 4
plain
9x^2 - 4المأزق هنا هو عدم الملاحظة، لأن المربعين غير ظاهرين: 9x² هو (3x)² و4 هو 2². بعدها ينطبق النمط كالمعتاد فينتج (3x - 2)(3x + 2). حدّان بينهما إشارة سالبة يستحقان دائمًا هذا التحقق.
العامل المشترك أولًا: 3x² - 27
plain
3x^2 - 27كما هو مكتوب ليس فرق مربعين، لأن 3x² ليس مربعًا. أخرج الـ3 فيصبح 3(x² - 9) فرق مربعين، والنتيجة 3(x - 3)(x + 3). تجاهل العامل المشترك هو أشهر طريق إلى استنتاج خاطئ بأن المقدار لا يُحلَّل.
فرق مكعبين: x³ - 8
plain
x^3 - 8المقدار x³ - 8 هو x³ - 2³، فيكون (x - 2)(x² + 2x + 4). القوس التربيعي لا يُحلَّل أكثر على الأعداد النسبية، والصفحة تقول ذلك بدلًا من تركك في شك. لاحظ الإشارات: القوس الخطي يأخذ إشارة الأصل، والتربيعي يتبادل.
أخطاء شائعة
- عدم إخراج العامل المشترك أولًا. كل الأنماط الأخرى أوضح من دونه، وبعضها غير مرئي قبل ذلك.
- محاولة تحليل مجموع مربعين. المقدار x² + 4 ليس له عوامل نسبية؛ الفرق فقط هو الذي ينفصل.
- فقدان إشارة في زوج الثلاثية. العددان حاصل ضربهما هو الحد الثابت ومجموعهما هو المعامل الأوسط: الشرطان معًا في كل مرة.
- التوقف مبكرًا. المقدار x⁴ - 16 يصبح (x² - 4)(x² + 4)، والقوس الأول ما زال يُحلَّل إلى (x - 2)(x + 2).
- نسيان أن المربع الكامل هو قوس مربّع. كتابة (2x - 3)(2x - 3) ليست خطأ، لكن الجواب المطلوب هو (2x - 3)².
- الاختصار بدل التحليل. في (x² - 9)/(x + 3) لا يجوز حذف x² مع x: حلّل البسط، فيُختصر القوس المشترك.
أسئلة شائعة عن التحليل إلى عوامل
كيف أحلّل متعددة حدود إلى عوامل؟
أخرج أي عامل مشترك، ثم عُدّ الحدود. حدّان: فرق مربعين أو مجموع/فرق مكعبين. ثلاثة: مربع كامل أو زوج الثلاثية. أربعة: اجمعها أزواجًا. ثم تحقق إن كان أي قوس ما زال يُحلَّل. كل مسار تطبعه هذه الصفحة هو هذا الإجراء مطبَّقًا مرة أو مرتين.
كيف أحلّل ثلاثية مثل x² - 5x + 6؟
ابحث عن عددين حاصل ضربهما هو الحد الثابت ومجموعهما هو المعامل الأوسط: هنا 6 و -5، أي -2 و -3. العوامل هي (x - 2)(x - 3). وإذا لم يكن المعامل الرئيسي 1، استخدم الفكرة نفسها مع a×c بدلًا من c، وهو ما تسميه الخطوات طريقة ac.
وإذا لم تُحلَّل المتعددة؟
تقول الصفحة ذلك بصراحة، وبالنسبة لمقدار من الدرجة الثانية أو الثالثة بحرف واحد فهذا برهان لا تهرّب: إن لم يكن هناك جذر نسبي فلا يوجد عامل نسبي. المقدار x² + x + 1 مثال على ذلك. والمقدار التربيعي غير القابل للتحليل يُحل بالقانون العام، وهي صفحة أخرى.
هل يتعامل مع حرفين؟
نعم، للصور التي تُدرَّس: العامل المشترك (6x²y + 9xy² يصبح 3xy(2x + 3y))، وفرق المربعين (x² - y²)، ومجموع المكعبين وفرقهما (x³ + 8y³). وإذا انتهى جزء إلى حرف واحد، يتولّى من هناك المسار الكامل ذو المتغير الواحد.
لماذا يأتي الجواب مع سطر تحقق؟
لأن ضرب العوامل من جديد هو طريقة التحقق من التحليل، وعرضه لا يكلّف شيئًا. كما أنه يعلّم العادة التي تستحق البقاء: أي جواب من أي حاسبة أو من زميل يمكن التحقق منه بهذه الطريقة في عشر ثوانٍ.
هل التحليل هو نفسه الحل؟
ليس نفسه، لكنه معظمه. التحليل يعيد كتابة المقدار كحاصل ضرب، والحل يستخدم هذا الضرب لإيجاد الأصفار، لأن الضرب يساوي صفرًا فقط عندما يساوي أحد عوامله صفرًا. وسطر الأصفار تحت الجواب هو هذه الخطوة الأخيرة.
هل يمكن التحليل بمعاملات كسرية أو عشرية؟
نعم. المقدار x²/2 - 2 يُحلَّل إلى ½(x - 2)(x + 2)، و0.25x² - 1 يُقرأ ككسر مضبوط ¼ لا كعدد عشري مقرَّب. لا شيء هنا يُحسب بالفاصلة العائمة، فيبقى الكسر كسرًا حتى الجواب.
