Un cilindro di raggio 3 e altezza 5
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r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π, cioè circa 141.37. Eleva al quadrato il raggio prima di moltiplicare per l'altezza; facendo il contrario ottieni 225π, cinque volte troppo.
Calcolo volume
Sei solidi, ognuno con la sua formula scritta prima di usarla.
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Ogni formula del volume è un'area per un'altezza
Un prisma (un parallelepipedo, un cilindro, qualsiasi solido con la stessa sezione dal basso all'alto) ha volume uguale ad area di base per altezza. È un'unica idea che copre due dei sei solidi di questa pagina: un parallelepipedo è lunghezza × larghezza × altezza perché la sua area di base è lunghezza × larghezza, e un cilindro è πr²h perché la sua base è un cerchio di area πr². Imparare lo schema è meglio che imparare le formule una per una.
Quelli che si restringono, il cono e la piramide, occupano esattamente un TERZO del prisma che li conterrebbe. Stessa base, stessa altezza, un terzo del volume. Quel fattore 1/3 non è arbitrario ed è la cosa più dimenticata in assoluto su questo argomento; un cono grande quanto un cilindro ne contiene un terzo, cosa più facile da ricordare dopo averne versato uno nell'altro.
La sfera è l'eccezione con 4/3πr³, e vale la pena tenerla esatta per lo stesso motivo di tutto il resto qui: π è irrazionale, quindi 36π è una risposta e 113.1 ne è un arrotondamento. Questa pagina tiene il simbolo, riporta il decimale accanto e ti dà la superficie e l'apotema ovunque anche questi siano esatti.
Cosa notare
- Per qualsiasi solido a forma di prisma, il volume è area di base × altezza. Riconoscerlo trasforma quattro formule in un'idea più la giusta formula dell'area.
- Un cono o una piramide sono un terzo del prisma con la stessa base e la stessa altezza. Dimenticare l'1/3 è l'errore classico e rende la risposta esattamente tre volte troppo grande.
- Prima di cominciare tutte le misure devono essere nella stessa unità, e il volume viene poi in quell'unità AL CUBO. Mescolare centimetri e metri è un errore di un fattore un milione.
- Raddoppiare una dimensione raddoppia il volume; raddoppiarle tutte e tre lo moltiplica per otto. Ecco perché il volume cresce molto più in fretta della lunghezza.
- π va nella risposta, non nei calcoli. 45π è esatto, e moltiplicarlo alla fine per ottenere 141.37 non costa niente ed è facile da controllare.
- L'apotema di un cono non è la sua altezza. L'apotema è l'ipotenusa del triangolo formato da raggio e altezza, ed è per questo che esce come radice quadrata; serve alla superficie laterale, non al volume.
Come calcolare un volume
Riconosci il solido e scrivi la sua formula
Fallo prima di toccare un numero. Cubo s³, parallelepipedo abc, cilindro πr²h, sfera 4/3πr³, cono 1/3πr²h, piramide a base quadrata 1/3s²h.
Controlla che le unità coincidano
Prima converti tutto nella stessa unità. È il passaggio che rovina le risposte in silenzio, perché i calcoli successivi sembrano perfettamente a posto.
Sostituisci le misure
Scrivi la formula con i tuoi numeri al loro posto prima di calcolare qualsiasi cosa. In una verifica, quella riga con la sostituzione di solito vale un punto da sola.
Calcola le potenze prima di moltiplicare
Per un cilindro di raggio 3 e altezza 5: prima eleva al quadrato il 3 e ottieni 9, poi 9 · 5 = 45, e il risultato è 45π. Moltiplicare prima di elevare al quadrato dà un numero diverso e sbagliato.
Dai la risposta in unità cubiche
Un raggio in centimetri dà un volume in centimetri cubi. Lascia π al suo posto, a meno che non sia richiesto un decimale.
Le sei formule, con un valore calcolato
Ogni formula e cosa dà per un piccolo esempio. Nota l'1/3 sui due solidi che si restringono.
| Solido | Formula | Esempio | Volume esatto | Decimale |
|---|---|---|---|---|
| Cubo | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| Parallelepipedo | a · b · c | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| Cilindro | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| Sfera | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| Cono | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| Piramide a base quadrata | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| Sfera | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| Cilindro | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
Esempi svolti
Una sfera di raggio 3
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r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π, circa 113.1. Qui il 27 e il 4/3 si semplificano bene, ed è per questo che il raggio 3 è l'esempio che usano tutti i libri. Anche la sua superficie è 4πr² = 36π: una coincidenza che vale solo per r = 3.
Un cono di raggio 3 e altezza 4
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r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π, circa 37.7. Confrontalo con il cilindro con la stessa base e la stessa altezza, che contiene 36π: il cono è esattamente un terzo. Il suo apotema è √(3² + 4²) = 5, che al volume non serve ma alla superficie laterale sì.
Un cubo di lato 4
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s = 4V = s³ = 4³ = 64, e nessun π da nessuna parte. La sua superficie è 6s² = 96, perché un cubo ha sei facce quadrate identiche. Entrambe le risposte sono numeri interi, e questo lo rende l'esempio utile per verificare il tuo metodo.
Quando la risposta tiene una frazione: una sfera di raggio 2
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r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3, cioè circa 33.51. Il 3 non divide 32, quindi la risposta esatta tiene la frazione: scrivere 33.5 la perde, e in qualsiasi esercizio che prosegue con questo valore l'errore si trascina.
Errori comuni
- Dimenticare l'1/3 in un cono o in una piramide. La risposta esce esattamente tre volte troppo grande, ed è l'errore più facile da scoprire una volta che sai di doverlo cercare.
- Mescolare le unità. Prima converti: un raggio in centimetri con un'altezza in metri produce un numero che non significa niente.
- Moltiplicare prima di elevare al quadrato. In πr²h è il raggio a essere al quadrato, non il prodotto: π · (3 · 5)² è tutta un'altra grandezza.
- Usare il diametro come raggio. Raddoppia r, e questo moltiplica per quattro il volume di un cilindro e per otto quello di una sfera.
- Confondere volume e superficie. Uno è lo spazio interno e si misura in unità cubiche; l'altra è il rivestimento esterno e si misura in unità quadrate.
- Usare l'apotema nel volume di un cono. Il volume vuole l'altezza perpendicolare; l'apotema serve per la superficie laterale.
Domande frequenti sul volume
Qual è la formula del volume del cilindro?
V = πr²h, cioè l'area della base circolare per l'altezza. Con raggio 3 e altezza 5 si ottiene π · 9 · 5 = 45π, circa 141.37. Eleva al quadrato il raggio prima di moltiplicare per l'altezza.
Come si calcola il volume della sfera?
V = 4/3 πr³. Una sfera di raggio 3 contiene 4/3 · π · 27 = 36π, circa 113.1. È l'unica formula di questa pagina che non si può leggere come area di base per altezza, quindi va imparata a memoria.
Perché nelle formule del cono e della piramide c'è 1/3?
Perché un cono o una piramide contengono esattamente un terzo del prisma con la stessa base e la stessa altezza. Versa un cono pieno in un cilindro della stessa misura e ne riempirà un terzo: il fattore è una proprietà del restringersi, non un aggiustamento.
In che unità si esprime un volume?
Nell'unità delle tue misure, al cubo. I centimetri danno centimetri cubi, i metri danno metri cubi. Tutte le misure vanno convertite nella stessa unità PRIMA di calcolare, altrimenti la risposta non ha senso.
Come si calcola il volume di un parallelepipedo?
Moltiplica le tre dimensioni: V = a · b · c. È area di base per altezza come per qualsiasi prisma, dato che l'area di base di un parallelepipedo è a · b. Un parallelepipedo di 2 per 3 per 4 contiene 24 unità cubiche.
Che differenza c'è tra volume e superficie?
Il volume è lo spazio interno e si misura in unità cubiche; la superficie è l'area totale dell'esterno e si misura in unità quadrate. Questa pagina le riporta entrambe ovunque la superficie sia esatta: per il cubo, il parallelepipedo, il cilindro e la sfera.
Cos'è l'apotema di un cono?
La distanza dalla punta al bordo lungo il lato inclinato: √(r² + h²), per il teorema di Pitagora applicato a raggio e altezza. È più lungo dell'altezza, è ciò che serve alla formula della superficie laterale e non ha alcun ruolo nel volume.
Perché lasciare π come simbolo invece di moltiplicarlo?
Perché 45π è esatto e 141.37 è un arrotondamento. Le verifiche chiedono spesso una risposta in funzione di π proprio perché si può controllare senza calcolatrice, e arrotondare presto in un problema a più passaggi fa perdere la precisione che serve ai passaggi successivi.
