Menu
Coddy logo textMath
ابدأ التعلم
flag Ar iconالعربيةdown icon

حاسبة فترة الثقة

فترة للمتوسط أو للنسبة عند 90 أو 95 أو 99%، مع حساب هامش الخطأ.

بقلم Nethanel Bar, الشريك المؤسس والرئيس التنفيذي

آخر تحديث

تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟

دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.

ابدأ مجانًا

فترة الثقة تقدير مرفق به قدر عدم يقينه

متوسط العينة تخمين لمتوسط المجتمع، والتخمين بلا مدى تخمين لا يمكنك التحقق منه. فترة الثقة هي ذلك المدى: التقدير، زائد وناقص هامش خطأ. الهامش هو قيمة حرجة مضروبة في خطأ معياري، وكل من هذين العاملين يجيب عن سؤال مختلف. الخطأ المعياري هو مقدار تحرك التقدير من عينة إلى أخرى؛ والقيمة الحرجة هي كم من تلك الأخطاء المعيارية تمتد الفترة لتبلغ مستوى الثقة الذي طلبته.

للمتوسط تتبع الصفحة الوصفة القياسية. من البيانات الخام تحسب المتوسط والانحراف المعياري للعينة بالضبط، مع الاحتفاظ بالانحراف المعياري كجذر؛ ومن الملخص تأخذ أرقامك كما هي. وعندما يكون الانحراف المعياري مقدرًا من العينة، تأتي القيمة الحرجة من منحنى t بـ n ناقص 1 درجة حرية، وهو الخيار الأمين والافتراضي هنا؛ ونسخة z على بعد ضغطة لسيغما معروفة أو n كبيرة. للنسبة تعطي الصفحة فترتين: فترة والد، وهي الموجودة في معظم الكتب المدرسية، وفترة ويلسون، وهي التي ينبغي الإبلاغ عنها، لأن والد تسيء التصرف عندما تكون النسبة قريبة من 0 أو 1 أو تكون العينة صغيرة.

تُرسم الفترة على خط أعداد تحت الجواب، مع تعليم التقدير، لأن صورة الفترة تقول شيئًا لا يقوله زوج من الأرقام: ما عرضها نسبة إلى موقعها. فترة لمتوسط تمتد من 4.9 إلى 5.1 وأخرى تمتد من 2 إلى 8 كلتاهما فترتان؛ لكن واحدة منهما فقط تستحق الإبلاغ عنها بثلاث منازل عشرية.

ما يجب أن تعرفه عن فترات الثقة

  • «واثق بنسبة 95%» عبارة عن الطريقة، لا عن هذه الفترة. ابنِ فترات بهذه الطريقة مرات كثيرة وسيحتوي نحو 95% منها على القيمة الحقيقية؛ أما أي فترة بمفردها فإما تحتويها أو لا.
  • مستوى أعلى، فترة أعرض. فترة 99% تمتد نحو 2.6 خطأ معياري بدل 2، فهي أعرض بالثلث من فترة 95% للبيانات نفسها.
  • العرض ينكمش مع الجذر التربيعي لـ n. أربعة أضعاف البيانات تُنصّف هامش الخطأ؛ ومئة ضعف تقلصه إلى العُشر.
  • استخدم t عندما تكون سيغما مقدرة من العينة. مع n = 10 تكون القيمة الحرجة لـ t عند 95% هي 2.26 لا 1.96، والتظاهر بغير ذلك يجعل الفترة أضيق مما ينبغي.
  • للنسبة، أبلغ عن ويلسون. فترة والد قد تنزل تحت 0 أو تتجاوز 1 وهي غير موثوقة مع أقل من نحو 10 نجاحات أو إخفاقات؛ أما ويلسون فتبقى داخل المدى الممكن وتحافظ على تغطيتها الموعودة.

كيف تبني فترة ثقة

  1. احسب التقدير

    متوسط العينة، أو نسبة العينة. احتفظ به بالضبط إن استطعت؛ الصفحة تفعل ذلك.

  2. احسب الخطأ المعياري

    للمتوسط، الانحراف المعياري على جذر n. وللنسبة، جذر p(1 − p) على n.

  3. ابحث عن القيمة الحرجة

    لمتوسط بسيغما مقدرة، من منحنى t بـ n ناقص 1 درجة حرية عند مستواك. ولسيغما معروفة أو لنسبة، من المنحنى الطبيعي: 1.645 أو 1.960 أو 2.576 لـ 90 أو 95 أو 99%.

  4. اضرب للحصول على الهامش، ثم اجمع واطرح

    هامش الخطأ يساوي القيمة الحرجة مضروبة في الخطأ المعياري. والفترة من التقدير ناقص الهامش إلى التقدير زائد الهامش.

القيم الحرجة لفترة الثقة

كم خطأً معياريًا تمتد الفترة على جانبي التقدير.

المستوىzt، df = 5t، df = 10t، df = 30
90%1.6452.0151.8121.697
95%1.9602.5712.2282.042
99%2.5764.0323.1692.750

أمثلة محلولة

متوسط من ملخص

plain
x̄ = 50, s = 10, n = 25, 95%

الخطأ المعياري هو 10 على 5، أي 2. مع 24 درجة حرية تكون القيمة الحرجة لـ t عند 95% هي 2.064، فهامش الخطأ نحو 4.13 والفترة تمتد من 45.87 إلى 54.13. استخدام z بدلًا منها كان سيعطي 1.96 مضروبة في 2، أي هامش 3.92، وهو أضيق قليلًا مما ينبغي لعينة من 25.

متوسط من بيانات خام

plain
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

المتوسط 5 بالضبط والانحراف المعياري للعينة 4√14/7، نحو 2.138. القسمة على جذر 8 تعطي خطأً معياريًا نحو 0.756؛ ومع 7 درجات حرية تكون قيمة t هي 2.365، وفترة 95% نحو 3.21 إلى 6.79.

نسبة

plain
40 successes in 100 trials

نسبة العينة 0.4. فترة والد هي 0.4 زائد أو ناقص 1.96 مضروبة في 0.049، أي من 0.304 إلى 0.496. وفترة ويلسون من 0.309 إلى 0.498: مزاحة قليلًا نحو الوسط، وهذا هو التصحيح الذي يبقيها أمينة عند الأطراف. مع 40 و60 وكلاهما فوق 10 بكثير تتقارب الفترتان؛ ومع 3 نجاحات في 10 لن تتقاربا.

أخطاء شائعة في فترة الثقة

  • القول إن هناك احتمالًا بنسبة 95% أن المتوسط الحقيقي في هذه الفترة. العبارة الاحتمالية عن الإجراء عبر عينات متكررة، لا عن فترة واحدة ثابتة.
  • استخدام z مع عينة صغيرة. تحت نحو n = 30 مع سيغما مقدرة من البيانات، تكون القيمة الحرجة لـ t أكبر بشكل ملحوظ وفترة z أضيق مما ينبغي.
  • الإبلاغ عن فترة والد لنسبة نادرة. مع نجاحين في 20 تنزل فترة والد تحت الصفر؛ أما فترة ويلسون فلا، وهي التي تُكتب.
  • القسمة على n بدل جذر n في الخطأ المعياري. سيكون الهامش أصغر بكثير مما ينبغي.
  • قراءة الفترة الضيقة على أنها صحيحة. العرض دقة لا صواب؛ والعينة المتحيزة تعطي فترة ضيقة حول الرقم الخطأ.
  • مقارنة فترتين متداخلتين والاستنتاج بعدم وجود فرق. فترتان بمستوى 95% يمكن أن تتداخلا بينما يكون الفرق بين المتوسطين دالًا؛ اختبر الفرق مباشرة.

أسئلة شائعة عن فترة الثقة

كيف أحسب فترة ثقة 95%؟
خذ متوسط العينة، واحسب الخطأ المعياري بقسمة الانحراف المعياري على الجذر التربيعي لـ n، واضرب في القيمة الحرجة لـ 95% (1.96 لـ z، أو قيمة t لـ n ناقص 1 درجة حرية عندما يكون الانحراف المعياري مقدرًا)، ثم أضف ذلك الهامش إلى المتوسط واطرحه منه. الصفحة تجري كل واحدة من هذه الخطوات في سطر منفصل.
ماذا تعني فترة ثقة 95% فعليًا؟
أن الطريقة التي تنتجها تلتقط القيمة الحقيقية 95% من المرات عبر عينات متكررة. لا تعني أن هناك احتمالًا بنسبة 95% أن القيمة الحقيقية في هذه الفترة بعينها؛ فتلك القيمة ثابتة، والفترة إما تحتويها أو لا. القراءة العملية: القيم داخلها متسقة مع البيانات، والقيم خارجها ليست كذلك.
متى أستخدم t بدل z في فترة الثقة؟
استخدم t كلما كان الانحراف المعياري مقدرًا من العينة نفسها، وهذه هي الحالة المعتادة. واستخدم z عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع معروفًا، أو كتقريب عندما تكون n كبيرة، فوق بضع مئات. مع n = 10 يكون الفرق 2.26 مقابل 1.96، وهذا أكبر من أن يُتجاهل.
ما هامش الخطأ؟
نصف عرض الفترة: القيمة الحرجة مضروبة في الخطأ المعياري. هو «زائد أو ناقص» الذي تذكره الاستطلاعات. هامش 3% على نتيجة 52% يعني أن الفترة تمتد من 49% إلى 55%.
لماذا تعرض الصفحة فترتين للنسبة؟
فترة والد هي صيغة الكتاب المدرسي، p زائد أو ناقص z مضروبة في جذر p(1 − p) على n؛ وهي بسيطة وهي ما تدرّسه معظم المقررات. أما فترة ويلسون فتصحح إخفاقات والد المعروفة قرب 0 و1 وفي العينات الصغيرة، وهي ما يوصي الإحصائيون بالإبلاغ عنه. تُعرض الاثنتان لترى جواب الكتاب والجواب الأفضل.
ما حجم العينة الذي أحتاجه لهامش خطأ معين؟
أعد ترتيب صيغة الهامش: n = (z × σ / E)². وللنسبة في أسوأ حالة p = 0.5، n = (z / (2E))²، فهامش 3% عند 95% يحتاج إلى نحو 1,068 شخصًا. وتنصيف الهامش يضاعف العينة أربع مرات.
هل تستطيع فترة الثقة أن تخبرني إن كانت النتيجة دالة؟
نعم، في اتجاه واحد: إذا استبعدت فترة 95% لفرق ما الصفر، فالفرق دال عند مستوى 5%، وإذا استبعدت فترة لمتوسط القيمة المفترضة، فاختبار العينة الواحدة يرفضها. والفترة تخبرك أيضًا بحجم الأثر، وهذا ما لا يفعله الاختبار وحده.

أدوات رياضيات أخرى

حاسبة الانحراف المعياري

جدول الانحرافات سطراً سطراً - الجزء الذي تُقيَّم عليه فعلاً.

حاسبة المتوسط والوسيط والمنوال

المقاييس الثلاثة مع المدى والأرباع، وطريقة الوصول إلى كل منها.

حاسبة القيمة الاحتمالية p

من إحصاءة z أو t أو مربع كاي إلى قيمتها الاحتمالية، مع رسم الذيل وشرح القرار.

حاسبة الدرجة المعيارية z

كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط، بدقة، مع المئين الذي تقع عنده.

Coddy programming languages illustration

تعلّم الرياضيات مع Coddy

ابدأ الآن