מחשבון שורשים

התשובה לשאלה על שורשים היא צורה, לא שבר עשרוני

מחשבון יגיד לכם שהשורש הריבועי של 72 הוא 8.4852814. זו כמעט אף פעם לא התשובה ששאלה על שורשים מחפשת. מה שהיא מחפשת זה 6 כפול שורש 2: אותה כמות, כתובה כך ששום ריבוע שלם לא נשאר מסתתר מתחת לסימן. ההבדל הזה הוא כל הנושא: פישוט שורש הוא כתיבה מחדש, לא חישוב ערך, ושבר עשרוני זורק את הדיוק שהתבקשתם לשמור.

הכול בדף הזה מדויק. השורש הריבועי של 72 הוא 6 שורש 2, השורש השלישי של 54 הוא 3 שורש שלישי של 2, השורש הריבועי של שני שלישים הוא שורש 6 חלקי 3, ואחד חלקי שתיים ועוד שורש 3 הוא בדיוק 2 פחות שורש 3. שבר עשרוני מוצע לצד כל תשובה, מסומן בבירור כקירוב, כי לפעמים באמת רוצים לדעת בערך כמה גדול הדבר, אבל הוא אף פעם לא ניתן לכם במקום התשובה.

שלוש שאלות חולקות את הדף הזה כי הן חולקות מיומנות אחת. פישוט מוצא את החזקה השלמה הגדולה ביותר שבתוך הביטוי שמתחת לשורש. חיבור אומר לכם אם שני שורשים הם איברים דומים, ואי אפשר לדעת את זה עד ששניהם מפושטים. ביטול שורש מהמכנה מוציא שורש מהמכנה בעזרת השורש עצמו או בעזרת הצמוד. שלושתן מסתכמות באותו כלל: שורש של מכפלה הוא מכפלת השורשים.

למה לשים לב

• הוציאו את הריבוע השלם הגדול ביותר, לא את הראשון שאתם רואים. 72 הוא 4 כפול 18, ועצירה שם משאירה שורש 18, שעדיין אינו הצורה הפשוטה ביותר. הוא גם 36 כפול 2, ו־6 שורש 2 הוא תשובה גמורה.
• הפירוק לגורמים ראשוניים הוא המקום שבו החזקה השלמה גרה. ברגע ש־72 נכתב כ־2 בשלישית כפול 3 בריבוע, כל זוג של ראשוניים שווים הוא גורם אחד שיכול לצאת אל מחוץ לסימן השורש.
• שני שורשים מתחברים רק כשהמספרים שנשארים מתחת לסימנים שלהם זהים. שורש 8 ועוד שורש 18 עובד, כי שניהם בסתר כפולות של שורש 2. שורש 8 ועוד שורש 27 לא, ו־2 שורש 2 ועוד 3 שורש 3 היא התשובה הגמורה.
• שבר מתחת לסימן ושורש במכנה הם אותה בעיה. שורש של שני שלישים אינו הצורה הפשוטה ביותר; כפל של מה שבפנים ב־3 חלקי 3 הופך אותו לשורש 6 חלקי 3, שהוא כן.
• סדר השורש אומר איזו חזקה יוצאת. מתחת לשורש ריבועי צריך זוגות, מתחת לשורש שלישי שלשות, מתחת לשורש רביעי קבוצות של ארבע. לכן השורש השלישי של 54 נותן 3 ולא 6.

איך מפשטים שורש ביד

1. 1

   פרקו את המספר שמתחת לשורש לגורמים ראשוניים

   כתבו את המספר שמתחת לסימן כמכפלה של ראשוניים. עבור 72 זה 2 x 2 x 2 x 3 x 3, או 2 בשלישית כפול 3 בריבוע. אם עושים את זה קודם, אף פעם לא צריך לנחש אם מסתתר שם ריבוע שלם.

2. 2

   קבצו את הראשוניים לפי סדר השורש

   בשורש ריבועי, אספו את הראשוניים לזוגות; בשורש שלישי, לשלשות. ב־72 הזוגות הם 2 x 2 ו־3 x 3, ו־2 אחד נשאר לבד.

3. 3

   גורם אחד יוצא מהסימן על כל קבוצה שלמה

   כל זוג תורם עותק אחד של אותו ראשוני מחוץ לשורש. זוג ה־2 נותן 2 וזוג ה־3 נותן 3, כך ש־6 יוצא, וה־2 הבודד נשאר מתחת: 6 שורש 2.

4. 4

   נקו כל שבר מתחת לסימן

   אם נשאר מכנה בפנים, כפלו את המונה והמכנה שבפנים במה שהופך את המכנה לחזקה שלמה. עבור שני שלישים, כפלו ב־3 חלקי 3 כדי לקבל 6 חלקי 9, ושורש 6 חלקי 3 יוצא.

5. 5

   בדקו בהעלאה חזרה בריבוע

   6 שורש 2 בריבוע הוא 36 כפול 2, כלומר 72. הבדיקה הזו תופסת בשורה אחת את הטעות הנפוצה ביותר: הוצאת גורם קטן מדי משאירה ריבוע שקטן מהמספר שמתחת לשורש.

שורשים בצורה הפשוטה ביותר

המקרים שעולים הכי הרבה, ובכל אחד מהם מצוינת החזקה השלמה שעושה את העבודה.

דוגמאות פתורות

sqrt(72)

3*sqrt(8)

sqrt(8) + sqrt(18)

sqrt(8) + sqrt(27)

3/sqrt(2)

1/(2 + sqrt(3))

טעויות נפוצות

• הוצאת הריבוע השלם הראשון במקום הגדול ביותר. כתיבת שורש 72 כ־2 שורש 18 נכונה אבל לא גמורה, והיא נחשבת שגויה כתשובה ל"צורה שורשית פשוטה ביותר".
• תשובה בשבר עשרוני. 8.485 אינו השורש הריבועי של 72; הוא עיגול שלו. אם השאלה משתמשת בסימן שורש, גם התשובה שומרת עליו, אלא אם השורש יוצא שלם.
• חיבור המספרים שמתחת לסימנים. שורש 4 ועוד שורש 9 הם 2 + 3 = 5, לא שורש 13. שורשים מתחברים רק כאיברים דומים, אף פעם לא בתוך הסימן.
• כפל של שורשים מסדרים שונים. שורש 2 כפול שורש שלישי של 2 אינו שורש 2 וגם לא שורש שלישי של 4: כלל המכפלה דורש ששני הסדרים יהיו שווים לפני שמותר לצרף אותם.
• השארת שורש במכנה. שורש 2 חלקי 2 ו־1 חלקי שורש 2 הם אותו מספר, אבל רק הראשון בצורה הפשוטה ביותר; לשני עדיין יש שורש למטה.
• התייחסות לשורש של סכום כאל סכום של שורשים. שורש של 9 + 16 הוא שורש 25 = 5, לא 3 + 4 = 7. כלל המכפלה מפצל מכפלות, לא סכומים.
• שכחה ששורש זוגי של מספר שלילי אינו ממשי, ושורש אי־זוגי כן. אין שורש רביעי ממשי של -16, אבל השורש השלישי של -8 הוא בדיוק -2.

שאלות נפוצות על שורשים