العربية
المنحنى y = a·bˣ الذي يلائم بيانات النمو أو التضاؤل، مع المعدل لكل خطوة.
آخر تحديث
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
الخط المستقيم يضيف المقدار نفسه لكل خطوة في x. وأشياء كثيرة تُضرب بالعامل نفسه بدلًا من ذلك: المال بفائدة مركبة، ومزرعة بكتيريا، والشحنة الباقية في بطارية، وفرق الحرارة بين مشروب يبرد والغرفة. هذا النمط هو y = a·bˣ، حيث a القيمة عند x = 0 وb العامل المطبق في كل خطوة. إذا كانت b أكبر من 1 فالكمية تنمو، وإذا كانت بين 0 و1 فهي تتضاءل، و(b ناقص 1) نسبةً مئوية هو المعدل لكل خطوة.
الطريقة المعتادة لملاءمته هي أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكل y. فإذا كان y = a·bˣ فإن ln y = ln a + x·ln b، وهذا خط مستقيم في x. فتلائم الطريقة خط مربعات صغرى عاديًا للنقاط (x, ln y)، وتقرأ ln b من ميله وln a من مقطعه، ثم تلغي اللوغاريتمين. وهذا ما يفعله أمر ExpReg في TI-84 وخط الاتجاه الأسي في Excel، وتعرض هذه الصفحة كل مرحلة: عمود ln y، والخط الملائم، والدالتين الأسيتين اللتين تعيدان a وb.
لأن اللوغاريتمات أعداد غير نسبية، فهذه حاسبة الانحدار الوحيدة في المجموعة التي إجاباتها أعداد عشرية مقرّبة لا كسور دقيقة، وهي تقول ذلك بجانب النتيجة. وتحتاج أيضًا أن تكون كل y أكبر من 0، إذ لا وجود للوغاريتم الصفر أو لوغاريتم عدد سالب. وr² المعروض هو r² لملاءمة الخط المستقيم لـ ln y، وهو الرقم الذي تعطيه الآلة الحاسبة البيانية.
استبدل كل y بـ ln y. فمع x = 0, 1, 2, 3, 4 وy = 3, 6, 12, 24, 48 يكون العمود الجديد نحو 1.0986 و1.7918 و2.4849 و3.1781 و3.8712.
استعمل صيغتي الميل والمقطع العاديتين بطريقة المربعات الصغرى على النقاط (x, ln y). هنا الميل نحو 0.6931 والمقطع نحو 1.0986.
الميل هو ln b والمقطع هو ln a، فـ b = e مرفوعًا إلى الميل وa = e مرفوعًا إلى المقطع. هنا b ≈ e^0.6931 = 2 وa ≈ e^1.0986 = 3.
y ≈ 3·2ˣ، أو y ≈ 3e^(0.6931x) بالأساس e. وb = 2 تعني أن كل خطوة تضرب y في 2: نمو بنسبة 100% لكل خطوة، وزمن تضاعف خطوة واحدة بالضبط.
كل صف مجموعة بيانات أُدخلت في الحاسبة أعلاه. كل القيم مقرّبة إلى أربع منازل عشرية.
| قيم x | قيم y | المنحنى الأفضل ملاءمة | التغير لكل خطوة | r² لـ ln y |
|---|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3, 4 | 3, 6, 12, 24, 48 | y ≈ 3 · 2ˣ | +100% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 100, 82, 67, 55, 45, 37 | y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ | -18.05% | 1.0000 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36 | y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ | +103.13% | 0.9999 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625 | y ≈ 1000 · 1.05ˣ | +5% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 5, 4, 3, 2, 1 | y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ | -32.38% | 0.9473 |
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48كل y ضعف التي قبلها، فالنقاط تقع تمامًا على y = 3·2ˣ، وتعيد الحاسبة a ≈ 3 وb ≈ 2، أي نموًا بنسبة 100% لكل خطوة، مع r² = 1. وبالأساس e يكون المنحنى نفسه y ≈ 3e^(0.6931x)، و0.6931 هو ln 2. وإذا مددته إلى x = 6 يتوقع 3·2⁶ = 192.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37اقرأ y على أنها فرق الحرارة عن الغرفة، مقيسًا كل خمس دقائق. الملاءمة y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ، أو y ≈ 99.9517e^(-0.1991x): يختفي نحو 18.05% من الفرق في كل خطوة، وعمر النصف ln 2 / 0.1991، أي نحو 3.48 خطوة. وملاءمة اللوغاريتم شبه تامة: r² يساوي 0.99999 إلى خمس منازل، وتقرّبه الحاسبة إلى 1.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36القيم تتضاعف تقريبًا في كل خطوة دون أن تفعل ذلك بالضبط. الملاءمة y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ، أي نمو بنحو 103.13% لكل خطوة، مع r² ≈ 0.9999 على المقياس اللوغاريتمي. وبالأساس e يكون k ≈ 0.7087، فزمن التضاعف ln 2 / 0.7087، أي نحو 0.98 خطوة.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625رصيد 1000 يكسب 5% سنويًا. تستعيد الحاسبة y ≈ 1000 · 1.05ˣ، أي تغيرًا بنسبة +5% لكل خطوة، مع r² = 1. واستخراج سعر الفائدة من قائمة أرصدة هو بالضبط ما وُضعت له هذه الملاءمة.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1هذه النقاط تنقص بالمقدار نفسه في كل خطوة، فهي تقع على خط مستقيم، y = -x + 5. ومع ذلك تعيد الملاءمة الأسية y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ مع r² ≈ 0.9473 على المقياس اللوغاريتمي، وهذا يبدو مقبولًا. ارسم المنحنى مقابل النقاط فتجده يخطئ عند الطرفين: الخط المستقيم هو النموذج الصحيح هنا، والانحدار الخطي يلائمه تمامًا.
