العربية
القطع المكافئ الأفضل ملاءمة لنقاطك، بمعاملات دقيقة ومع R².
آخر تحديث
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
بعض البيانات يرتفع ثم ينخفض، أو ينخفض ثم يرتفع: ارتفاع كرة مقذوفة، والربح عند أسعار مختلفة، والوقود الذي تستهلكه سيارة عند سرعات مختلفة. والخط المستقيم عبر بيانات كهذه شكله خطأ مهما أُحسن وضعه. فيلائم الانحدار التربيعي قطعًا مكافئًا بدلًا منه، y = ax² + bx + c، ويختار a وb وc بحيث يكون مجموع مربعات الأخطاء الرأسية عن النقاط أصغر ما يمكن. إنها فكرة المربعات الصغرى نفسها التي في الانحدار الخطي، مع معامل إضافي يُختار.
تصغير مربعات الأخطاء يؤدي إلى ثلاث معادلات في a وb وc، تُسمّى المعادلات الطبيعية، مبنية من مجاميع x وx² وx³ وx⁴ وy وxy وx²y. الآلة الحاسبة البيانية تحلها بأعداد عشرية تقريبية. وهذه الصفحة تحلها بكسور دقيقة، فيُطبع المعامل -8/7 على صورة -8/7 لا -1.142857، ويكون R² كسرًا دقيقًا أيضًا.
القيمة المتوقعة والباقي لكل نقطة مسردان تحت الإجابة. والملاءمة التربيعية الجيدة تترك بواقي تبدو كضوضاء، متناثرة فوق الصفر وتحته بلا نمط. فإن ظلت تنحني، أو تكبر بثبات عبر الجدول، فالقطع المكافئ ليس الشكل الصحيح أيضًا، ويستحق نموذج آخر التجربة.
لكل نقطة احسب x وx² وx³ وx⁴ وy وxy وx²y، ثم اجمع كل عمود وعُدّ النقاط. فمع x = 0, 1, 2, 3 وy = 1, 2, 5, 11: n = 4 وΣx = 6 وΣx² = 14 وΣx³ = 36 وΣx⁴ = 98 وΣy = 19 وΣxy = 45 وΣx²y = 121.
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y، وaΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy، وaΣx² + bΣx + cn = Σy. وبالمجاميع أعلاه: 98a + 36b + 14c = 121، و36a + 14b + 6c = 45، و14a + 6b + 4c = 19.
احذف مجهولًا في كل مرة، مع إبقاء الكسور دقيقة. هذا النظام يعطي a = 1.25 وb = -0.45 وc = 1.05، فالمنحنى y = 1.25x² - 0.45x + 1.05.
عوّض كل x في المنحنى واطرح القيمة المتوقعة من y الفعلية. هنا البواقي -0.05 و0.15 و-0.15 و0.05، ومجموع مربعاتها 0.05، وR² = 1214/1215، أي نحو 0.9992.
كل صف مجموعة بيانات أُدخلت في الحاسبة أعلاه، مع المعاملات الدقيقة وR² الذي تعطيه.
| قيم x | قيم y | القطع المكافئ الأفضل ملاءمة | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11المعادلات الطبيعية تعطي a = 1.25 وb = -0.45 وc = 1.05، فالمنحنى y = 1.25x² - 0.45x + 1.05. والقيم المتوقعة 1.05 و1.85 و5.15 و10.95، والبواقي -0.05 و0.15 و-0.15 و0.05، وR² = 1214/1215، أي نحو 0.9992.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8القطع المكافئ الأفضل ملاءمة هو y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 مع R² = 887/917، أي نحو 0.9673. ولأن a سالبة فللمنحنى قمة، عند x = 33/8 = 4.125 وy = 697/56، أي نحو 12.45. والخط المستقيم عبر النقاط نفسها لا يبلغ إلا r² = 375/917، أي نحو 0.4089، لأنه لا يستطيع الانعطاف.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2ارتفاعات بالأمتار كل ثانية. الملاءمة تامة: y = -5x² + 20x + 2، وكل باقٍ 0 وR² = 1. العدد -5 نصف تسارع الجاذبية مقرّبًا إلى 10 م/ث²، و20 سرعة الإطلاق، و2 ارتفاع الإطلاق. والقمة عند x = 2 وy = 22.
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4هذه قيم (x - 1)²، والحاسبة تعيد y = x² - 2x + 1، أي القطع المكافئ نفسه بعد فك الأقواس، مع R² = 1 وكل باقٍ 0. وهي طريقة سريعة للتحقق من أن مجموعة قيم تأتي حقًا من دالة تربيعية واحدة.
