עברית
העקומה y = a·bˣ שמתאימה לנתוני גדילה או דעיכה, עם הקצב לכל צעד.
עדכון אחרון
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
קו ישר מוסיף את אותה כמות בכל צעד של x. הרבה דברים מוכפלים במקום זה באותו גורם: כסף בריבית דריבית, תרבית חיידקים, המטען שנשאר בסוללה, פער הטמפרטורה בין משקה שמתקרר לחדר. הדפוס הזה הוא y = a·bˣ, כאשר a הוא הערך ב־x = 0 ו־b הוא הגורם שמופעל בכל צעד. אם b גדול מ־1 הגודל גדל, אם b בין 0 ל־1 הוא דועך, ו־(b פחות 1) כאחוז הוא הקצב לכל צעד.
הדרך הסטנדרטית להתאים אותה היא לקחת את הלוגריתם הטבעי של כל y. אם y = a·bˣ, אז ln y = ln a + x·ln b, וזה קו ישר ב־x. לכן השיטה מתאימה קו ריבועים פחותים רגיל לנקודות (x, ln y), קוראת את ln b מהשיפוע שלו ואת ln a מנקודת החיתוך, ומבטלת את הלוגריתמים. זה מה שעושות הפקודה ExpReg במחשבון TI-84 וקו המגמה המעריכי ב־Excel, והדף הזה מראה כל שלב: עמודת ln y, הקו המותאם, ושתי פונקציות המעריך שמחזירות את a ואת b.
כיוון שלוגריתמים הם אי־רציונליים, זה מחשבון הרגרסיה היחיד בסדרה שהתשובות שלו הן מספרים עשרוניים מעוגלים ולא שברים מדויקים, והוא אומר זאת לצד התוצאה. הוא גם דורש שכל y יהיה גדול מ־0, כי הלוגריתם של 0 או של מספר שלילי לא קיים. ה־r² שמוצג הוא ה־r² של התאמת הקו הישר ל־ln y, וזה הנתון שמחשבון גרפי מדווח.
החליפו כל y ב־ln y. עבור x = 0, 1, 2, 3, 4 ו־y = 3, 6, 12, 24, 48 העמודה החדשה היא בערך 1.0986, 1.7918, 2.4849, 3.1781 ו־3.8712.
השתמשו בנוסחאות הריבועים הפחותים הרגילות לשיפוע ולנקודת החיתוך על הנקודות (x, ln y). כאן השיפוע הוא בערך 0.6931 ונקודת החיתוך בערך 1.0986.
השיפוע הוא ln b ונקודת החיתוך היא ln a, ולכן b = e בחזקת השיפוע ו־a = e בחזקת נקודת החיתוך. כאן b ≈ e^0.6931 = 2 ו־a ≈ e^1.0986 = 3.
y ≈ 3·2ˣ, או y ≈ 3e^(0.6931x) בבסיס e. b = 2 אומר שכל צעד מכפיל את y פי 2: גידול של 100% לכל צעד, וזמן הכפלה של צעד אחד בדיוק.
כל שורה היא קבוצת נתונים אחת שהוקלדה במחשבון למעלה. כל הערכים מעוגלים לארבע ספרות אחרי הנקודה.
| ערכי x | ערכי y | העקומה המתאימה ביותר | שינוי לכל צעד | r² של ln y |
|---|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3, 4 | 3, 6, 12, 24, 48 | y ≈ 3 · 2ˣ | +100% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 100, 82, 67, 55, 45, 37 | y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ | -18.05% | 1.0000 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36 | y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ | +103.13% | 0.9999 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625 | y ≈ 1000 · 1.05ˣ | +5% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 5, 4, 3, 2, 1 | y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ | -32.38% | 0.9473 |
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48כל y הוא פי שניים מהקודם, ולכן הנקודות נמצאות בדיוק על y = 3·2ˣ והמחשבון מחזיר a ≈ 3 ו־b ≈ 2, גידול של 100% לכל צעד, עם r² = 1. בבסיס e אותה עקומה היא y ≈ 3e^(0.6931x), ו־0.6931 הוא ln 2. בהמשך עד x = 6 היא חוזה 3·2⁶ = 192.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37קראו את y כפער הטמפרטורה מהחדר, שנמדד כל חמש דקות. ההתאמה היא y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ, או y ≈ 99.9517e^(-0.1991x): כ־18.05% מהפער נעלמים בכל צעד, וזמן מחצית החיים הוא ln 2 / 0.1991, כ־3.48 צעדים. ההתאמה הלוגריתמית כמעט מושלמת: r² הוא 0.99999 בחמש ספרות, והמחשבון מעגל אותו ל־1.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36הערכים בערך מוכפלים בכל צעד בלי לעשות זאת בדיוק. ההתאמה היא y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ, גידול של כ־103.13% לכל צעד, עם r² ≈ 0.9999 בסקלה הלוגריתמית. בבסיס e, k ≈ 0.7087, ולכן זמן ההכפלה הוא ln 2 / 0.7087, כ־0.98 צעדים.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625יתרה של 1000 שצוברת 5% בשנה. המחשבון משחזר y ≈ 1000 · 1.05ˣ, שינוי של +5% לכל צעד, עם r² = 1. לקרוא את שיעור הריבית בחזרה מרשימת יתרות זה בדיוק מה שההתאמה הזו נועדה לו.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1הנקודות האלה יורדות באותה כמות בכל צעד, ולכן הן נמצאות על קו ישר, y = -x + 5. התאמה מעריכית עדיין מחזירה y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ עם r² ≈ 0.9473 בסקלה הלוגריתמית, מה שנראה מכובד. שרטטו את העקומה מול הנקודות והיא מחטיאה בשני הקצוות: קו ישר הוא המודל הנכון כאן, ורגרסיה לינארית מתאימה אותו בדיוק.
