קבוצת הנתונים מספר הלימוד
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5המונה בנוסחה הוא 30 והסוגריים במכנה הם 50 ו־30, ולכן r = 30 / √1500 = √15/5, בערך 0.7746. r² = 0.6 בדיוק. התווית היא חזק חיובי, וקו ההתאמה הטוב ביותר הוא y = 0.6x + 2.2.
מחשבון מקדם מתאם
מקדם המתאם r של פירסון מהנתונים שלכם, מדויק כשורש, עם העוצמה שלו והחישוב שמאחוריו.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
r מודד עד כמה הנקודות צמודות לקו ישר
מקדם המתאם r הוא מספר יחיד בין -1 ל־1. הסימן שלו הוא כיוון המגמה: חיובי כש־y נוטה לעלות כש־x עולה, שלילי כשהוא נוטה לרדת. הגודל שלו הוא עד כמה הנקודות צמודות לקו ישר: 1 או -1 כשכל נקודה יושבת על קו אחד, 0 כשאין שום מגמה של קו ישר. אין לו יחידות, ולכן הוא לא משתנה כשמודדים את x בסנטימטרים במקום במטרים.
החישוב הוא זה שקורס סטטיסטיקה מבקש להראות. בנו טבלה עם x, y, xy, x² ו־y², סכמו כל עמודה, והציבו את הסכומים ב־r = (nΣxy פחות ΣxΣy) חלקי השורש של (nΣx² פחות (Σx)²) כפול (nΣy² פחות (Σy)²). הדף מדפיס את הטבלה הזו ואת הנוסחה המוצבת מתחת לתשובה, כך שהמספר מגיע יחד עם הפתרון שלו.
התשובה מדויקת. הריבוע של r הוא תמיד שבר עבור נתונים שאפשר להקליד, ולכן r עצמו הוא שורש של שבר עם סימן, וזה מה שהדף מדפיס: √15/5 עבור קבוצת הנתונים מספר הלימוד ולא 0.77, שהן רק שתי ספרות ממנו. הערך העשרוני מופיע לצד השורש, ותווית העוצמה קוראת אותו מול הספים שמפורטים למטה.
איך קוראים את r
- הסימן הוא הכיוון והגודל הוא העוצמה. r = -0.95 הוא קשר חזק יותר מ־r = 0.6; הוא פשוט הולך לכיוון השני.
- הדף מסווג |r| של 0.7 ומעלה כחזק, 0.4 עד 0.7 כבינוני, 0.1 עד 0.4 כחלש ומתחת ל־0.1 כהיעדר מתאם לינארי. זו מוסכמה נפוצה, לא חוק; כל תחום קובע את הרף שלו.
- r² הוא החלק מהשונות ב־y שקו ההתאמה הטוב ביותר מסביר. r = √15/5 נותן r² = 0.6: הקו מסביר 60% מהשונות.
- r מודד רק קשרים של קו ישר. לנקודות שיושבות בדיוק על y = x² מ־x = -2 עד 2 יש r = 0.
- ערך חריג אחד יכול לשנות את r לגמרי. הוסיפו את הנקודה (10, 0) לקבוצת הנתונים מספר הלימוד ו־r עובר מכ־0.7746 לכ־-0.5529.
- r לא משתנה כשמשנים קנה מידה של אחד המשתנים או מחליפים בין x ל־y. קו ההתאמה הטוב ביותר כן משתנה כשמחליפים ביניהם; r לא.
איך מחשבים מקדם מתאם ידנית
בנו את טבלת הסכומים
לכל נקודה רשמו x, y, xy, x² ו־y², ואז סכמו כל עמודה וספרו את הנקודות. עבור x = 1, 2, 3, 4, 5 ו־y = 2, 4, 5, 4, 5 מתקבל n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 ו־Σy² = 86.
חשבו את המונה
nΣxy פחות ΣxΣy = 5 × 66 פחות 15 × 20 = 30. הסימן שלו הוא הסימן של r.
חשבו את שני הסוגריים במכנה
nΣx² פחות (Σx)² = 275 פחות 225 = 50, ו־nΣy² פחות (Σy)² = 430 פחות 400 = 30. שניהם תמיד חיוביים, אלא אם כל ערכי x או כל ערכי y זהים.
חלקו ופשטו
r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5. כמספר עשרוני זה בערך 0.7746, מתאם חיובי חזק.
קריאת r במבט אחד
התוויות הן אלה שהמחשבון מדפיס. r² הוא r כפול עצמו, כך שהסימן נעלם.
| r | תווית | r² | איך נראית דיאגרמת הפיזור |
|---|---|---|---|
| 1 | מושלם חיובי | 1 | כל הנקודות על קו עולה אחד |
| 0.9 | חזק חיובי | 0.81 | רצועה צרה שמטפסת ימינה |
| 0.7 | חזק חיובי | 0.49 | רצועה עולה ברורה עם מעט פיזור |
| 0.5 | בינוני חיובי | 0.25 | מגמה עולה עם הרבה פיזור |
| 0.2 | חלש חיובי | 0.04 | נטייה שהייתם מפספסים בלי המספר |
| 0.05 | אין מתאם לינארי | 0.0025 | ענן חסר צורה, או עקומה |
| -0.8 | חזק שלילי | 0.64 | רצועה ברורה שיורדת ימינה |
| -1 | מושלם שלילי | 1 | כל הנקודות על קו יורד אחד |
דוגמאות פתורות
מתאם שלילי חזק
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2המונה הוא -168 והסוגריים הם 105 ו־296, ולכן r = -168 / √31080 = -2√7770/185, בערך -0.9529. r² = 168/185, בערך 0.9081. כש־x עולה, y יורד באופן עקבי; הנקודה היחידה ששוברת את הדפוס, (3, 9), לא מספיקה כדי להחליש אותו הרבה.
מתאם חלש
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5r = √2/4, בערך 0.3536, ו־r² = 0.125, כך שקו ישר מסביר שמינית מהשונות ב־y. התווית היא חלש חיובי: יש נטייה כלפי מעלה, אבל דיאגרמת פיזור הייתה מראה בעיקר רעש.
קשר מושלם עם r = 0
plain
x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4כל נקודה נמצאת על y = x², ובכל זאת r = 0 בדיוק. המונה בנוסחה הוא 5 × 0 פחות 0 × 10 = 0: החצי השמאלי היורד מבטל את החצי הימני העולה. r מודד רק קשרים של קו ישר, ולכן דיאגרמת הפיזור באה קודם.
מה עושה ערך חריג אחד
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0זו קבוצת הנתונים מספר הלימוד עם נקודה נוספת אחת ב־(10, 0). r יורד מכ־0.7746 ל־-52√8845/8845, בערך -0.5529: הנקודה הבודדת רחוקה מספיק כדי להפוך את הסימן. אותו דבר עובד גם בכיוון ההפוך: x = 1 עד 5 עם y = 3, 1, 4, 1, 5 נותן r ≈ 0.3536, והוספת (12, 12) מעלה אותו לכ־0.9084.
טעויות נפוצות
- להעלות בריבוע את הסכום במקום לסכם את הריבועים. Σx² עבור x = 1 עד 5 הוא 55; (Σx)² הוא 225. בלבול ביניהם יכול לתת r גדול מ־1, וזה בלתי אפשרי.
- לקרוא r = 0 כהיעדר קשר. המשמעות היא היעדר קשר של קו ישר; הנקודות עדיין יכולות לשבת בדיוק על עקומה.
- להתייחס ל־r חזק כהוכחה לסיבתיות. שני גדלים יכולים לעלות יחד כי גורם שלישי משפיע על שניהם, או במקרה.
- להשוות ערכי r לפי הסימן. -0.9 חזק יותר מ־0.6. השוו גדלים, וקראו את הסימן בנפרד ככיוון.
- לצטט את r בלי להסתכל על הגרף. ערך חריג אחד יכול להפוך את הסימן, ועקומה יכולה להסתתר מאחורי ערך גבוה.
- לעגל את r ואז להעלות אותו בריבוע. r ≈ 0.77 נותן 0.5929, אבל r² הוא בדיוק 0.6 עבור קבוצת הנתונים מספר הלימוד. העלו בריבוע את הערך המדויק.
שאלות נפוצות על מקדם מתאם
איך מחשבים מקדם מתאם?
בנו טבלה עם x, y, xy, x² ו־y² לכל נקודה וסכמו כל עמודה. אז r = (nΣxy פחות ΣxΣy) / √((nΣx² פחות (Σx)²)(nΣy² פחות (Σy)²)). עבור x = 1 עד 5 ו־y = 2, 4, 5, 4, 5 זה 30 / √(50 × 30) = √15/5, בערך 0.7746. הדביקו את העמודות שלכם למעלה והדף ימלא את הנוסחה באותה דרך.
מהו מקדם מתאם חזק?
המחשבון הזה קורא ל־|r| של 0.7 ומעלה חזק, 0.4 עד 0.7 בינוני, 0.1 עד 0.4 חלש, ומתחת ל־0.1 היעדר מתאם לינארי. אלה ספים נפוצים בספרי לימוד, לא אוניברסליים: במעבדת פיזיקה 0.9 יכול לאכזב, ובמדעי החברה 0.4 יכול להיות תוצאה משמעותית.
מה ההבדל בין r ל־r בריבוע?
ל־r יש סימן ול־r² אין. r מספר על כיוון ועוצמה; r² מספר על החלק מהשונות ב־y שקו ההתאמה הטוב ביותר מסביר. r = 0.7746 נותן r² = 0.6, כלומר הקו מסביר 60% מהשונות ומשאיר 40% כפיזור.
האם מקדם מתאם יכול להיות גדול מ־1?
לא. r תמיד נמצא בין -1 ל־1 ומגיע לאחד הקצוות רק כשכל נקודה נמצאת על קו ישר אחד. תשובה מעל 1 אומרת שאחד הסכומים שגוי, לרוב Σx² שחושב כ־(Σx)².
האם מתאם גבוה אומר שדבר אחד גורם לשני?
לא. המשמעות היא ששניהם זזים יחד בנתונים האלה. גורם שלישי יכול להניע את שניהם, כמו שמזג אוויר חם מעלה גם את מכירות הגלידה וגם את תאונות השחייה, או שהסיבתיות יכולה ללכת לכיוון ההפוך. הוכחת סיבתיות דורשת ניסוי או טיעון על המנגנון.
האם זה מתאם פירסון או מתאם ספירמן?
r של פירסון, מקדם המתאם הרגיל, שמודד עד כמה קו ישר מתאים לערכים עצמם. המקדם של ספירמן מפעיל את אותה נוסחה על הדירוגים של הערכים, ולכן הוא מודד כל קשר שעולה או יורד באופן עקבי ורגיש פחות לערכים חריגים.
למה r מוצג כשורש?
כי זה הערך המדויק שלו. r² הוא תמיד שבר עבור נתונים שאפשר להקליד, ולכן r הוא השורש של השבר הזה עם סימן: √15/5 עבור קבוצת הנתונים מספר הלימוד. הערך העשרוני 0.7746 מודפס לצדו כקירוב, ואותו קוראת תווית העוצמה.
כמה נקודות צריך?
לפחות שלוש כאן. עם שתי נקודות r הוא תמיד 1 או -1, כי קו עובר דרך כל שתי נקודות, ולכן המספר לא אומר כלום על הנתונים. גם עם קומץ נקודות r יכול לזוז הרבה, אז התייחסו ל־r מחמש נקודות כקריאה גסה.
