עברית
הפרבולה המתאימה ביותר דרך הנקודות שלכם, עם מקדמים מדויקים ו-R².
עדכון אחרון
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
יש נתונים שעולים ואז יורדים, או יורדים ואז עולים: הגובה של כדור שנזרק, הרווח במחירים שונים, הדלק שמכונית שורפת במהירויות שונות. קו ישר דרך נתונים כאלה הוא הצורה הלא נכונה, לא משנה כמה טוב הוא ממוקם. רגרסיה ריבועית מתאימה במקומו פרבולה, y = ax² + bx + c, ובוחרת את a, b ו־c כך שסכום ריבועי ההחטאות האנכיות מהנקודות יהיה קטן ככל האפשר. זה אותו רעיון של ריבועים פחותים כמו ברגרסיה לינארית, עם מקדם אחד נוסף לבחור.
מזעור ריבועי ההחטאות מוביל לשלוש משוואות ב־a, b ו־c, שנקראות המשוואות הנורמליות, ובנויות מהסכומים של x, x², x³, x⁴, y, xy ו־x²y. מחשבון גרפי פותר אותן בנקודה צפה. הדף הזה פותר אותן בשברים מדויקים, כך שמקדם של -8/7 מודפס כ־-8/7 ולא כ־-1.142857, וגם R² הוא שבר מדויק.
הערך החזוי והשארית של כל נקודה מופיעים מתחת לתשובה. התאמה ריבועית טובה משאירה שאריות שנראות כמו רעש, מפוזרות מעל ומתחת לאפס בלי דפוס. אם הן עדיין מתעקלות, או גדלות בהתמדה לאורך הטבלה, גם פרבולה היא לא הצורה הנכונה, וכדאי לנסות מודל אחר.
לכל נקודה חשבו x, x², x³, x⁴, y, xy ו־x²y, ואז סכמו כל עמודה וספרו את הנקודות. עבור x = 0, 1, 2, 3 ו־y = 1, 2, 5, 11: n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45 ו־Σx²y = 121.
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy, ו־aΣx² + bΣx + cn = Σy. עם הסכומים שלמעלה: 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45, ו־14a + 6b + 4c = 19.
בטלו משתנה אחד בכל פעם, ושמרו על שברים מדויקים. המערכת הזו נותנת a = 1.25, b = -0.45 ו־c = 1.05, ולכן y = 1.25x² - 0.45x + 1.05.
הציבו כל x בעקומה והחסירו את החיזוי מה־y האמיתי. כאן השאריות הן -0.05, 0.15, -0.15 ו־0.05, סכום הריבועים שלהן הוא 0.05, ו־R² = 1214/1215, בערך 0.9992.
כל שורה היא קבוצת נתונים אחת שהוקלדה במחשבון שלמעלה, עם המקדמים המדויקים וה־R² שהוא מדווח.
| ערכי x | ערכי y | פרבולת ההתאמה הטובה ביותר | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11המשוואות הנורמליות נותנות a = 1.25, b = -0.45 ו־c = 1.05, ולכן y = 1.25x² - 0.45x + 1.05. החיזויים הם 1.05, 1.85, 5.15 ו־10.95, השאריות -0.05, 0.15, -0.15 ו־0.05, ו־R² = 1214/1215, בערך 0.9992.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8פרבולת ההתאמה הטובה ביותר היא y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 עם R² = 887/917, בערך 0.9673. מכיוון ש־a שלילי, לעקומה יש שיא, ב־x = 33/8 = 4.125 ו־y = 697/56, בערך 12.45. קו ישר דרך אותן נקודות מגיע רק ל־r² = 375/917, בערך 0.4089, כי הוא לא יכול להסתובב.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2גבהים במטרים במרווחים של שנייה. ההתאמה מדויקת: y = -5x² + 20x + 2 כשכל השאריות 0 ו־R² = 1. ה־-5 הוא חצי מתאוצת הכובד מעוגלת ל־10 m/s², ה־20 הוא מהירות השיגור וה־2 הוא גובה השיגור. השיא נמצא ב־x = 2, y = 22.
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4אלה הערכים של (x - 1)², והמחשבון מחזיר y = x² - 2x + 1, אותה פרבולה אחרי פתיחת סוגריים, עם R² = 1 וכל השאריות 0. זו דרך מהירה לבדוק שקבוצת ערכים באמת מגיעה מפונקציה ריבועית אחת.
