הישר המתאים ביותר דרך הנקודות שלכם, במדויק, עם r וכל שלב בפתרון.
עדכון אחרון
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
נתונים אמיתיים אף פעם לא יושבים על קו ישר אחד, ולכן כל קו שתעבירו דרכם מחטיא את רוב הנקודות. כל החטאה היא שארית: ה־y בפועל פחות ה־y שהקו חוזה. רגרסיה לינארית מעלה כל שארית בריבוע, מחברת את הריבועים, ובוחרת את הקו היחיד שהופך את הסכום לקטן ככל האפשר. הקו הזה הוא קו הרגרסיה בשיטת הריבועים הפחותים, שנקרא גם קו ההתאמה הטוב ביותר, ויש בדיוק אחד כזה לכל קבוצת נקודות שערכי ה־x שלה לא כולם זהים.
כדי למצוא אותו צריך חמישה מספרים: המספר n והסכומים של x, y, xy ו־x². השיפוע הוא m = (nΣxy פחות ΣxΣy) חלקי (nΣx² פחות (Σx)²), ונקודת החיתוך היא b = (Σy פחות mΣx) חלקי n. הדף בונה את טבלת הסכומים האלה, מציב את המספרים שלכם בשתי הנוסחאות, ומראה כל שורה בפתרון, כי הטבלה היא החלק שמורה בודק.
השיפוע ונקודת החיתוך נשמרים כשברים מדויקים. על נתונים שבנויים ממספרים שלמים, עשרוניים ושברים הם תמיד רציונליים, כך ששיפוע של 162/35 מודפס כ־162/35 ולא כ־4.6286, שהוא עיגול שלו. מקדם המתאם r הוא שורש, ולכן הוא מופיע כשורש עם הערך העשרוני לצדו. כפתור ההעתקה נותן לכם את הקו במספרים עשרוניים, מוכן לגיליון אלקטרוני.
כתבו כל נקודה כשורה עם ארבע עמודות: x, y, xy ו־x². סכמו כל עמודה וספרו את הנקודות. עבור x = 1, 2, 3, 4, 5 ו־y = 2, 4, 5, 4, 5 זה נותן n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 ו־Σx² = 55.
m = (nΣxy פחות ΣxΣy) / (nΣx² פחות (Σx)²). כאן זה (5 × 66 פחות 15 × 20) / (5 × 55 פחות 15²) = 30 / 50 = 0.6. השאירו אותו כשבר אם הוא לא יוצא מספר עשרוני קצר.
b = (Σy פחות mΣx) / n. כאן (20 פחות 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2. השתמשו בשיפוע המדויק מהשלב הקודם, לא בשיפוע מעוגל.
y = 0.6x + 2.2. בדקו שהוא עובר דרך נקודת הממוצעים (3, 4): 0.6 × 3 + 2.2 = 4. אם לא, אחד הסכומים שגוי.
חשבו את r, או הסתכלו על השאריות. כאן r = √15/5, בערך 0.7746, והשאריות הן -0.8, 0.6, 1, -0.6 ו־-0.2, וסכום הריבועים שלהן הוא 2.4.
כל שורה היא קבוצת נתונים אחת שהוקלדה במחשבון למעלה. השיפוע ונקודת החיתוך מדויקים; r מוצג כשורש עם הערך העשרוני שלו.
| ערכי x | ערכי y | קו ההתאמה הטוב ביותר | r | r² |
|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2, 4, 5, 4, 5 | y = 0.6x + 2.2 | √15/5 ≈ 0.7746 | 0.6 |
| 0, 1, 2, 3 | 7, 5, 3, 1 | y = -2x + 7 | -1 | 1 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 3, 7, 8, 12, 15 | y = 1.45x + 0.3 | 29√215/430 ≈ 0.9889 | 841/860 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 52, 58, 61, 67, 70, 76 | y = (162/35)x + 47.8 | 9√15/35 ≈ 0.9959 | 243/245 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3, 1, 4, 1, 5 | y = 0.4x + 1.6 | √2/4 ≈ 0.3536 | 0.125 |
| 1, 3 | 2, 8 | y = 3x - 1 | 1 | 1 |
| -2, -1, 0, 1, 2 | 4, 1, 0, 1, 4 | y = 2 | 0 | 0 |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5הסכומים הם Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 ו־Σx² = 55 עם n = 5. השיפוע הוא 30/50 = 0.6 ונקודת החיתוך היא 11/5 = 2.2, ולכן הקו הוא y = 0.6x + 2.2. השאריות הן -0.8, 0.6, 1, -0.6 ו־-0.2, שסכומן 0, וסכום הריבועים שלהן 2.4. המתאם הוא r = √15/5, בערך 0.7746: חזק וחיובי.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76הממוצעים הם 3.5 שעות ו־64 נקודות. השיפוע הוא 162/35, בערך 4.63 נקודות לשעה, ונקודת החיתוך היא 64 פחות (162/35) × 3.5 = 47.8, ולכן y = (162/35)x + 47.8 עם r ≈ 0.9959. ב־4.5 שעות הקו חוזה 2402/35, בערך 68.63. ב־12 שעות הוא חוזה כ־103.34 במבחן שהציון המקסימלי בו הוא 100: אקסטרפולציה שהנתונים לא יכולים לתמוך בה.
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1כל צעד של 1 ב־x מוריד את y ב־2, ולכן הנקודות נמצאות בדיוק על y = -2x + 7. המחשבון מוצא את הקו הזה, כל שארית היא 0, סכום ריבועי השאריות הוא 0, ו־r = -1: מתאם שלילי מושלם.
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15הקו הוא y = 1.45x + 0.3 עם r ≈ 0.9889, והוא עובר דרך נקודת הממוצעים (6, 9). ב־x = 7, בתוך הנתונים, הוא חוזה 10.45, וזו אינטרפולציה שאפשר לסמוך עליה בערך כמו על ההתאמה. ב־x = 60 הוא חוזה 87.3, חמישים יחידות אחרי הנקודה האחרונה, ושם שום דבר בנתונים לא אומר שהמגמה עדיין מחזיקה.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25קו ההתאמה הטוב ביותר הוא y = 5x - 10/3 עם r ≈ 0.9599, מה שנשמע מצוין. השאריות הן 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 ו־10/3: חיוביות בשני הקצוות ושליליות באמצע. צורת ה־U הזו אומרת שהנקודות נמצאות על עקומה, ורגרסיה ריבועית מתאימה אותן בדיוק כ־y = x².
